Mathématiques — 3ème
Les racines carrées — Maths Troisième (chapitre 4)
Définition de la racine carrée, carrés parfaits, encadrements, règles de calcul, simplification et équations du type x carré égale a. Programme du cycle 4,…
Par ProfBot
Les racines carrées
Chapitre 4 — Nombres et calculs · Troisième
Un carré a une aire de $17$ cm². Combien mesure son côté ? Aucun nombre décimal ne convient : $4{,}1^2 = 16{,}81$ et $4{,}2^2 = 17{,}64$. Il faut un nombre nouveau, qu'on note $\sqrt{17}$ — et qui n'a aucune écriture décimale exacte, quelle que soit la précision. Les racines carrées sont exactement cela : les nombres qui manquaient pour mesurer les côtés.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Les carrés parfaits de $1$ à $144$ ; définition de la racine carrée. Utiliser la racine carrée pour résoudre des problèmes, notamment géométriques ; résoudre des équations du type $x^2 = a$ ; déterminer une valeur exacte puis une valeur approchée. Les élèves peuvent rencontrer des nombres irrationnels, par exemple dans l'utilisation du théorème de Pythagore.
1. Définition
Définition. Pour un nombre $a$ positif ou nul, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt a$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ :
$\sqrt a \geqslant 0 \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a.$
$\sqrt{49} = 7 \quad\text{car}\quad 7^2 = 49, \qquad \sqrt{0} = 0, \qquad \sqrt{0{,}25} = 0{,}5.$
Deux interdits absolus.
— La racine d'un nombre négatif n'existe pas : aucun carré ne vaut $-9$, donc $\sqrt{-9}$ n'a pas de sens.
— Une racine n'est jamais négative : $\sqrt{49} = 7$, et pas $\pm7$. L'équation $x^2 = 49$, elle, a bien deux solutions — mais ce n'est pas la même question.
Les carrés parfaits
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
Ces douze valeurs sont à connaître par cœur : ce sont elles qui permettent de simplifier, d'encadrer et de reconnaître une racine « qui tombe juste ».
2. Valeur exacte, valeur approchée, encadrement
Encadrer une racine. On cherche les deux carrés parfaits qui encadrent le nombre :
$16 < 17 < 25 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25} \quad\Longrightarrow\quad 4 < \sqrt{17} < 5.$
$\sqrt{17}$ est la valeur EXACTE ; $4{,}123$ est une valeur approchée. La calculatrice affiche $4{,}123105626$, mais ce nombre au carré donne $17{,}000000003\ldots$ et non $17$. En géométrie, on garde donc $\sqrt{17}$ dans les calculs et on n'arrondit qu'à la toute fin — sinon les erreurs s'accumulent.
3. Les règles de calcul
Propriétés. Pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ (avec $b>0$ pour le quotient) :
$\sqrt{a\times b} = \sqrt a\times\sqrt b, \qquad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}, \qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a, \qquad \sqrt{a^2} = a.$
Il n'existe AUCUNE règle pour la somme. $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt9+\sqrt{16} = 3+4 = 7$. Un seul contre-exemple suffit à écarter définitivement « $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ » — et pourtant c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Simplifier une racine. On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre : $\sqrt{50} = \sqrt{25\times2} = \sqrt{25}\times\sqrt2 = 5\sqrt2,$ $\sqrt{72} = \sqrt{36\times2} = 6\sqrt2, \qquad \sqrt{300} = \sqrt{100\times3} = 10\sqrt3.$
Additionner des racines n'est possible que si elles sont identiques — exactement comme pour les $x$ en calcul littéral : $3\sqrt5 + 4\sqrt5 = 7\sqrt5, \qquad \text{mais} \qquad \sqrt2+\sqrt3 \text{ ne se simplifie pas.}$
$\sqrt{12}+\sqrt{27} = 2\sqrt3 + 3\sqrt3 = 5\sqrt3.$
Simplifier d'abord, additionner ensuite. $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ semble irréductible ; une fois les deux racines simplifiées, elles deviennent semblables et s'additionnent. Le réflexe : toujours simplifier avant de conclure qu'on ne peut rien faire.
4. Les équations $x^2 = a$
Propriété. L'équation $x^2 = a$ a :
- deux solutions, $-\sqrt a$ et $\sqrt a$, si $a > 0$ ;
- une solution, $x = 0$, si $a = 0$ ;
- aucune solution si $a < 0$.
$x^2 = 20 \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{20} = 2\sqrt5 \quad\text{ou}\quad x = -2\sqrt5.$
Deux solutions, sauf si le contexte en interdit une. Si $x$ désigne une longueur, la solution négative est écartée — non pas parce qu'elle est fausse mathématiquement, mais parce qu'un côté négatif n'existe pas. Il faut alors le dire : « $x$ étant une longueur, $x = 2\sqrt5$ ».
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculs immédiats
Calculer : a. $\sqrt{81}$ · b. $\sqrt{144}$ · c. $\left(\sqrt{7}\right)^2$ · d. $\sqrt{0{,}09}$ · e. $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$.
Correction. a. $9$ · b. $12$ · c. $7$ · d. $0{,}3$ (car $0{,}3^2 = 0{,}09$) · e. $\dfrac{\sqrt9}{\sqrt{16}} = \dfrac34$.
Exercice 2 — Encadrer
Encadrer $\sqrt{55}$ entre deux entiers consécutifs, puis donner une valeur approchée au dixième.
Correction. $49 < 55 < 64$, donc $7 < \sqrt{55} < 8$. Au dixième : $7{,}4^2 = 54{,}76$ et $7{,}5^2 = 56{,}25$, donc $7{,}4 < \sqrt{55} < 7{,}5$, et $\sqrt{55} \approx 7{,}4$.
Méthode générale : on encadre par des carrés parfaits, puis on affine en testant des décimaux.
Exercice 3 — Simplifier
Écrire sous la forme $a\sqrt b$ avec $b$ le plus petit possible : a. $\sqrt{48}$ · b. $\sqrt{98}$ · c. $\sqrt{75}$ · d. $2\sqrt{45}$.
Correction. a. $\sqrt{48} = \sqrt{16\times3} = 4\sqrt3$. b. $\sqrt{98} = \sqrt{49\times2} = 7\sqrt2$. c. $\sqrt{75} = \sqrt{25\times3} = 5\sqrt3$. d. $2\sqrt{45} = 2\sqrt{9\times5} = 2\times3\sqrt5 = 6\sqrt5$.
Exercice 4 — Additionner
Calculer et simplifier : a. $\sqrt{18}+\sqrt{8}$ · b. $5\sqrt3 - \sqrt{27}$ · c. $\sqrt2\times\sqrt{8}$.
Correction. a. $\sqrt{18} = 3\sqrt2$ et $\sqrt8 = 2\sqrt2$, donc la somme vaut $5\sqrt2$. b. $\sqrt{27} = 3\sqrt3$, donc $5\sqrt3 - 3\sqrt3 = 2\sqrt3$. c. $\sqrt2\times\sqrt8 = \sqrt{16} = 4$ — un produit de deux irrationnels qui donne un entier.
Exercice 5 — Équations
Résoudre : a. $x^2 = 49$ · b. $x^2 = 12$ · c. $x^2 = -4$ · d. $3x^2 = 75$.
Correction. a. $x = 7$ ou $x = -7$. b. $x = \sqrt{12} = 2\sqrt3$ ou $x = -2\sqrt3$. c. Aucune solution : un carré n'est jamais négatif. d. On isole d'abord : $x^2 = 25$, donc $x = 5$ ou $x = -5$.
Exercice 6 — Un problème géométrique
Un carré a pour aire $17$ cm². a. Donner la valeur exacte de son côté, puis une valeur approchée au millimètre près. b. Calculer son périmètre, en valeur exacte.
Correction. a. Le côté $c$ vérifie $c^2 = 17$, et comme $c$ est une longueur, $c = \sqrt{17}$ cm. À la calculatrice, $\sqrt{17} \approx 4{,}1231$, soit $4{,}1$ cm au millimètre près. b. $P = 4c = 4\sqrt{17}$ cm — valeur exacte. (Ce qui fait environ $16{,}5$ cm.)
Remarque : $4\sqrt{17}$ ne se simplifie pas, car $17$ est premier — il n'a aucun facteur carré.
Exercice 7 — Avec Pythagore
Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $3$ cm et $5$ cm. Calculer la longueur de l'hypoténuse, en valeur exacte puis approchée au dixième.
Correction. D'après le théorème de Pythagore, $h^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34, \qquad\text{donc}\qquad h = \sqrt{34} \text{ cm}.$ Comme $34 = 2\times17$ n'a pas de facteur carré, $\sqrt{34}$ ne se simplifie pas. Valeur approchée : $\sqrt{34} \approx 5{,}8$ cm.
Contrôle : l'hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux côtés, et $5{,}8 > 5$ ✓.
À retenir
Définition : pour $a \geqslant 0$, $\sqrt a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. $\left(\sqrt a\right)^2 = a, \qquad \sqrt{a^2} = a \ (a \geqslant 0)$
Pas de racine d'un nombre négatif ; une racine n'est jamais négative.
Les carrés parfaits jusqu'à $144$ sont à connaître par cœur : ils servent à simplifier et à encadrer.
$\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b, \qquad \sqrt{\tfrac ab} = \tfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ — mais rien pour la somme : $\sqrt{9+16} = 5 \neq 7 = \sqrt9+\sqrt{16}$.
Simplifier : extraire le plus grand carré parfait ($\sqrt{50} = 5\sqrt2$). On simplifie avant d'additionner.
$x^2 = a \ \Rightarrow\ x = \pm\sqrt a \ (a>0) \ \cdot\ x = 0 \ (a=0) \ \cdot\ \text{aucune solution } (a<0)$
Valeur exacte ($\sqrt{17}$) contre valeur approchée ($4{,}12$) : on n'arrondit qu'à la fin.
Chapitre suivant : le calcul littéral — développer et factoriser.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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