Mathématiques — 3ème
Espace, volumes et grandeurs composées — Maths Troisième (chapitre 14)
Volumes du pavé, du cylindre, du prisme, de la pyramide, du cône et de la boule, assemblages de solides, vitesses et débits, repérage sur la sphère.…
Par ProfBot
Espace, volumes et grandeurs composées
Chapitre 14 — Grandeurs et mesures · Troisième
Une boîte de conserve, un cornet de glace, un ballon : trois formes, trois formules. Mais le vrai travail de ce chapitre n'est pas d'appliquer une formule — c'est de décomposer un objet en solides connus, de surveiller les unités, et de vérifier que le résultat a un sens. Un volume de $3\,000$ m³ pour une casserole doit déclencher une alarme immédiate.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Volume d'un prisme, d'une pyramide, d'un cylindre, d'un cône, d'une boule ; correspondance entre unités de volume et de contenance ($1$ L $= 1$ dm³, $1\,000$ L $= 1$ m³) ; notion de grandeur produit et de grandeur quotient. Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, et exprimer les résultats dans les unités adaptées ; vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités ; effectuer des conversions. Se repérer sur une sphère (latitude, longitude) ; construire et mettre en relation des représentations des solides (perspective cavalière, vues, sections planes, patrons).
1. Les volumes à connaître
| Solide | Volume |
|---|---|
| pavé droit | $V = L \times l \times h$ |
| prisme droit | $V = \mathcal{B} \times h$ |
| cylindre | $V = \pi r^2 \times h$ |
| pyramide | $V = \dfrac{\mathcal{B}\times h}{3}$ |
| cône | $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ |
| boule | $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ |
($\mathcal{B}$ désigne l'aire de la base, $h$ la hauteur.)
La hauteur n'est pas l'arête. Dans une pyramide ou un cône, $h$ est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement — pas la longueur de l'arête latérale, qui est plus grande. Confondre les deux surestime le volume. Quand l'énoncé donne l'arête, il faut d'abord retrouver $h$ par Pythagore.
Pyramide et cône : le tiers. Une pyramide de même base et même hauteur qu'un prisme a le tiers de son volume. Oublier de diviser par $3$ est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.
La boule est en $r^3$, avec un rayon — pas un diamètre. Si l'énoncé donne un diamètre de $10$ cm, il faut utiliser $r = 5$. Une confusion ici multiplie le volume par $2^3 = 8$.
2. Assemblages de solides
Beaucoup d'objets se décomposent en solides simples : on additionne les volumes (ou on les retranche s'il y a un creux).
Pour le solide de la figure, avec $r = 1{,}2$ et $h = 2{,}4$ : $V = \underbrace{\pi r^2 h}_{\text{cylindre}} + \underbrace{\frac12\times\frac43\pi r^3}_{\text{demi-boule}} = \pi\times1{,}44\times2{,}4 + \frac23\pi\times1{,}728 \approx 10{,}86 + 3{,}62 = 14{,}48.$
Une seule règle de méthode : découper, puis nommer chaque morceau. Écrire « $V = V_{\text{cylindre}} + V_{\text{demi-boule}}$ » avant de calculer permet de vérifier qu'aucun morceau n'est oublié ni compté deux fois.
Les sections planes. Couper un solide par un plan produit une figure plane :
| Solide | Section par un plan parallèle à la base |
|---|---|
| pavé droit | un rectangle |
| cylindre | un disque de même rayon |
| cône, pyramide | une figure réduite de la base |
| boule | un disque (plus petit à mesure qu'on s'éloigne du centre) |
3. Unités et grandeurs composées
Volumes et contenances.
$1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3, \qquad 1\,000 \text{ L} = 1 \text{ m}^3, \qquad 1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3.$
Attention aux facteurs de conversion des volumes : $1$ m³ $= 1\,000$ dm³ et non $100$. On passe d'une unité de volume à la suivante en multipliant par $\mathbf{1\,000}$ (contre $100$ pour les aires et $10$ pour les longueurs).
Grandeurs quotients. Une vitesse est un quotient (km/h, m/s) ; un débit aussi (m³/s, L/h). $v = \frac{d}{t}, \qquad d = v\times t, \qquad t = \frac dv.$
Convertir une vitesse : $1$ m/s $= 3{,}6$ km/h. $80 \text{ km/h} = \frac{80}{3{,}6} \approx 22{,}2 \text{ m/s}.$
Les unités doivent être COHÉRENTES avant tout calcul. Multiplier des km/h par des secondes ne donne rien d'utilisable. On convertit d'abord, on calcule ensuite — et l'on vérifie que l'unité du résultat est bien celle attendue.
4. Le repérage sur la sphère
Sur la Terre, un point se repère par deux angles :
| Coordonnée | Comptée depuis | Valeurs |
|---|---|---|
| latitude | l'équateur | de $0°$ à $90°$, Nord ou Sud |
| longitude | le méridien de Greenwich | de $0°$ à $180°$, Est ou Ouest |
Les parallèles sont les cercles horizontaux (l'équateur est le plus grand) ; les méridiens sont les demi-cercles qui joignent les pôles.
Tous les méridiens ont la même longueur, pas les parallèles. Un méridien est toujours un demi-grand cercle de la sphère ; un parallèle rétrécit à mesure qu'on approche des pôles, jusqu'à se réduire à un point. C'est pourquoi un degré de longitude ne représente pas la même distance à Paris et à l'équateur.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Volumes simples
Calculer, au dixième près : a. le volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm ; b. celui d'un cône de même base et même hauteur ; c. celui d'une boule de rayon $6$ cm.
Correction. a. $V = \pi\times3^2\times10 = 90\pi \approx 282{,}7$ cm³. b. Le tiers du précédent : $30\pi \approx 94{,}2$ cm³. c. $V = \dfrac43\pi\times6^3 = \dfrac43\pi\times216 = 288\pi \approx 904{,}8$ cm³.
Exercice 2 — Attention au diamètre
Une boule de pétanque a un diamètre de $7{,}4$ cm. Calculer son volume au cm³ près.
Correction. Le rayon vaut $r = \dfrac{7{,}4}{2} = 3{,}7$ cm, donc $V = \frac43\pi\times3{,}7^3 = \frac43\pi\times50{,}653 \approx 212 \text{ cm}^3.$
Avec le diamètre à la place du rayon, on aurait trouvé $1\,697$ cm³ — soit huit fois trop.
Exercice 3 — Un assemblage
Une boîte cylindrique a un rayon de $5$ cm et une hauteur de $30$ cm. On y place $3$ boules identiques de rayon $5$ cm. a. Vérifier que les trois boules tiennent exactement dans la boîte. b. Calculer le volume restant, au cm³ près.
Correction. a. Chaque boule a un diamètre de $10$ cm ; trois boules empilées occupent $30$ cm de haut, exactement la hauteur de la boîte ✓. b. $V_{\text{boîte}} = \pi\times5^2\times30 = 750\pi, \qquad V_{\text{boules}} = 3\times\frac43\pi\times5^3 = 500\pi.$ Le volume restant vaut $750\pi - 500\pi = 250\pi \approx 785 \text{ cm}^3.$
Remarque élégante : les boules occupent exactement les deux tiers de la boîte — un résultat connu depuis Archimède.
Exercice 4 — Conversions
a. Convertir $2{,}5$ m³ en litres. b. Convertir $750$ cm³ en litres. c. Une citerne cubique de $1{,}2$ m d'arête est-elle assez grande pour $1\,500$ L ?
Correction. a. $2{,}5$ m³ $= 2\,500$ L. b. $750$ cm³ $= 750$ mL $= 0{,}75$ L. c. $V = 1{,}2^3 = 1{,}728$ m³ $= 1\,728$ L
gt; 1\,500$ L : oui, elle suffit.Exercice 5 — Distance de réaction
Un conducteur met $1$ seconde à réagir avant de freiner. Quelle distance parcourt-il pendant ce temps s'il roule à $80$ km/h ?
Correction. On convertit d'abord la vitesse : $80 \text{ km/h} = \frac{80}{3{,}6} \approx 22{,}2 \text{ m/s}.$ En $1$ seconde, il parcourt donc environ $22$ mètres — avant même d'avoir commencé à freiner.
Contrôle des unités : (m/s) × s = m ✓.
Exercice 6 — Débit
Le débit moyen de la Seine sous le pont de l'Alma est de $328$ m³/s. Combien de litres d'eau passent sous ce pont en $3$ minutes ?
Correction. $3$ minutes $= 180$ s, donc le volume vaut $328 \times 180 = 59\,040 \text{ m}^3.$ Or $1$ m³ $= 1\,000$ L : $59\,040 \text{ m}^3 = 59\,040\,000 \text{ L},$ soit environ $59$ millions de litres.
Contrôle des unités : (m³/s) × s = m³ ✓.
Exercice 7 — Sur le globe
Paris est situé à environ $48{,}9°$ Nord et $2{,}3°$ Est ; Sydney à $33{,}9°$ Sud et $151{,}2°$ Est. a. Laquelle des deux villes est la plus proche de l'équateur ? b. Sont-elles dans le même hémisphère ?
Correction. a. La proximité de l'équateur se lit sur la latitude : $33{,}9 < 48{,}9$, donc Sydney en est plus proche. b. Non : Paris est dans l'hémisphère Nord, Sydney dans l'hémisphère Sud. C'est la lettre qui suit la latitude qui le dit — les deux longitudes, elles, sont toutes deux à l'Est.
À retenir
$V_{\text{pavé}} = L\,l\,h \quad\cdot\quad V_{\text{prisme}} = \mathcal{B}h \quad\cdot\quad V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h$ $V_{\text{pyramide}} = \frac{\mathcal{B}h}{3} \quad\cdot\quad V_{\text{cône}} = \frac{\pi r^2h}{3} \quad\cdot\quad V_{\text{boule}} = \frac43\pi r^3$
Pyramide et cône : ne pas oublier le tiers. Boule : un rayon, pas un diamètre. Hauteur ≠ arête.
Assemblage : on découpe, on nomme, on additionne (ou on retranche).
$1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}, \qquad 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$ Les volumes se convertissent de $1\,000$ en $1\,000$.
Grandeurs composées : $1$ m/s $= 3{,}6$ km/h · on convertit d'abord, on calcule ensuite, et l'on contrôle l'unité du résultat.
Sphère : latitude depuis l'équateur (N/S), longitude depuis Greenwich (E/O).
Chapitre suivant, le dernier : l'algorithmique et la programmation.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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