Mathématiques — 3ème
Statistiques — Maths Troisième (chapitre 9)
Effectifs et fréquences, moyenne pondérée, médiane, étendue, diagrammes en bâtons, circulaires et histogrammes. Programme du cycle 4, avec exercices corrigés.
Par ProfBot
Statistiques : lire, résumer, interpréter
Chapitre 9 — Organisation et gestion de données · Troisième
« Le salaire moyen dans cette entreprise est de $4\,200$ € » — et pourtant huit employés sur dix gagnent moins de $2\,000$ €. Les deux affirmations peuvent être vraies en même temps : il suffit qu'un dirigeant gagne beaucoup. Résumer une série par un seul nombre déforme toujours quelque chose ; savoir lequel, et le dire, est tout l'objet de ce chapitre.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Effectifs, fréquences ; indicateurs de position : moyenne, médiane ; indicateur de dispersion : étendue. Lire et interpréter des données sous forme de données brutes, de tableau, de diagramme (en bâtons, circulaire, histogramme) ; calculer des effectifs et des fréquences ; calculer et interpréter des indicateurs de position ou de dispersion ; représenter des données par un histogramme pour des classes de même amplitude.
1. Effectifs et fréquences
Définitions. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. L'effectif total est le nombre de données. La fréquence d'une valeur est
$f = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}},$
qu'on exprime en décimal, en fraction ou en pourcentage.
Exemple. Notes d'une classe de $30$ élèves :
| note | $8$ | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ | total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| effectif | $3$ | $7$ | $10$ | $6$ | $4$ | $\mathbf{30}$ |
| fréquence | $0{,}10$ | $\approx0{,}23$ | $\approx0{,}33$ | $0{,}20$ | $\approx0{,}13$ | $\mathbf{1}$ |
La somme des fréquences vaut TOUJOURS $1$ (ou $100\,\%$). C'est le contrôle immédiat : si la somme ne tombe pas sur $1$ aux arrondis près, il y a une erreur — souvent un effectif oublié.
2. Les représentations graphiques
| Représentation | À utiliser quand… | Ce qu'on y lit |
|---|---|---|
| bâtons | les valeurs sont isolées | les effectifs, comparés entre eux |
| circulaire | on s'intéresse aux parts du total | les proportions |
| histogramme | les données sont regroupées en classes | la répartition sur un intervalle |
Le diagramme circulaire : l'angle est proportionnel à l'effectif, et le disque entier fait $360°$. $\text{angle} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360°.$
Pour la note $12$ : $\dfrac{10}{30}\times360° = 120°$.
Un histogramme n'est pas un diagramme en bâtons. Les bâtons sont séparés (valeurs isolées) ; les rectangles d'un histogramme sont collés, parce qu'ils couvrent des intervalles qui se suivent. Quand les classes ont la même amplitude — le seul cas au programme — la hauteur représente l'effectif.
3. Les indicateurs
Moyenne. $\bar x = \frac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{effectif total}}$
Avec des effectifs, c'est une moyenne pondérée :
$\bar x = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + \cdots + n_px_p}{n_1+n_2+\cdots+n_p}.$
Médiane. C'est la valeur qui partage la série en deux moitiés de même effectif, une fois les valeurs rangées dans l'ordre croissant.
- effectif impair : c'est la valeur du milieu ;
- effectif pair : c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
Étendue. $\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}.$
Elle mesure la dispersion, pas la position.
Sur la série $4\ ;6\ ;7\ ;9\ ;10\ ;10\ ;12\ ;15\ ;19\ ;28$ ($10$ valeurs) : $\bar x = \frac{120}{10} = 12, \qquad \text{médiane} = \frac{10+10}{2} = 10, \qquad \text{étendue} = 28-4 = 24.$
RANGER LA SÉRIE avant de chercher la médiane — c'est l'oubli qui fausse tout. Sur des données brutes non triées, la « valeur du milieu du tableau » n'a aucun sens.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non. Ici, la valeur isolée $28$ tire la moyenne à $12$, alors que six des dix données valent $10$ ou moins. C'est exactement le mécanisme du salaire moyen de l'introduction : quand une série contient des valeurs très éloignées, la médiane décrit mieux la situation courante.
4. Exercices corrigés
Exercice 1 — Effectifs et fréquences
Dans un club de $200$ membres : $80$ font du judo, $60$ du tennis, $40$ de la natation, les autres de l'escalade. a. Compléter les effectifs. b. Calculer les fréquences en pourcentage. c. Quel angle représenterait le judo sur un diagramme circulaire ?
Correction. a. Escalade : $200 - (80+60+40) = 20$. b. Judo $\frac{80}{200} = 40\,\%$ · tennis $30\,\%$ · natation $20\,\%$ · escalade $10\,\%$. Contrôle : $40+30+20+10 = 100\,\%$ ✓. c. $\dfrac{80}{200}\times360° = 144°$.
Exercice 2 — Moyenne, médiane, étendue
Voici les températures relevées (en °C) sur $7$ jours : $14\ ;\ 18\ ;\ 11\ ;\ 22\ ;\ 16\ ;\ 13\ ;\ 18$. Calculer la moyenne, la médiane et l'étendue.
Correction. Somme : $14+18+11+22+16+13+18 = 112$, donc $\bar x = \frac{112}{7} = 16 \text{ °C}.$ Série rangée : $11\ ;13\ ;14\ ;\mathbf{16}\ ;18\ ;18\ ;22$. L'effectif est impair ($7$), la médiane est la $4^{\text{e}}$ valeur : $16$ °C. Étendue : $22 - 11 = 11$ °C.
Ici moyenne et médiane coïncident : la série est bien équilibrée, sans valeur aberrante.
Exercice 3 — Moyenne pondérée
Répartition des notes d'un devoir :
| note | $6$ | $9$ | $12$ | $15$ | $18$ |
|---|---|---|---|---|---|
| effectif | $2$ | $5$ | $8$ | $4$ | $1$ |
a. Combien d'élèves ont composé ? b. Calculer la moyenne de la classe. c. Déterminer la médiane.
Correction. a. $2+5+8+4+1 = 20$ élèves. b. $\bar x = \frac{2\times6 + 5\times9 + 8\times12 + 4\times15 + 1\times18}{20} = \frac{12+45+96+60+18}{20} = \frac{231}{20} = 11{,}55.$ c. L'effectif est pair ($20$) : la médiane est la moyenne des $10^{\text{e}}$ et $11^{\text{e}}$ notes. Les effectifs cumulés valent $2$, $7$, $15$, $19$, $20$ : les $10^{\text{e}}$ et $11^{\text{e}}$ notes sont toutes deux dans la classe des $12$. La médiane vaut donc $12$.
La médiane ($12$) dépasse la moyenne ($11{,}55$) : les deux notes basses tirent la moyenne vers le bas.
Exercice 4 — Lire un histogramme
D'après l'histogramme du cours (âge du premier emploi qualifié, $2\,500$ personnes) :
| classe | $[18\,;22[$ | $[22\,;26[$ | $[26\,;30[$ | $[30\,;34[$ | $[34\,;38[$ |
|---|---|---|---|---|---|
| effectif | $100$ | $200$ | $400$ | $1\,100$ | $700$ |
a. Vérifier l'effectif total. b. Quelle fréquence de personnes ont trouvé leur emploi avant $30$ ans ? c. Dans quelle classe se situe la médiane ?
Correction. a. $100+200+400+1\,100+700 = 2\,500$ ✓. b. Avant $30$ ans : $100+200+400 = 700$ personnes, soit $\frac{700}{2\,500} = 0{,}28 = 28\,\%.$ c. La médiane sépare les $1\,250$ premières des $1\,250$ dernières. Effectifs cumulés : $100$, $300$, $700$, $1\,800$… Le seuil de $1\,250$ est franchi dans la classe $[30\,;34[$ : c'est la classe médiane.
Exercice 5 — L'effet d'une valeur extrême
Les salaires mensuels d'une petite entreprise (en €) : $1\,600$ ; $1\,700$ ; $1\,800$ ; $1\,900$ ; $2\,000$ ; $12\,000$. a. Calculer la moyenne et la médiane. b. Lequel des deux indicateurs décrit le mieux la situation des employés ?
Correction. a. Somme : $21\,000$, donc $\bar x = \dfrac{21\,000}{6} = 3\,500$ €. Effectif pair ($6$) : la médiane est la moyenne des $3^{\text{e}}$ et $4^{\text{e}}$ valeurs, soit $\dfrac{1\,800+1\,900}{2} = 1\,850$ €. b. La médiane. Aucun employé ne gagne $3\,500$ € ; cinq sur six gagnent $2\,000$ € ou moins. La moyenne est tirée vers le haut par le seul salaire de $12\,000$ €.
C'est exactement pourquoi les statistiques officielles sur les salaires publient toujours la médiane à côté de la moyenne.
Exercice 6 — Compléter une série
Une série de $5$ nombres a pour moyenne $12$. Quatre d'entre eux valent $8$, $10$, $14$ et $16$. Quel est le cinquième ?
Correction. La somme des cinq nombres vaut $5\times12 = 60$. Or $8+10+14+16 = 48$, donc le cinquième vaut $60 - 48 = 12.$ Méthode générale : la moyenne donne accès à la somme, et la somme au terme manquant.
Exercice 7 — Comparer deux séries
Deux joueurs de basket ont marqué sur $5$ matchs : Alex : $12\ ;14\ ;13\ ;15\ ;11$ — Bilal : $2\ ;25\ ;5\ ;28\ ;5$. a. Calculer les deux moyennes. b. Calculer les deux étendues. c. Que peut-on dire de ces deux joueurs ?
Correction. a. Alex : $\frac{65}{5} = 13$. Bilal : $\frac{65}{5} = 13$. Même moyenne. b. Alex : $15-11 = 4$. Bilal : $28-2 = 26$. c. Même niveau moyen, mais Alex est régulier (étendue $4$) alors que Bilal est très irrégulier (étendue $26$). La moyenne seule ne les distinguait pas : il faut un indicateur de dispersion pour cela.
À retenir
$\text{fréquence} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}, \qquad \text{somme des fréquences} = 1$
Diagramme circulaire : $\text{angle} = \text{fréquence} \times 360°$. Bâtons (séparés) pour des valeurs isolées ; histogramme (rectangles collés) pour des classes.
Moyenne : somme divisée par l'effectif — pondérée s'il y a des effectifs. Médiane : la valeur du milieu de la série rangée — moyenne des deux centrales si l'effectif est pair. Étendue : max $-$ min ; elle mesure la dispersion, pas la position.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non. Deux séries de même moyenne peuvent être totalement différentes — c'est l'étendue qui le révèle.
Chapitre suivant : les probabilités.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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