Mathématiques — 3ème
Puissances et notation scientifique — Maths Troisième (chapitre 3)
Puissances d'exposants positifs et négatifs, règles de calcul, notation scientifique, ordres de grandeur et préfixes de nano à giga. Programme du cycle 4,…
Par ProfBot
Puissances et notation scientifique
Chapitre 3 — Nombres et calculs · Troisième
Un atome de cuivre pèse $1{,}05\times10^{-22}$ gramme ; la Terre pèse $6\times10^{24}$ kilogrammes. Écrits en toutes lettres, ces nombres seraient illisibles — et incomparables. Les puissances de $10$ servent exactement à cela : rendre manipulables les très grands et les très petits nombres, et permettre de les comparer d'un coup d'œil, par leur exposant.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Puissance d'un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs) ; notation scientifique ; préfixes de nano à giga. Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique ; utiliser les puissances pour simplifier l'écriture des produits ; associer à des objets des ordres de grandeur ; vérifier la vraisemblance d'un résultat en estimant son ordre de grandeur.
« La mise en acte de produits et de quotients de puissances de même base résulte de l'application de la définition plutôt que de celle d'une formule. »
1. Définition
Définition. Pour $a$ un nombre et $n$ un entier strictement positif :
$a^n = \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n \text{ facteurs}}, \qquad a^1 = a.$
Pour $a \neq 0$ :
$a^0 = 1 \qquad\text{et}\qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$
$2^5 = 32, \qquad 10^3 = 1\,000, \qquad 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0{,}04.$
L'exposant compte les FACTEURS, pas les multiplications. $2^5$ vaut $2\times2\times2\times2\times2$ : cinq facteurs, quatre signes $\times$. Et surtout, $2^5$ ne vaut pas $2\times5 = 10$ — c'est la confusion numéro un, qui donne $10$ au lieu de $32$.
Pourquoi $a^0 = 1$ ? Ce n'est pas une convention arbitraire. En divisant $2^3$ par $2^3$, on obtient $1$ ; en appliquant la règle des quotients, on obtient $2^{3-3} = 2^0$. Pour que tout reste cohérent, il faut que $2^0 = 1$.
Signe d'une puissance. $(-2)^4 = 16$, mais $(-2)^3 = -8$ : une puissance paire d'un nombre négatif est positive, une puissance impaire est négative.
$(-3)^2$ et $-3^2$ ne sont pas la même chose. Le premier vaut $9$, le second $-9$ : sans parenthèses, la puissance s'applique avant le signe. Les calculatrices appliquent cette règle à la lettre.
2. Les règles de calcul
$a^m\times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{m\times n},$ $(a\times b)^n = a^n\times b^n, \qquad \left(\frac ab\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.$
Le programme demande de les retrouver par la définition plutôt que de les réciter : $10^3\times10^2 = \underbrace{(10\times10\times10)}_{3}\times\underbrace{(10\times10)}_{2} = \underbrace{10\times10\times10\times10\times10}_{5} = 10^5.$
On ADDITIONNE les exposants, on ne les multiplie pas. $2^3\times2^4 = 2^7 = 128$ (et non $2^{12}$). Contrôle mental en trois secondes : $8\times16 = 128$ ✓.
Et surtout : $a^m + a^n$ ne se simplifie PAS. $2^3 + 2^4 = 8+16 = 24$, qui n'est aucune puissance de $2$. Les règles ci-dessus ne concernent que les produits et les quotients.
3. La notation scientifique
Définition. Un nombre est en notation scientifique lorsqu'il s'écrit
$a \times 10^n \qquad\text{avec}\qquad 1 \leqslant |a| < 10 \quad\text{et}\quad n \text{ entier relatif.}$
$47\,000 = 4{,}7\times10^4, \qquad 0{,}00062 = 6{,}2\times10^{-4}.$
La mantisse doit avoir UN seul chiffre avant la virgule. $47\times10^3$ et $0{,}47\times10^5$ valent bien $47\,000$, mais ne sont pas en notation scientifique. C'est la contrainte $1 \leqslant a < 10$ qui rend l'écriture unique — et donc la comparaison immédiate.
Comparer deux nombres en notation scientifique : on regarde d'abord l'exposant, et seulement en cas d'égalité la mantisse. $3{,}1\times10^{8} \ > \ 9{,}9\times10^{7}, \qquad 2{,}4\times10^{5} \ < \ 7{,}1\times10^{5}.$
Calculer : on regroupe les mantisses d'un côté, les puissances de l'autre. $(3\times10^4)\times(5\times10^{-7}) = (3\times5)\times10^{4-7} = 15\times10^{-3} = 1{,}5\times10^{-2}.$
La dernière étape est celle qu'on oublie. $15\times10^{-3}$ est un résultat juste, mais pas en notation scientifique : il faut encore ramener la mantisse entre $1$ et $10$. Un exercice qui demande la notation scientifique attend cette conversion finale.
4. Ordres de grandeur et préfixes
| Préfixe | Symbole | Facteur |
|---|---|---|
| giga | G | $10^{9}$ |
| méga | M | $10^{6}$ |
| kilo | k | $10^{3}$ |
| milli | m | $10^{-3}$ |
| micro | μ | $10^{-6}$ |
| nano | n | $10^{-9}$ |
Quelques ordres de grandeur à connaître :
| Objet | Ordre de grandeur |
|---|---|
| taille d'un atome | $10^{-10}$ m |
| taille d'une bactérie | $10^{-6}$ m |
| taille d'un être humain | $10^{0}$ m |
| circonférence de la Terre | $4\times10^{7}$ m |
| distance Terre-Lune | $4\times10^{8}$ m |
| vitesse de la lumière | $3\times10^{8}$ m/s |
| population mondiale | $8\times10^{9}$ habitants |
Un ordre de grandeur sert à VÉRIFIER. Si un calcul de masse d'atome donne $10^{5}$ kg, inutile de chercher l'erreur dans le détail : le résultat est absurde d'emblée. C'est le contrôle le plus rentable qui soit — il coûte deux secondes et attrape les fautes de frappe comme les erreurs de méthode.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculs de puissances
Calculer sans calculatrice : a. $3^4$ · b. $(-2)^5$ · c. $10^{-3}$ · d. $7^0$ · e. $\left(\frac23\right)^3$.
Correction. a. $3\times3\times3\times3 = 81$. b. $(-2)^5 = -32$ (exposant impair, donc résultat négatif). c. $\dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$. d. $1$. e. $\dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27}$.
Exercice 2 — Simplifier des écritures
Écrire sous la forme d'une seule puissance : a. $8\times8\times8\times8\times8$ · b. $\dfrac{1}{6\times6\times6\times6}$ · c. $5^7\times5^{-3}$ · d. $\dfrac{2^9}{2^{12}}$ · e. $(3^2)^4$.
Correction. a. $8^5$. b. $\dfrac{1}{6^4} = 6^{-4}$. c. $5^{7+(-3)} = 5^4$. d. $2^{9-12} = 2^{-3}$. e. $3^{2\times4} = 3^8$.
Exercice 3 — Notation scientifique
Écrire en notation scientifique : a. $325\,000$ · b. $0{,}0000084$ · c. $(4\times10^6)\times(2{,}5\times10^{-9})$ · d. $\dfrac{6\times10^{5}}{3\times10^{-2}}$.
Correction. a. $3{,}25\times10^5$. b. $8{,}4\times10^{-6}$. c. $(4\times2{,}5)\times10^{6-9} = 10\times10^{-3} = 1\times10^{-2}$. Le facteur $10$ n'est pas une mantisse valable : on le convertit en $10^1$, ce qui décale l'exposant. d. $\dfrac63\times10^{5-(-2)} = 2\times10^{7}$.
Exercice 4 — Les bactéries
Une bactérie se divise en deux toutes les $30$ minutes. On en place une dans des conditions favorables. a. Combien y en a-t-il au bout de $3$ heures ? b. Et au bout de $18$ heures ? Exprimer le résultat en milliards.
Correction. a. En $3$ heures il y a $6$ divisions (une toutes les demi-heures), donc $2^6 = 64$ bactéries. b. En $18$ heures : $36$ divisions, soit $2^{36}$ bactéries. $2^{36} = 68\,719\,476\,736 \approx 6{,}9\times10^{10},$ c'est-à-dire environ 69 milliards de bactéries.
Le doublement est toujours sous-estimé : à $9$ heures on n'en est qu'à $2^{18} \approx 260\,000$, et les dix-huit heures suivantes multiplient encore ce nombre par $260\,000$.
Exercice 5 — La masse d'un atome
Il y a environ $2\times10^{15}$ atomes de cuivre dans $211$ nanogrammes de cuivre. Quelle est la masse d'un atome de cuivre ?
Correction. D'abord la masse totale en grammes : $211$ ng $= 211\times10^{-9}$ g $= 2{,}11\times10^{-7}$ g. La masse d'un atome est le quotient : $\frac{2{,}11\times10^{-7}}{2\times10^{15}} = \frac{2{,}11}{2}\times10^{-7-15} = 1{,}055\times10^{-22} \text{ g}.$
Contrôle d'ordre de grandeur : un atome pèse environ $10^{-22}$ g — c'est bien l'échelle attendue.
Exercice 6 — Comparer
Ranger dans l'ordre croissant : $4\times10^{-3}$ ; $9\times10^{-4}$ ; $2\times10^{-2}$ ; $7\times10^{-4}$.
Correction. On classe d'abord par exposant (le plus petit exposant donne le plus petit nombre), puis par mantisse à exposant égal : $7\times10^{-4} < 9\times10^{-4} < 4\times10^{-3} < 2\times10^{-2}.$ Contrôle décimal : $0{,}0007 < 0{,}0009 < 0{,}004 < 0{,}02$ ✓.
Exercice 7 — Ordre de grandeur
La lumière parcourt environ $3\times10^{8}$ m en une seconde. Quelle distance parcourt-elle en une année ? (On prendra $365$ jours.)
Correction. Une année dure $365\times24\times3\,600 = 31\,536\,000 \approx 3{,}15\times10^{7} \text{ secondes}.$ Donc la distance vaut $3\times10^8 \times 3{,}15\times10^7 \approx 9{,}46\times10^{15} \text{ m},$ soit environ $9{,}46\times10^{12}$ km : c'est l'année-lumière, près de dix mille milliards de kilomètres.
À retenir
$a^n = \underbrace{a\times\cdots\times a}_{n}, \qquad a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
$a^m a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}$
Aucune règle pour la somme $a^m + a^n$. Attention à $-3^2 = -9$ contre $(-3)^2 = 9$.
Notation scientifique : $a\times10^n$ avec $\mathbf{1 \leqslant |a| < 10}$ — la conversion finale de la mantisse est l'étape qu'on oublie.
Comparer : d'abord l'exposant, ensuite la mantisse.
Préfixes : nano $10^{-9}$ · micro $10^{-6}$ · milli $10^{-3}$ · kilo $10^{3}$ · méga $10^{6}$ · giga $10^{9}$.
Toujours vérifier l'ordre de grandeur du résultat : c'est le contrôle le plus rentable.
Chapitre suivant : les racines carrées.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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