Mathématiques — 3ème
Théorème de Thalès et triangles semblables — Maths Troisième (chapitre 11)
Configurations de Thalès (triangles emboîtés et papillon), théorème et réciproque, triangles semblables et rapport d'agrandissement. Programme du cycle 4,…
Par ProfBot
Théorème de Thalès et triangles semblables
Chapitre 11 — Espace et géométrie · Troisième
Comment mesurer la hauteur d'un immeuble sans y monter ? En comparant son ombre à celle d'un bâton. C'est le théorème de Thalès : quand deux droites parallèles coupent deux sécantes, elles découpent des longueurs proportionnelles. Le même raisonnement mesure la hauteur d'une pyramide, la largeur d'une rivière, ou la distance d'un bateau à la côte.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Le théorème de Thalès et sa réciproque (configurations des triangles emboîtés et du papillon) ; triangles semblables : une définition et une propriété caractéristique. Mobiliser les connaissances des figures et des configurations pour déterminer des grandeurs géométriques ; mener des raisonnements et s'initier à la démonstration ; résoudre des problèmes en utilisant la proportionnalité dans le cadre de la géométrie (agrandissement, réduction, triangles semblables).
1. Les deux configurations
Dans les deux cas on retrouve les mêmes ingrédients : deux droites sécantes en $A$, et deux droites parallèles qui les coupent. Seule la position des points change — dans le « papillon », $M$ et $N$ sont de l'autre côté de $A$.
Reconnaître la configuration est la première étape, et la plus décisive. S'il n'y a pas deux droites sécantes coupées par deux parallèles, Thalès ne s'applique pas — même si la figure y ressemble. Avant d'écrire quoi que ce soit : où est le point d'intersection ? où sont les parallèles ?
2. Le théorème de Thalès
Théorème. Soient deux droites sécantes en $A$. Soient $M$ et $B$ sur la première, $N$ et $C$ sur la seconde. Si $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.$
Sur la figure : $AM = 3$, $AB = 6$, $AN = 2$, $AC = 4$, $MN = 2{,}5$, $BC = 5$, et $\frac36 = \frac24 = \frac{2{,}5}{5} = \frac12.$
Écrire les rapports « dans le bon sens », toujours du même sommet. Chaque fraction part du point d'intersection $A$ : $\frac{AM}{AB}$ et non $\frac{MA}{BA}$ mélangé avec $\frac{AC}{AN}$. La méthode sûre : écrire le petit triangle au numérateur et le grand au dénominateur, dans le même ordre pour les trois fractions.
Le troisième rapport ne contient PAS $A$. $\frac{MN}{BC}$ relie les deux segments parallèles. C'est celui qu'on oublie, et c'est souvent le seul qui permet de calculer la longueur cherchée.
Méthode de calcul. On écrit les rapports, on ne garde que les deux qui contiennent la longueur cherchée et trois longueurs connues, puis on fait un produit en croix.
Exemple. Si $AM = 4$, $AB = 10$ et $BC = 15$, alors $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \ \Longrightarrow\ \frac{4}{10} = \frac{MN}{15} \ \Longrightarrow\ MN = \frac{4\times15}{10} = 6.$
3. La réciproque
Réciproque du théorème de Thalès. Si les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans le même ordre que $A$, $N$, $C$, et si
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},$
alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Méthode. On calcule séparément les deux rapports, puis on compare.
Exemple. $AM = 3$, $AB = 7{,}5$, $AN = 4$, $AC = 10$ : $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{4}{10} = 0{,}4.$ Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : $(MN) \parallel (BC)$.
Deux calculs SÉPARÉS, puis une comparaison. Écrire d'emblée « $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ » serait supposer ce qu'on cherche à démontrer. On calcule chaque rapport dans son coin, et ensuite on conclut — c'est la structure même d'une réciproque.
La condition d'ordre est indispensable. Sans elle, deux rapports égaux peuvent donner des droites non parallèles — c'est ce qui distingue la configuration classique du papillon, où l'ordre est inversé de part et d'autre de $A$.
4. Triangles semblables
Définition. Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Propriété caractéristique. Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs côtés sont proportionnels : il existe un nombre $k$ tel que chaque côté de l'un soit $k$ fois le côté correspondant de l'autre.
Sur la figure, $k = 1{,}5$ : $\frac{A'B'}{AB} = \frac{6}{4} = 1{,}5, \qquad \frac{A'C'}{AC} = \frac{4{,}5}{3} = 1{,}5, \qquad \frac{B'C'}{B C} = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5.$
Un agrandissement change les LONGUEURS, jamais les ANGLES. C'est ce qui fait qu'une photo agrandie reste ressemblante. Deux triangles semblables ont la même « forme » et des tailles différentes.
Attention à l'ordre des sommets. « $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables » sous-entend que $A$ correspond à $A'$, $B$ à $B'$, $C$ à $C'$. Apparier les mauvais sommets fait écrire des rapports qui ne sont pas égaux — et conclure à tort que les triangles ne sont pas semblables.
Lien avec Thalès. Dans la configuration des triangles emboîtés, les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables : ils ont l'angle $\widehat{A}$ en commun et les deux autres angles égaux, parce que $(MN)\parallel(BC)$.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculer une longueur
Dans la configuration des triangles emboîtés, $A$, $M$, $B$ sont alignés ainsi que $A$, $N$, $C$, et $(MN)\parallel(BC)$. On donne $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm, $AN = 5$ cm et $BC = 12$ cm. Calculer $AC$ et $MN$.
Correction. D'après le théorème de Thalès, $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad\text{soit}\qquad \frac{4}{10} = \frac{5}{AC} = \frac{MN}{12}.$ $AC = \frac{5\times10}{4} = 12{,}5 \text{ cm}, \qquad MN = \frac{4\times12}{10} = 4{,}8 \text{ cm}.$
Contrôle de vraisemblance : $MN$ doit être plus petit que $BC$ ✓, et $AC$ plus grand que $AN$ ✓.
Exercice 2 — Configuration papillon
Les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$, avec $(MN)\parallel(BC)$. On donne $AB = 6$, $AM = 3$, $AC = 8$. Calculer $AN$.
Correction. Le théorème s'applique de la même façon : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \ \Longrightarrow\ \frac{3}{6} = \frac{AN}{8} \ \Longrightarrow\ AN = \frac{3\times8}{6} = 4.$
La configuration papillon ne change rien aux calculs : seule la figure a l'air différente.
Exercice 3 — Réciproque
$A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre avec $AM = 2{,}4$ et $AB = 6$ ; $A$, $N$, $C$ le sont avec $AN = 3{,}2$ et $AC = 8$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
Correction. On calcule séparément : $\frac{AM}{AB} = \frac{2{,}4}{6} = 0{,}4, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{3{,}2}{8} = 0{,}4.$ Les deux rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) \parallel (BC)$.
Exercice 4 — Montrer que ce n'est pas parallèle
Même configuration avec $AM = 3$, $AB = 8$, $AN = 4$, $AC = 10$.
Correction. $\frac{AM}{AB} = \frac38 = 0{,}375, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{4}{10} = 0{,}4.$ $0{,}375 \neq 0{,}4$ : les rapports sont différents, donc $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
Ici, la conclusion négative vient de la contraposée : si elles étaient parallèles, Thalès imposerait l'égalité des rapports.
Exercice 5 — Triangles semblables
Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 8$. Le triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 12{,}5$, $EF = 17{,}5$, $DF = 20$. Ces triangles sont-ils semblables ?
Correction. On compare les rapports des côtés correspondants : $\frac{DE}{AB} = \frac{12{,}5}{5} = 2{,}5, \qquad \frac{EF}{BC} = \frac{17{,}5}{7} = 2{,}5, \qquad \frac{DF}{AC} = \frac{20}{8} = 2{,}5.$ Les trois rapports sont égaux : les triangles sont semblables, de rapport $k = 2{,}5$.
Exercice 6 — La hauteur d'un arbre
Un bâton de $1{,}5$ m planté verticalement projette une ombre de $2{,}4$ m. Au même moment, un arbre projette une ombre de $9{,}6$ m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Correction. Les rayons du soleil étant parallèles, les deux triangles (bâton–ombre et arbre–ombre) sont semblables. Le rapport d'agrandissement se lit sur les ombres : $k = \frac{9{,}6}{2{,}4} = 4.$ La hauteur de l'arbre vaut donc $1{,}5 \times 4 = 6$ m.
Le même raisonnement, dit-on, a permis à Thalès de mesurer la hauteur de la pyramide de Khéops.
Exercice 7 — Un problème à deux étapes
Dans un triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 6$ et $MB = 4$, et $N$ est sur $[AC]$ avec $(MN)\parallel(BC)$. On sait que $BC = 15$ cm. a. Calculer $MN$. b. Sachant que $AN = 7{,}2$, calculer $NC$.
Correction. a. Attention : $AB = AM + MB = 6+4 = 10$. Alors $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \ \Longrightarrow\ \frac{6}{10} = \frac{MN}{15} \ \Longrightarrow\ MN = \frac{6\times15}{10} = 9 \text{ cm}.$ b. De même $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$, donc $AC = \frac{7{,}2}{0{,}6} = 12, \qquad NC = AC - AN = 12 - 7{,}2 = 4{,}8 \text{ cm}.$
Le piège de a : l'énoncé donne $MB$, pas $AB$. Il faut d'abord reconstituer la longueur totale — c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type d'exercice.
À retenir
Configuration : deux droites sécantes, coupées par deux parallèles — en triangles emboîtés ou en papillon.
Théorème de Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ Les deux premiers rapports partent de $A$ ; le troisième relie les deux parallèles.
Réciproque : on calcule les deux rapports séparément, on compare, et l'on vérifie que les points sont dans le même ordre.
Triangles semblables : mêmes angles ⟺ côtés proportionnels. Un agrandissement de rapport $k$ multiplie toutes les longueurs par $k$ et ne change pas les angles.
Le réflexe : vérifier si l'énoncé donne la longueur totale ou seulement une partie ($MB$ au lieu de $AB$).
Chapitre suivant : la trigonométrie dans le triangle rectangle.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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