Mathématiques — 3ème
Divisibilité et nombres premiers — Maths Troisième (chapitre 1)
Multiples et diviseurs, division euclidienne, critères de divisibilité, nombres premiers jusqu'à 100, décomposition en facteurs premiers et fractions…
Par ProfBot
Divisibilité et nombres premiers
Chapitre 1 — Nombres et calculs · Troisième
Tout nombre entier se fabrique à partir de briques élémentaires : les nombres premiers. $360$ n'a l'air de rien, mais il vaut $2^3 \times 3^2 \times 5$ — et cette écriture, unique, répond d'un coup à toutes les questions qu'on peut lui poser : combien a-t-il de diviseurs ? est-il un carré ? comment simplifier $\frac{360}{252}$ ? Ce premier chapitre installe cet outil, qui servira toute l'année.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Multiples et diviseurs ; critères de divisibilité par $2$, $3$, $5$, $9$, $10$ ; division euclidienne (quotient, reste) ; définition d'un nombre premier et liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à $30$ ; fractions irréductibles. Déterminer si un entier est ou n'est pas multiple ou diviseur d'un autre ; déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à $100$ ; déterminer les diviseurs d'un nombre ; décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers ; simplifier une fraction pour la rendre irréductible ; modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité (engrenages, conjonction de phénomènes).
⚠️ Un nouveau programme de cycle 4 a été publié (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), mais il n'entre en application en classe de troisième qu'à la rentrée 2028-2029. Le programme applicable reste donc celui de 2020.
1. Multiples et diviseurs
Définition. Soient $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $a$ est un multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que
$a = k \times b.$
On dit aussi que $b$ divise $a$, ou que $b$ est un diviseur de $a$.
Les deux formulations décrivent la même situation, vue des deux bouts : $35 = 5\times7$ signifie à la fois que $35$ est un multiple de $7$, et que $7$ divise $35$.
Le multiple est le grand, le diviseur est le petit — au sens large. Tout entier est multiple de lui-même ($a = 1\times a$) et $0$ est multiple de tout entier ($0 = 0\times b$). En revanche on ne divise jamais par $0$.
La division euclidienne
Définition. Diviser $a$ par $b$ (avec $b \neq 0$), c'est trouver le quotient $q$ et le reste $r$ tels que
$a = b\times q + r \qquad \text{avec} \qquad 0 \leqslant r < b.$
$247 = 8 \times 30 + 7.$
$b$ divise $a$ si et seulement si le reste est NUL. C'est le test le plus simple : $247$ n'est pas un multiple de $8$ parce que le reste vaut $7$. Et le reste est toujours plus petit que le diviseur — s'il ne l'est pas, le quotient a été mal choisi.
Les critères de divisibilité
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| $2$ | le chiffre des unités est $0,2,4,6,8$ | $174$ |
| $3$ | la somme des chiffres est divisible par $3$ | $174$ car $1+7+4 = 12$ |
| $5$ | le chiffre des unités est $0$ ou $5$ | $2\,045$ |
| $9$ | la somme des chiffres est divisible par $9$ | $531$ car $5+3+1 = 9$ |
| $10$ | le chiffre des unités est $0$ | $9\,870$ |
Le critère de $3$ ne se transpose pas à $7$ ou à $11$. Il n'existe pas de règle simple sur les chiffres pour $7$ : on divise. Les critères ci-dessus sont à connaître par cœur, ce sont eux qui rendent la décomposition en facteurs premiers rapide.
2. Les nombres premiers
Définition. Un entier est premier s'il a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
Les nombres premiers inférieurs à $100$ sont au nombre de 25 : $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97.$
$1$ n'est pas premier. Il n'a qu'un diviseur, et la définition en exige exactement deux. Ce n'est pas un caprice : si $1$ était premier, la décomposition d'un nombre ne serait plus unique ($6 = 2\times3 = 1\times2\times3 = 1\times1\times2\times3\dots$).
$2$ est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs ont au moins trois diviseurs : $1$, $2$ et eux-mêmes.
Tester si un nombre est premier. On essaie de le diviser par $2$, $3$, $5$, $7$, $11$… en s'arrêtant dès que le diviseur dépasse la racine carrée du nombre.
Par exemple pour $91$ : $\sqrt{91} \approx 9{,}5$, donc on teste $2, 3, 5, 7$. Or $91 = 7\times13$ : $91$ n'est pas premier, ce qui surprend souvent.
3. Décomposer en produit de facteurs premiers
Théorème (admis). Tout entier supérieur ou égal à $2$ s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près).
Méthode. On divise par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient.
$360 = 2\times2\times2\times3\times3\times5 = 2^3\times3^2\times5.$
On peut présenter le calcul en colonne, ce qui va plus vite :
| $360$ | $2$ |
| $180$ | $2$ |
| $90$ | $2$ |
| $45$ | $3$ |
| $15$ | $3$ |
| $5$ | $5$ |
| $1$ |
On s'arrête quand on atteint $1$, et non quand on « ne voit plus rien ». Tant que le nombre restant n'est pas $1$, il reste au moins un facteur premier à extraire — le nombre lui-même s'il est premier.
4. Fractions irréductibles
Définition. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$.
Méthode 1 : par simplifications successives. $\frac{84}{126} = \frac{42}{63} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$ (on a divisé par $2$, puis par $3$, puis par $7$).
Méthode 2 : par les facteurs premiers — plus sûre, car elle donne le résultat en une fois : $\frac{84}{126} = \frac{2^2\times3\times7}{2\times3^2\times7} = \frac{2}{3}.$
Simplifier « le plus possible » n'est pas une méthode. Beaucoup s'arrêtent à $\frac{14}{21}$ en croyant avoir fini. La décomposition en facteurs premiers, elle, rend l'erreur impossible : ce qui reste après avoir barré les facteurs communs est irréductible.
5. Résoudre des problèmes de divisibilité
Deux grandes familles de problèmes, qu'il faut savoir distinguer.
« Combien de paquets identiques ? » → on cherche un diviseur commun, le plus grand possible.
« Quand les deux se retrouvent-ils ? » → on cherche un multiple commun, le plus petit possible.
La question à se poser : est-ce qu'on PARTAGE ou est-ce qu'on RÉPÈTE ? Partager une quantité en parts égales conduit aux diviseurs communs ; répéter deux phénomènes jusqu'à ce qu'ils coïncident conduit aux multiples communs. Confondre les deux fait chercher $6$ là où il faut $36$.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Divisibilité
a. $2\,024$ est-il divisible par $3$ ? par $4$ ? par $9$ ? b. Effectuer la division euclidienne de $2\,024$ par $7$.
Correction. a. Somme des chiffres : $2+0+2+4 = 8$, qui n'est divisible ni par $3$ ni par $9$ : non dans les deux cas. Pour $4$, on regarde les deux derniers chiffres : $24 = 4\times6$, donc oui. b. $2\,024 = 7\times289 + 1$, donc le quotient est $289$ et le reste $1$. Contrôle : $7\times289 = 2\,023$, et $0 \leqslant 1 < 7$ ✓.
Exercice 2 — Nombres premiers
Les nombres suivants sont-ils premiers ? a. $51$ · b. $61$ · c. $87$ · d. $97$.
Correction. a. $51 = 3\times17$ (somme des chiffres $6$) : non. b. $\sqrt{61}\approx 7{,}8$ ; ni $2$, ni $3$, ni $5$, ni $7$ ne le divisent : oui, $61$ est premier. c. $87 = 3\times29$ (somme des chiffres $15$) : non. d. $\sqrt{97}\approx 9{,}8$ ; aucun de $2, 3, 5, 7$ ne le divise : oui.
Les nombres impairs ne sont pas tous premiers — c'est la confusion la plus fréquente.
Exercice 3 — Décomposition
Décomposer en produit de facteurs premiers : a. $180$ · b. $588$ · c. $1\,001$.
Correction. a. $180 = 2\times90 = 2\times2\times45 = 2^2\times3^2\times5$. b. $588 = 2\times294 = 2\times2\times147 = 2^2\times3\times49 = 2^2\times3\times7^2$. c. $1\,001 = 7\times143 = 7\times11\times13$. Un joli nombre : le produit de trois nombres premiers consécutifs de la liste.
Exercice 4 — Fractions
Rendre irréductibles : a. $\dfrac{360}{252}$ · b. $\dfrac{455}{385}$.
Correction. a. $360 = 2^3\times3^2\times5$ et $252 = 2^2\times3^2\times7$, d'où $\frac{360}{252} = \frac{2^3\times3^2\times5}{2^2\times3^2\times7} = \frac{2\times5}{7} = \frac{10}{7}.$ b. $455 = 5\times7\times13$ et $385 = 5\times7\times11$, d'où $\dfrac{455}{385} = \dfrac{13}{11}$.
Exercice 5 — Les paquets
Un fleuriste dispose de $126$ roses et $84$ tulipes. Il veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs. a. Peut-il faire $12$ bouquets ? b. Quel est le plus grand nombre de bouquets possible, et que contient alors chacun ?
Correction. a. Il faudrait que $12$ divise $126$ et $84$. Or $84 = 12\times7$, mais $126 = 12\times10{,}5$ : $12$ ne divise pas $126$. Impossible. b. On cherche le plus grand diviseur commun. Avec les facteurs premiers : $126 = 2\times3^2\times7, \qquad 84 = 2^2\times3\times7.$ Les facteurs communs sont $2$, $3$ et $7$, soit $2\times3\times7 = 42$. Il peut faire 42 bouquets, contenant chacun $\frac{126}{42} = 3$ roses et $\frac{84}{42} = 2$ tulipes.
On retrouve la fraction irréductible $\frac{126}{84} = \frac32$ : simplifier une fraction, c'est diviser par le plus grand diviseur commun.
Exercice 6 — Les phares
Deux phares s'allument, l'un toutes les $12$ secondes, l'autre toutes les $18$ secondes. Ils s'allument ensemble à midi pile. À quel moment s'allumeront-ils de nouveau ensemble ?
Correction. On cherche un multiple commun de $12$ et $18$, le plus petit. Multiples de $12$ : $12, 24, \mathbf{36}, 48\dots$ — multiples de $18$ : $18, \mathbf{36}, 54\dots$ Le plus petit multiple commun est $36$ : ils s'allumeront ensemble 36 secondes après midi, puis toutes les $36$ secondes.
Attention à ne pas répondre $12\times18 = 216$ : c'est bien un multiple commun, mais pas le plus petit.
Exercice 7 — Une démonstration
Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Correction. Notons les trois entiers $n$, $n+1$ et $n+2$. Leur somme vaut $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1),$ qui est bien un multiple de $3$. $\blacksquare$
Le calcul littéral traite d'un seul coup tous les cas — c'est ce qui le rend supérieur à n'importe quel nombre d'exemples.
À retenir
$a$ est multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = kb$ ; c'est aussi dire que $b$ divise $a$.
Division euclidienne : $a = bq + r$ avec $0 \leqslant r < b$ · le reste est nul exactement quand $b$ divise $a$.
Critères : $2$ (unités), $3$ et $9$ (somme des chiffres), $5$ et $10$ (unités).
Nombre premier = exactement deux diviseurs. $1$ n'est pas premier ; $2$ est le seul premier pair ; il y en a 25 en dessous de $100$.
Décomposition en facteurs premiers : unique, et elle donne tout — les diviseurs, la fraction irréductible, les diviseurs communs.
Partager → diviseur commun. Répéter jusqu'à coïncidence → multiple commun.
Chapitre suivant : le calcul avec les fractions et les nombres relatifs.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
Chapitre 2 · Fractions et nombres rationnels →