Mathématiques — 3ème
Fonctions linéaires, affines et pourcentages — Maths Troisième (chapitre 8)
Fonction linéaire et proportionnalité, fonction affine, représentation graphique, coefficient directeur, ordonnée à l'origine et coefficients…
Par ProfBot
Fonctions linéaires, affines et pourcentages
Chapitre 8 — Organisation et gestion de données · Troisième
Un abonnement de salle de sport à $30$ € par mois : la dépense est proportionnelle au nombre de mois, c'est une fonction linéaire. Ajoutez $50$ € de frais d'inscription, et la proportionnalité disparaît — mais la représentation reste une droite : c'est une fonction affine. Toute la différence tient à un point : la droite passe-t-elle par l'origine ?
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Fonction linéaire, fonction affine ; représenter graphiquement une fonction linéaire, une fonction affine ; interpréter les paramètres d'une fonction affine suivant l'allure de sa courbe ; modéliser une situation de proportionnalité à l'aide d'une fonction linéaire. Taux d'évolution, coefficient multiplicateur ; utiliser le lien entre pourcentage d'évolution et coefficient multiplicateur ; résoudre des problèmes utilisant la proportionnalité (pourcentages, échelles, agrandissement-réduction).
1. Fonction linéaire
Définition. Une fonction linéaire est une fonction de la forme
$f : x \longmapsto ax,$
où $a$ est un nombre fixé, appelé coefficient.
C'est exactement le modèle d'une situation de proportionnalité : $a$ est le coefficient de proportionnalité.
$f(x) = 30x \quad\text{(30 € par mois)}, \qquad d(x) = 5x \quad\text{(5 m par seconde)}.$
Propriété caractéristique : la représentation graphique est une droite qui passe par l'origine.
Une fonction linéaire double quand $x$ double. $f(2x) = a\times 2x = 2f(x)$ : c'est la signature de la proportionnalité. Si doubler la quantité ne double pas le prix, la situation n'est pas proportionnelle — et la fonction n'est pas linéaire.
2. Fonction affine
Définition. Une fonction affine est de la forme
$f : x \longmapsto ax + b.$
$a$ est le coefficient directeur, $b$ l'ordonnée à l'origine.
| Cas | Forme | Graphique |
|---|---|---|
| linéaire | $b = 0$ | droite passant par l'origine |
| affine | $b \neq 0$ | droite décalée de $b$ |
| constante | $a = 0$ | droite horizontale |
Toute fonction linéaire est affine ; la réciproque est fausse. Une linéaire, c'est une affine avec $b = 0$. En revanche $f(x) = 2x+3$ est affine et pas linéaire : elle ne modélise pas une proportionnalité, même si sa courbe est une droite. Confondre les deux fait écrire des « produits en croix » qui n'ont aucun sens.
3. Lire les paramètres sur le graphique
Méthode.
- $b$ se lit directement : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
- $a$ se lit comme un escalier : quand on avance de $1$ vers la droite, on monte de $a$ (ou l'on descend si $a<0$).
Par le calcul, à partir de deux points : $a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.$
Signe de $a$ : si $a>0$ la droite monte, si $a<0$ elle descend, si $a=0$ elle est horizontale.
Exemple. Déterminer la fonction affine telle que $f(2) = 5$ et $f(6) = 13$. $a = \frac{13-5}{6-2} = \frac84 = 2, \qquad\text{puis}\qquad 5 = 2\times2 + b \ \Rightarrow\ b = 1.$ Donc $f(x) = 2x+1$. Contrôle : $f(6) = 13$ ✓.
Deux points suffisent, et il en faut deux. Un seul point ne détermine pas la droite — une infinité de droites y passent. Et lorsqu'on a trouvé $a$ et $b$, la vérification sur le second point coûte trois secondes et attrape toutes les erreurs de signe.
4. Pourcentages et coefficients multiplicateurs
Propriété. Appliquer une évolution de $t$ (en écriture décimale), c'est multiplier par le coefficient multiplicateur
$CM = 1 + t.$
| Évolution | Coefficient |
|---|---|
| $+5\,\%$ | $1{,}05$ |
| $+20\,\%$ | $1{,}20$ |
| $-20\,\%$ | $0{,}80$ |
| $-50\,\%$ | $0{,}50$ |
| $+100\,\%$ | $2$ |
Appliquer un pourcentage, c'est donc une fonction linéaire : $x \mapsto 1{,}05x$ pour une hausse de $5\,\%$.
Évolutions successives : on MULTIPLIE les coefficients, jamais les taux. Une hausse de $5\,\%$ suivie d'une baisse de $20\,\%$ donne
$1{,}05\times0{,}80 = 0{,}84,$
soit une baisse globale de $16\,\%$ — et non de $15\,\%$.
$+20\,\%$ puis $-20\,\%$ ne revient PAS au point de départ : $1{,}20\times0{,}80 = 0{,}96$, il manque $4\,\%$. La raison : la baisse s'applique à une base déjà augmentée.
Retrouver la valeur initiale : on divise par le coefficient. Après une remise de $15\,\%$, un article coûte $102$ € ; son prix initial était $\frac{102}{0{,}85} = 120 \text{ €}$ — et non $102 + 15\,\%$ de $102$.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Reconnaître
Ces fonctions sont-elles linéaires, affines, les deux, ou ni l'une ni l'autre ? a. $f(x) = 7x$ · b. $g(x) = 3x - 2$ · c. $h(x) = 5$ · d. $k(x) = x^2 + 1$ · e. $m(x) = \dfrac{x}{4}$.
Correction. a. Linéaire (donc aussi affine), $a = 7$. b. Affine seulement, $a = 3$, $b = -2$. c. Affine constante, $a = 0$, $b = 5$. d. Ni l'une ni l'autre : il y a un $x^2$. e. $m(x) = \frac14 x$ : linéaire, $a = 0{,}25$.
Exercice 2 — Images et antécédents
Soit $f(x) = -2x + 7$. a. Calculer $f(0)$, $f(3)$ et $f(-1)$. b. Déterminer l'antécédent de $1$. c. La droite monte-t-elle ou descend-elle ?
Correction. a. $f(0) = 7$ · $f(3) = -6+7 = 1$ · $f(-1) = 2+7 = 9$. b. On résout $-2x+7 = 1$, soit $-2x = -6$ et $x = 3$. c. $a = -2 < 0$ : la droite descend.
Exercice 3 — Déterminer une fonction affine
Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(1) = 4$ et $f(5) = -8$.
Correction. $a = \frac{-8-4}{5-1} = \frac{-12}{4} = -3.$ Puis $f(1) = 4$ donne $-3+b = 4$, soit $b = 7$. Donc $f(x) = -3x + 7$. Contrôle : $f(5) = -15+7 = -8$ ✓.
Exercice 4 — Lecture graphique
Une droite passe par les points $A(0\,;-2)$ et $B(4\,;4)$. Déterminer la fonction affine représentée.
Correction. Le point $A$ est sur l'axe des ordonnées, donc $b = -2$ directement. $a = \frac{4-(-2)}{4-0} = \frac64 = 1{,}5.$ Ainsi $f(x) = 1{,}5x - 2$.
Exercice 5 — Pourcentages
a. Un article de $80$ € augmente de $15\,\%$. Quel est son nouveau prix ? b. Il subit ensuite une remise de $15\,\%$. Quel est le prix final ? c. Le prix est-il revenu à $80$ € ? Justifier.
Correction. a. $80 \times 1{,}15 = 92$ €. b. $92 \times 0{,}85 = 78{,}20$ €. c. Non : le coefficient global vaut $1{,}15\times0{,}85 = 0{,}9775$, soit une baisse de $2{,}25\,\%$. Il manque $1{,}80$ €. La hausse portait sur $80$ €, la baisse sur $92$ € : elles ne se compensent pas.
Exercice 6 — Deux forfaits
Forfait A : $0{,}30$ € par SMS. Forfait B : $6$ € par mois plus $0{,}10$ € par SMS. a. Exprimer le coût de chaque forfait en fonction du nombre $x$ de SMS. b. À partir de combien de SMS le forfait B est-il plus avantageux ?
Correction. a. $A(x) = 0{,}30x$ (fonction linéaire) et $B(x) = 0{,}10x + 6$ (fonction affine). b. On cherche $B(x) < A(x)$ : $0{,}10x + 6 < 0{,}30x \iff 6 < 0{,}20x \iff x > 30.$ Le forfait B devient plus avantageux à partir de $31$ SMS. À exactement $30$ SMS, les deux coûtent $9$ €.
Exercice 7 — Retrouver un prix
Après une baisse de $30\,\%$, un vélo coûte $315$ €. a. Quel était son prix initial ? b. Quel pourcentage de hausse ramènerait au prix initial ?
Correction. a. Le coefficient est $0{,}70$, donc le prix initial vaut $\dfrac{315}{0{,}70} = 450$ €. Contrôle : $450\times0{,}70 = 315$ ✓. b. Il faut le coefficient inverse : $\dfrac{1}{0{,}70} \approx 1{,}4286$, soit une hausse d'environ $+42{,}86\,\%$ — et non $+30\,\%$.
À retenir
Linéaire $x \mapsto ax$ : proportionnalité, droite par l'origine. Affine $x \mapsto ax+b$ : droite quelconque. Toute linéaire est affine, l'inverse est faux.
Lire les paramètres : $b$ = ordonnée du point de coupe avec l'axe des ordonnées ; $a$ = l'escalier ($+1$ à droite, $+a$ vers le haut). $a = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
$a>0$ : la droite monte · $a<0$ : elle descend · $a=0$ : elle est horizontale.
Pourcentages : $CM = 1+t$ · évolutions successives → on multiplie les coefficients · retour à la valeur initiale → on divise.
$+20\,\% \text{ puis } -20\,\% \ \Rightarrow\ \times 0{,}96 \ \ (\text{et non } \times 1)$
Chapitre suivant : les statistiques.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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