Mathématiques — 3ème
Fractions et nombres rationnels — Maths Troisième (chapitre 2)
Nombres rationnels, fractions égales, comparaison, addition, multiplication et division de fractions, démonstration par le calcul littéral. Programme du…
Par ProfBot
Fractions et nombres rationnels
Chapitre 2 — Nombres et calculs · Troisième
$\frac12 + \frac13$ ne fait pas $\frac25$. Cette erreur, la plus fréquente de tout le collège, vient d'un oubli : une fraction n'est pas un couple de nombres, c'est un seul nombre — le résultat d'une division. Additionner des tiers et des demis, c'est additionner des parts de tailles différentes, ce qui n'a pas de sens tant qu'on ne les a pas ramenées à la même taille.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Fractions, nombres rationnels (positifs et négatifs), notion d'inverse et d'opposé ; égalité de fractions (démonstration possible à partir de la définition du quotient) ; ordre sur les nombres rationnels ; somme, différence, produit, quotient de deux nombres rationnels. Utiliser diverses représentations d'un même nombre et passer de l'une à l'autre ; comparer, ranger, encadrer ; repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée ; calculer avec des fractions dans le cadre de la résolution de problèmes.
Il est attendu de démontrer au moins une propriété du calcul fractionnaire en utilisant le calcul littéral et la définition du quotient.
1. Ce qu'est une fraction
Définition. Pour $b \neq 0$, le quotient $\dfrac ab$ est l'unique nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ :
$\frac ab \times b = a.$
Cette phrase est la définition officielle, et c'est d'elle que découlent toutes les règles de calcul du chapitre. Un nombre qui s'écrit sous la forme $\frac ab$ avec $a$ et $b$ entiers ($b\neq0$) s'appelle un nombre rationnel.
Une fraction est UN nombre, pas deux. $\frac34$ n'est pas « $3$ et $4$ » : c'est $0{,}75$, un point précis sur la droite graduée. C'est en l'oubliant qu'on se met à additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Opposé et inverse, à ne pas confondre :
| Définition | Exemple | |
|---|---|---|
| opposé de $x$ | le nombre $-x$ ; leur somme vaut $0$ | l'opposé de $\frac35$ est $-\frac35$ |
| inverse de $x$ ($x\neq0$) | le nombre $\frac1x$ ; leur produit vaut $1$ | l'inverse de $\frac35$ est $\frac53$ |
2. Fractions égales
Propriété. Pour tous $a$, $c$ et tout $k \neq 0$, $b\neq 0$ :
$\frac{a\times k}{b\times k} = \frac ab.$
Découper plus fin ne change pas la quantité : $\frac23 = \frac46 = \frac8{12}$.
Démonstration (à partir de la définition du quotient). Posons $x = \dfrac ab$. Par définition, $x \times b = a$. Multiplions les deux membres par $k$ :
$x \times b \times k = a\times k.$
Cela signifie que $x$, multiplié par $b\times k$, donne $a \times k$ : $x$ est donc le quotient de $a\times k$ par $b\times k$, c'est-à-dire $x = \dfrac{a\times k}{b\times k}$. Les deux écritures désignent bien le même nombre. $\blacksquare$
Le critère du produit en croix. Pour $b\neq0$ et $d\neq0$ :
$\frac ab = \frac cd \iff ad = bc.$
C'est ce qui permet de vérifier une égalité sans calculer : $\frac{12}{18} = \frac{14}{21}$ car $12\times21 = 252$ et $18\times14 = 252$.
3. Comparer des fractions
Même dénominateur → on compare les numérateurs : $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$. Dénominateurs différents → on les ramène au même dénominateur.
$\frac34 \text{ et } \frac57 : \qquad \frac34 = \frac{21}{28}, \quad \frac57 = \frac{20}{28}, \qquad \text{donc } \frac34 > \frac57.$
Un dénominateur plus grand ne veut pas dire un nombre plus grand — c'est même l'inverse à numérateur fixé : $\frac13 < \frac12$, car partager en trois donne des parts plus petites qu'en deux. La comparaison des seuls dénominateurs ne prouve rien dès que les numérateurs diffèrent.
4. Les quatre opérations
Addition et soustraction
Règle. On ne peut additionner que des fractions de même dénominateur :
$\frac ac + \frac bc = \frac{a+b}{c}.$
Sinon, on réduit d'abord au même dénominateur.
$\frac12 + \frac13 = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}.$
$\frac12 + \frac13 \neq \frac25$. Contrôle immédiat : $\frac12$ vaut déjà $0{,}5$, donc la somme dépasse $0{,}5$ — alors que $\frac25 = 0{,}4$ lui est inférieur. Une estimation de l'ordre de grandeur suffit à repérer l'erreur, sans même faire le calcul.
Trouver le dénominateur commun : le plus simple est de prendre le produit des deux dénominateurs, mais le plus petit multiple commun donne des nombres plus petits. Pour $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$, on prend $36$ (et non $216$) : $\frac{5}{12} + \frac{7}{18} = \frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}.$
Multiplication
Règle. $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{a\times c}{b\times d}.$
Ici, aucun dénominateur commun n'est nécessaire — et c'est justement ce qui trouble : la règle de la multiplication est plus simple que celle de l'addition.
$\frac34 \times \frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac23.$
Mieux : on simplifie avant de multiplier, pour éviter les grands nombres : $\frac34 \times \frac89 = \frac{3\times8}{4\times9} = \frac{3\times 4\times 2}{4\times 3\times 3} = \frac23.$
Division
Règle. Diviser, c'est multiplier par l'inverse :
$\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc.$
$\frac25 \div \frac34 = \frac25\times\frac43 = \frac{8}{15}.$
Diviser peut AGRANDIR. $\frac25 \div \frac34 = \frac8{15} \approx 0{,}53$, alors que $\frac25 = 0{,}4$ : le résultat a grandi, parce qu'on a divisé par un nombre inférieur à $1$. « Diviser, ça diminue » est une intuition d'école primaire qui devient fausse ici.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Égalité de fractions
Ces fractions sont-elles égales ? a. $\dfrac{15}{25}$ et $\dfrac{21}{35}$ · b. $\dfrac{7}{12}$ et $\dfrac{9}{16}$.
Correction. a. Produit en croix : $15\times35 = 525$ et $25\times21 = 525$. Égales (les deux valent $\frac35$). b. $7\times16 = 112$ et $12\times9 = 108$. $112 \neq 108$ : pas égales. Et comme $112 > 108$, on a même $\frac7{12} > \frac9{16}$.
Exercice 2 — Calculs
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible. a. $\dfrac56 - \dfrac38$ · b. $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{21}$ · c. $\dfrac{4}{9}\div\dfrac{8}{3}$ · d. $\dfrac23 + \dfrac34 \times \dfrac89$
Correction. a. Dénominateur commun $24$ : $\dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ (irréductible). b. $\dfrac{7\times5}{10\times21} = \dfrac{35}{210} = \dfrac16$. c. $\dfrac49\times\dfrac38 = \dfrac{12}{72} = \dfrac16$. d. Priorité à la multiplication : $\dfrac34\times\dfrac89 = \dfrac23$, puis $\dfrac23+\dfrac23 = \dfrac43$.
Dans d, calculer de gauche à droite donnerait $\left(\frac23+\frac34\right)\times\frac89 = \frac{17}{12}\times\frac89 = \frac{34}{27}$ — un résultat faux. Les priorités opératoires valent aussi pour les fractions.
Exercice 3 — Comparaison
Ranger dans l'ordre croissant : $\dfrac{5}{6}$ ; $\dfrac{7}{9}$ ; $\dfrac{4}{5}$.
Correction. Dénominateur commun : $90$. $\frac56 = \frac{75}{90}, \qquad \frac79 = \frac{70}{90}, \qquad \frac45 = \frac{72}{90}.$ Donc $\dfrac79 < \dfrac45 < \dfrac56$. Contrôle décimal : $0{,}778 < 0{,}8 < 0{,}833$ ✓.
Exercice 4 — Problème
Un cycliste a parcouru $\dfrac35$ de son trajet le matin, puis $\dfrac14$ du trajet total l'après-midi. a. Quelle fraction du trajet a-t-il parcourue ? b. Quelle fraction lui reste-t-il ? c. Si le trajet total mesure $80$ km, combien de kilomètres lui reste-t-il ?
Correction. a. $\dfrac35 + \dfrac14 = \dfrac{12}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{17}{20}$. b. $1 - \dfrac{17}{20} = \dfrac{20}{20} - \dfrac{17}{20} = \dfrac{3}{20}$. c. $\dfrac{3}{20}\times 80 = \dfrac{240}{20} = 12$ km.
Exercice 5 — La balle qui rebondit
On lâche une balle d'une hauteur de $1$ m. À chaque rebond, elle remonte aux trois quarts de la hauteur précédente. Quelle hauteur atteint-elle au troisième rebond ?
Correction. À chaque rebond on multiplie par $\frac34$ : $1 \times \frac34 \times \frac34 \times \frac34 = \left(\frac34\right)^3 = \frac{27}{64} = 0{,}421875 \text{ m},$ soit environ $42$ cm.
Attention à ne pas retrancher $\frac34$ à chaque fois : la balle remonte aux trois quarts, elle ne perd pas trois quarts de mètre.
Exercice 6 — Une démonstration
Démontrer que pour tous nombres $a$, $b$, $c$, $d$ (avec $b\neq0$, $d\neq0$) : $\frac ab \times \frac cd = \frac{ac}{bd}.$
Correction. Posons $x = \dfrac ab$ et $y = \dfrac cd$. Par définition du quotient, $x\times b = a \qquad\text{et}\qquad y\times d = c.$ Multiplions membre à membre ces deux égalités : $x \times b \times y \times d = a\times c, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad (x\times y)\times(b\times d) = a\times c.$ Le nombre $x\times y$, multiplié par $b\times d$, donne $a\times c$ : c'est donc, par définition, le quotient de $ac$ par $bd$. Ainsi $\frac ab\times\frac cd = \frac{ac}{bd}. \qquad \blacksquare$
Cette démonstration ne suppose rien d'autre que la définition du quotient — c'est exactement ce que le programme demande de savoir faire au moins une fois.
À retenir
Définition : $\dfrac ab$ est l'unique nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. Tout en découle.
$\frac{ak}{bk} = \frac ab, \qquad \frac ab = \frac cd \iff ad = bc$
Addition : dénominateur commun obligatoire. $\frac ac + \frac bc = \frac{a+b}{c}$ Multiplication : aucun dénominateur commun nécessaire — on simplifie avant de multiplier. $\frac ab\times\frac cd = \frac{ac}{bd}$ Division : on multiplie par l'inverse. Diviser par un nombre inférieur à $1$ agrandit.
Ne pas confondre l'opposé (somme nulle) et l'inverse (produit égal à $1$).
Le réflexe qui sauve : estimer en décimal pour vérifier l'ordre de grandeur du résultat.
Chapitre suivant : les puissances et la notation scientifique.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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