Mathématiques — 4ème
Proportionnalité — Maths Quatrième (chapitre 8)
Reconnaître la proportionnalité, coefficient et quatrième proportionnelle, pourcentages, échelles, vitesses et formules liant deux grandeurs. Programme du…
Par ProfBot
La proportionnalité
Chapitre 8 — Organisation et gestion de données · Quatrième
Trois pommes coûtent $2{,}40$ € : combien coûtent sept pommes ? Presque tout le monde sait répondre — et presque personne n'utilise la même méthode. C'est la force de la proportionnalité : plusieurs chemins mènent au résultat, et savoir choisir le plus court, selon les nombres, fait toute la différence.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Coefficient de proportionnalité ; taux d'évolution, coefficient multiplicateur ; notion de ratio. Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité ; calculer une quatrième proportionnelle ; utiliser une formule liant deux grandeurs ; résoudre des problèmes utilisant la proportionnalité (pourcentages, échelles, agrandissement-réduction).
Attendus de fin d'année de 4e : « Il reconnaît sur un graphique une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité » ; « il calcule une quatrième proportionnelle par la procédure de son choix » ; « il résout des problèmes en utilisant la proportionnalité dans le cadre de la géométrie ».
1. Reconnaître la proportionnalité
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Dans un tableau : on vérifie que le quotient d'une ligne par l'autre est constant.
Sur un graphique :
Propriété. Une situation est proportionnelle si et seulement si les points du graphique sont alignés AVEC l'origine.
« Alignés » ne suffit pas. Sur le deuxième graphique, les points sont parfaitement alignés — et pourtant la situation n'est pas proportionnelle, parce que la droite ne passe pas par l'origine. C'est le cas typique d'un abonnement : un prix fixe s'ajoute au prix proportionnel. Il faut toujours vérifier le passage par l'origine.
Le test du bon sens : si l'on double la première grandeur, la seconde doit doubler aussi. Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas proportionnel — l'âge et la taille d'un enfant, par exemple, ne le sont pas.
2. La quatrième proportionnelle
Définition. Dans un tableau de proportionnalité où trois valeurs sont connues, la quatrième est appelée quatrième proportionnelle.
Exemple. Huit briques identiques pèsent $13{,}6$ kg. Combien pèsent six briques ?
| procédure | calcul |
|---|---|
| passer par une brique | $13{,}6\div8 = 1{,}7$ puis $1{,}7\times6 = 10{,}2$ |
| coefficient de proportionnalité | $\times1{,}7$ : $6\times1{,}7 = 10{,}2$ |
| décomposer | $6 = 4+2$ : $6{,}8 + 3{,}4 = 10{,}2$ |
| calcul direct (produit en croix) | $\dfrac{6\times13{,}6}{8} = 10{,}2$ |
Toutes les procédures sont valables ; choisissez la plus rapide selon les nombres. Si le passage à l'unité tombe juste (comme ici), c'est souvent le plus simple. Si les nombres sont grands ou vilains, le calcul direct $\frac{6\times13{,}6}{8}$ évite les arrondis intermédiaires — et c'est un point important : arrondir en cours de route fausse le résultat final.
3. Pourcentages
Appliquer un pourcentage, c'est multiplier : $t\,\% \text{ de } N = \frac{t}{100}\times N.$ $15\,\% \text{ de } 80 = 0{,}15\times80 = 12.$
Calculer un pourcentage : c'est chercher une proportion. $\frac{\text{partie}}{\text{tout}}\times100.$ Sur $250$ élèves, $60$ sont demi-pensionnaires : $\dfrac{60}{250}\times100 = 24\,\%$.
Augmenter ou diminuer revient aussi à multiplier :
| Évolution | Multiplication |
|---|---|
| $+5\,\%$ | $\times1{,}05$ |
| $+20\,\%$ | $\times1{,}20$ |
| $-20\,\%$ | $\times0{,}80$ |
| $-50\,\%$ | $\times0{,}50$ |
Une augmentation de $20\,\%$ suivie d'une baisse de $20\,\%$ ne ramène PAS au point de départ. $1{,}20\times0{,}80 = 0{,}96$ : il manque $4\,\%$. La raison est simple : la baisse s'applique à une valeur déjà augmentée. C'est le piège de pourcentage le plus courant, et il coûte cher hors des mathématiques aussi.
4. Échelles
Définition. L'échelle d'un plan ou d'une carte est le coefficient de proportionnalité
$\text{échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$
(les deux distances étant exprimées dans la même unité).
Sur une carte au $\frac{1}{25\,000}$, $4{,}5$ cm représentent $4{,}5\times25\,000 = 112\,500 \text{ cm} = 1\,125 \text{ m} = 1{,}125 \text{ km}.$
La conversion finale est l'étape qu'on oublie. Le calcul sort en centimètres, parce que la mesure était en centimètres — pas en kilomètres. Répondre « $112\,500$ km » est une erreur d'un facteur $100\,000$.
5. Formules et grandeurs
Beaucoup de formules décrivent une proportionnalité :
| Formule | Situation | Coefficient |
|---|---|---|
| $U = R\times I$ | loi d'Ohm | la résistance $R$ |
| $d = v\times t$ | distance à vitesse constante | la vitesse $v$ |
| $P = 2\pi r$ | périmètre d'un cercle | $2\pi$ |
L'aire d'un disque n'est PAS proportionnelle au rayon. $\mathcal{A} = \pi r^2$ : si le rayon double, l'aire est multipliée par $4$ et non par $2$. La présence d'un carré (ou d'un cube) élimine la proportionnalité — c'est le test le plus rapide devant une formule.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Reconnaître
Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ?
a.
| $3$ | $5$ | $8$ |
|---|---|---|
| $7{,}5$ | $12{,}5$ | $20$ |
b.
| $2$ | $4$ | $6$ |
|---|---|---|
| $5$ | $9$ | $13$ |
Correction. a. $\frac{7{,}5}{3} = 2{,}5$, $\frac{12{,}5}{5} = 2{,}5$, $\frac{20}{8} = 2{,}5$ : oui, coefficient $2{,}5$. b. $\frac52 = 2{,}5$ mais $\frac94 = 2{,}25$ : non. Dans b, les écarts sont pourtant réguliers ($+2$ en haut, $+4$ en bas) — c'est le piège : régularité ne veut pas dire proportionnalité.
Exercice 2 — Quatrième proportionnelle
a. Huit briques pèsent $13{,}6$ kg. Combien pèsent six briques ? b. $12$ stylos coûtent $9{,}60$ €. Combien coûtent $7$ stylos ?
Correction. a. Une brique pèse $13{,}6\div8 = 1{,}7$ kg, donc six briques pèsent $10{,}2$ kg. b. Un stylo coûte $9{,}60\div12 = 0{,}80$ €, donc sept stylos coûtent $5{,}60$ €.
Exercice 3 — Pourcentages
a. Calculer $15\,\%$ de $80$ €. b. Sur $250$ élèves, $60$ sont demi-pensionnaires : quel pourcentage ? c. Un article à $60$ € augmente de $20\,\%$ puis baisse de $20\,\%$. Quel est son prix final ?
Correction. a. $0{,}15\times80 = 12$ €. b. $\dfrac{60}{250}\times100 = 24\,\%$. c. $60\times1{,}20 = 72$ €, puis $72\times0{,}80 = 57{,}60$ €. Le prix a baissé de $2{,}40$ €.
Le coefficient global vaut $1{,}20\times0{,}80 = 0{,}96$, soit une baisse de $4\,\%$ — quel que soit le prix de départ.
Exercice 4 — Échelle
Sur une carte au $\dfrac{1}{25\,000}$, deux villages sont distants de $4{,}5$ cm. a. Quelle est la distance réelle, en km ? b. Deux autres villages sont distants de $3$ km en réalité. Quelle distance les sépare sur la carte ?
Correction. a. $4{,}5\times25\,000 = 112\,500$ cm $= 1{,}125$ km. b. $3$ km $= 300\,000$ cm, donc sur la carte : $\dfrac{300\,000}{25\,000} = 12$ cm.
Exercice 5 — Vitesse
Un train roule à $120$ km/h. a. Quelle distance parcourt-il en $2$ h $30$ ? b. Combien de temps met-il pour parcourir $300$ km ? c. Convertir $120$ km/h en m/s.
Correction. a. $2$ h $30$ $= 2{,}5$ h, donc $d = 120\times2{,}5 = 300$ km. b. $t = \dfrac{300}{120} = 2{,}5$ h, soit $2$ h $30$. c. $120$ km/h $= \dfrac{120\,000}{3\,600} \approx 33{,}3$ m/s.
Attention à a : $2$ h $30$ ne s'écrit pas $2{,}30$ h mais $2{,}5$ h — les minutes ne sont pas des centièmes d'heure.
Exercice 6 — Proportionnel ou non ?
Ces grandeurs sont-elles proportionnelles ? a. Le périmètre d'un carré et son côté. b. L'aire d'un carré et son côté. c. Le prix d'un plein d'essence et le nombre de litres. d. L'âge d'une personne et sa taille.
Correction. a. Oui : $P = 4c$, coefficient $4$. b. Non : $\mathcal{A} = c^2$ ; en doublant le côté, l'aire est multipliée par $4$. c. Oui (à prix du litre constant). d. Non : on ne mesure pas le double à $40$ ans qu'à $20$ ans.
Exercice 7 — Un ratio
Deux frères se partagent $150$ € dans le ratio $2 : 3$. Combien reçoit chacun ?
Correction. Le ratio $2:3$ signifie que la somme se partage en $2+3 = 5$ parts égales. $\text{une part} = \frac{150}{5} = 30 \text{ €}.$ Le premier reçoit $2\times30 = 60$ € et le second $3\times30 = 90$ €. Vérification : $60+90 = 150$ ✓ et $\frac{60}{90} = \frac23$ ✓.
À retenir
Proportionnalité = on multiplie toujours par le même coefficient. Sur un graphique : points alignés AVEC l'origine — alignés seulement ne suffit pas.
Quatrième proportionnelle : passage à l'unité · coefficient · décomposition · calcul direct $\dfrac{a\times d}{b}$. Toutes valables ; ne pas arrondir en cours de route.
Pourcentages : $t\,\%$ de $N$ $= \frac{t}{100}N$ · augmenter de $20\,\%$ $= \times1{,}20$ · $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ donne $\times0{,}96$, pas le prix initial.
Échelle $= \dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}$, dans la même unité — et l'on n'oublie pas la conversion finale.
Un carré dans la formule tue la proportionnalité : $\mathcal{A} = \pi r^2$ n'est pas proportionnelle à $r$.
Chapitre suivant : la dépendance de deux grandeurs et les premières fonctions.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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