Mathématiques — 3ème
Équations et mise en équation — Maths Troisième (chapitre 6)
Résoudre une équation du premier degré, équations produits, équations du type x carré égale a, et mise en équation de problèmes. Programme du cycle 4, avec…
Par ProfBot
Équations et mise en équation
Chapitre 6 — Nombres et calculs · Troisième
Résoudre une équation, ce n'est pas « faire passer de l'autre côté en changeant le signe » — c'est maintenir un équilibre. Une équation est une balance : tout ce qu'on retire d'un plateau, il faut le retirer de l'autre. Cette image explique toutes les règles du chapitre, et évite d'avoir à les apprendre par cœur.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Notions d'inconnue et d'équation ; annulation d'un produit (démonstration possible par disjonction de cas). Résoudre algébriquement des équations du premier degré ou s'y ramenant (équations produits), en particulier des équations du type $x^2 = a$ ; mettre un problème en équation en vue de sa résolution ; résoudre des problèmes internes aux mathématiques ou en lien avec d'autres disciplines.
1. Vocabulaire
Définition. Une équation est une égalité contenant une lettre, l'inconnue. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie ; ces valeurs sont les solutions.
Tester une valeur ne demande aucune méthode : on remplace, on calcule les deux membres séparément, on compare.
$4$ est-il solution de $3x - 5 = x + 3$ ? Membre de gauche : $3\times4 - 5 = 7$. Membre de droite : $4+3 = 7$. Égaux : oui, $4$ est solution.
Une identité n'est pas une équation. $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ est vraie pour toutes les valeurs : c'est une identité. $3x-5 = x+3$ n'est vraie que pour certaines valeurs, qu'on cherche : c'est une équation. Le même signe $=$ recouvre deux situations très différentes.
2. Les règles de résolution
Propriétés. On ne change pas les solutions d'une équation :
- en ajoutant ou retranchant un même nombre aux deux membres ;
- en multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul.
Méthode. On rassemble les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise.
$3x + 2 = 11 \ \Longrightarrow\ 3x = 9 \ \Longrightarrow\ x = 3.$
Avec des $x$ des deux côtés : $4x - 8 = 7x + 4 \ \Longrightarrow\ -8 - 4 = 7x - 4x \ \Longrightarrow\ -12 = 3x \ \Longrightarrow\ x = -4.$
« Ça passe de l'autre côté » cache la vraie opération. On ne « fait pas passer » : on retranche $4x$ aux deux membres. La formule mnémotechnique marche, mais elle s'effondre dès qu'il y a une multiplication — alors que la règle de la balance, elle, ne tombe jamais en défaut.
Diviser par zéro est interdit — même quand on ne le voit pas. Résoudre $3x = 9$ en divisant par $3$ est licite ; simplifier $x\times(x-2) = 5x$ par $x$ ne l'est pas, car $x$ peut valoir $0$. On perdrait alors une solution.
Avec des parenthèses, on développe d'abord : $5(7 - 2{,}2x) = 9 - 6x \ \Longrightarrow\ 35 - 11x = 9-6x \ \Longrightarrow\ 26 = 5x \ \Longrightarrow\ x = 5{,}2.$
3. Les équations produits
Propriété. Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
$A\times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0.$
Démonstration (par disjonction de cas). Supposons $A\times B = 0$. — Si $A = 0$, la conclusion « $A=0$ ou $B=0$ » est vraie. — Si $A \neq 0$, on peut diviser les deux membres par $A$ : $B = \dfrac{0}{A} = 0$, et la conclusion est encore vraie. Ces deux cas couvrent toutes les possibilités. Réciproquement, si l'un des facteurs est nul, le produit l'est. $\blacksquare$
Exemple. $(2{,}5x - 7)(8x - 9{,}6) = 0 \iff 2{,}5x = 7 \ \text{ ou } \ 8x = 9{,}6 \iff x = 2{,}8 \ \text{ ou } \ x = 1{,}2.$
Cette règle ne vaut QUE pour zéro. De $A\times B = 12$ on ne peut rien déduire : $12$ s'écrit $3\times4$, $2\times6$, $24\times0{,}5$… Pour résoudre $(x-1)(x+2) = 4$, il faut d'abord tout ramener à $0$, puis factoriser à nouveau.
Il faut souvent factoriser d'abord : $x^2 - 5x = 0 \iff x(x-5) = 0 \iff x = 0 \ \text{ ou } \ x = 5.$ $x^2 - 49 = 0 \iff (x-7)(x+7) = 0 \iff x = 7 \ \text{ ou } \ x = -7.$
4. Les équations $x^2 = a$
Propriété. L'équation $x^2 = a$ a deux solutions $-\sqrt a$ et $\sqrt a$ si $a>0$, une solution $0$ si $a = 0$, et aucune si $a<0$.
$x^2 = 20 \iff x = \sqrt{20} = 2\sqrt5 \ \text{ ou } \ x = -2\sqrt5.$
La solution négative s'oublie une fois sur deux. $x^2 = 49$ a deux solutions, $7$ et $-7$ : le carré ne distingue pas un nombre de son opposé. On ne garde qu'une solution que si le contexte l'impose — par exemple si $x$ est une longueur, ce qu'il faut alors écrire.
5. Mettre un problème en équation
Méthode en quatre temps.
1. Choisir l'inconnue et l'écrire : « soit $x$ le nombre de… ».
2. Traduire l'énoncé en une égalité.
3. Résoudre l'équation.
4. Revenir au problème : la solution répond-elle à la question posée ? est-elle réaliste ?
Exemple (d'après les attendus officiels). La facture d'eau d'un jardinier s'élève à $545$ € par an. Il prévoit d'économiser $55$ € par an en installant un récupérateur d'eau de pluie, qui coûte $199$ € à l'achat et $13$ € d'entretien par an. Au bout de combien d'années l'installation est-elle rentable ?
Mise en équation. Soit $n$ le nombre d'années.
- Sans récupérateur, la dépense totale vaut $545n$.
- Avec, elle vaut $199 + (545 - 55 + 13)n = 199 + 503n$.
On cherche à partir de quand la seconde devient inférieure. L'égalité des deux coûts s'écrit $545n = 199 + 503n \iff 42n = 199 \iff n = \frac{199}{42} \approx 4{,}74.$
Retour au problème. Comme $n$ est un nombre entier d'années, l'installation devient rentable à partir de la 5ᵉ année. Vérification : après $4$ ans, $545\times4 = 2\,180$ € contre $199+503\times4 = 2\,211$ € — encore perdant. Après $5$ ans : $2\,725$ € contre $2\,714$ € — gagnant. ✓
La quatrième étape est celle qu'on saute. L'équation donne $4{,}74$ ; le problème demande un nombre entier d'années, donc $5$. Une réponse « $4{,}74$ années » serait mathématiquement juste et pratiquement absurde.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Tester
$-2$ est-il solution de $x^2 + 3x = -2$ ? Et de $5x - 1 = 3x + 3$ ?
Correction. Première équation : à gauche $(-2)^2 + 3\times(-2) = 4 - 6 = -2$ ; à droite $-2$. Oui. Seconde : à gauche $5\times(-2) - 1 = -11$ ; à droite $3\times(-2)+3 = -3$. $-11 \neq -3$ : non.
Exercice 2 — Équations rapides
Résoudre : a. $-3x = 12$ · b. $x + 9 = 5$ · c. $7x = 5$ · d. $\dfrac{x}{4} = 3$.
Correction. a. $x = \dfrac{12}{-3} = -4$ · b. $x = -4$ · c. $x = \dfrac57$ · d. $x = 12$.
Dans c, la réponse est une fraction : on ne l'écrit pas en valeur décimale approchée, $\frac57$ est la valeur exacte.
Exercice 3 — Premier degré
Résoudre : a. $4x - 8 = 7x + 4$ · b. $5(7-2{,}2x) = 9-6x$ · c. $2(x-3) + 5 = 3(x+1) - x$.
Correction. a. $-12 = 3x$, donc $x = -4$. b. $35 - 11x = 9 - 6x$, donc $26 = 5x$ et $x = 5{,}2$. c. À gauche $2x - 1$ ; à droite $3x + 3 - x = 2x + 3$. L'équation devient $2x - 1 = 2x + 3$, soit $-1 = 3$ : aucune solution.
Le cas c existe bel et bien : quand les $x$ disparaissent, soit l'égalité restante est fausse (aucune solution), soit elle est vraie (tous les nombres sont solutions).
Exercice 4 — Équations produits
Résoudre : a. $(2{,}5x-7)(8x-9{,}6) = 0$ · b. $x(3x+5) = 0$ · c. $(x-4)^2 = 0$.
Correction. a. $2{,}5x = 7$ donne $x = 2{,}8$ ; $8x = 9{,}6$ donne $x = 1{,}2$. $\mathcal{S} = \{1{,}2\,;2{,}8\}$. b. $x = 0$ ou $3x+5 = 0$, soit $x = -\dfrac53$. $\mathcal{S} = \left\{-\dfrac53\,;0\right\}$. c. $(x-4)(x-4) = 0$ : les deux facteurs sont identiques, il n'y a qu'une solution, $x = 4$.
Exercice 5 — Factoriser puis résoudre
Résoudre : a. $x^2 = 20$ · b. $x^2 - 36 = 0$ · c. $3x^2 - 12x = 0$ · d. $(x+1)^2 - 9 = 0$.
Correction. a. $x = 2\sqrt5$ ou $x = -2\sqrt5$. b. $(x-6)(x+6) = 0$, d'où $x = 6$ ou $x = -6$. c. $3x(x-4) = 0$, d'où $x = 0$ ou $x = 4$. d. Différence de deux carrés : $(x+1-3)(x+1+3) = (x-2)(x+4) = 0$, d'où $x = 2$ ou $x = -4$.
Exercice 6 — Un problème de géométrie
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $4$ cm, et un périmètre de $36$ cm. Quelles sont ses dimensions ?
Correction. Soit $x$ la largeur, en cm. La longueur vaut alors $x+4$, et le périmètre $2\big(x + (x+4)\big) = 36 \iff 2(2x+4) = 36 \iff 4x + 8 = 36 \iff x = 7.$ La largeur est de $7$ cm et la longueur de $11$ cm. Vérification : $2(7+11) = 36$ ✓, et $11 - 7 = 4$ ✓.
Exercice 7 — Un problème d'âges
Un père a $38$ ans, son fils $10$ ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il exactement le double de celui du fils ?
Correction. Soit $n$ le nombre d'années cherché. Dans $n$ ans, le père aura $38+n$ ans et le fils $10+n$. On veut $38 + n = 2(10+n) \iff 38+n = 20+2n \iff 18 = n.$ Dans 18 ans : le père aura $56$ ans et le fils $28$ — c'est bien le double. ✓
Erreur classique : écrire $2(38+n) = 10+n$, qui inverse les rôles. Toujours se demander qui est le double de qui.
À retenir
Une équation est un équilibre : on ajoute, retranche, multiplie ou divise des deux côtés — jamais par $0$.
Méthode : les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise.
$A\times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0$ — pour zéro seulement. On factorise donc avant de résoudre, et l'on ne divise jamais par une expression contenant $x$.
$x^2 = a \ \Rightarrow\ x = \pm\sqrt a \ (a>0) \ \cdot\ x = 0 \ (a=0) \ \cdot\ \text{aucune solution } (a<0)$
Mettre en équation : nommer l'inconnue · traduire · résoudre · revenir au problème (entier ? réaliste ? question posée ?).
Chapitre suivant : la notion de fonction.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
← Chapitre 5 · Calcul littéral : développer et factoriser | Chapitre 7 · La notion de fonction →