Mathématiques — 3ème

Trigonométrie dans le triangle rectangle — Maths Troisième (chapitre 12)

Théorème de Pythagore et sa réciproque, cosinus, sinus et tangente, calcul de longueurs et de mesures d'angles dans un triangle rectangle. Programme du…

Par ProfBot

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Chapitre 12 — Espace et géométrie · Troisième

Pythagore relie les trois longueurs d'un triangle rectangle. La trigonométrie fait mieux : elle relie les longueurs aux angles. Avec elle, connaître un côté et un angle suffit à tout calculer — c'est ce qui permet de mesurer la hauteur d'une montagne depuis sa base, ou la distance d'une étoile.

Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Le théorème de Pythagore et sa réciproque ; lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente. Mobiliser les connaissances des figures et des configurations pour déterminer des grandeurs géométriques ; mener des raisonnements et s'initier à la démonstration.

1. Rappel : le théorème de Pythagore

Théorème. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors

$BC^2 = AB^2 + AC^2,$

où $BC$ est l'hypoténuse — le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long.

Un triangle rectangle 3-4-5 avec les carrés construits sur ses trois côtés.

L'hypoténuse est toujours SEULE de son côté du signe $=$. Écrire $AB^2 = BC^2 + AC^2$ quand le triangle est rectangle en $A$ est l'erreur qui fausse tout. Repère infaillible : l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas l'angle droit.

Réciproque. Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en $A$.

Contraposée. Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors le triangle n'est pas rectangle.

Méthode pour la réciproque : on calcule séparément $BC^2$ d'un côté, $AB^2+AC^2$ de l'autre, puis on compare. On commence toujours par identifier le plus grand côté, seul candidat au rôle d'hypoténuse.

2. Le vocabulaire : adjacent, opposé, hypoténuse

Deux triangles identiques : selon qu'on regarde l'angle B ou l'angle C, l'adjacent et l'opposé s'échangent.

Dans un triangle rectangle en $A$, et par rapport à un angle aigu choisi :

Nom du côtéDéfinition
hypoténusele côté opposé à l'angle droit (fixe)
côté adjacentcelui qui touche l'angle choisi (sans être l'hypoténuse)
côté opposécelui qui est en face de l'angle choisi

Adjacent et opposé DÉPENDENT de l'angle choisi ; l'hypoténuse, non. Sur la figure, $AB$ est adjacent à $\widehat B$ mais opposé à $\widehat C$. C'est pourquoi la première question, avant toute formule, est : de quel angle est-ce que je parle ?

3. Cosinus, sinus, tangente

Définitions. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{B}$ :

$\cos\widehat B = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \qquad

\sin\widehat B = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, \qquad

\tan\widehat B = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.$

Un triangle 3-4-5 avec les trois rapports calculés.

Le moyen mnémotechnique : CAH · SOH · TOA $\textbf{C}os = \frac{\textbf{A}djacent}{\textbf{H}ypoténuse}, \qquad \textbf{S}in = \frac{\textbf{O}pposé}{\textbf{H}ypoténuse}, \qquad \textbf{T}an = \frac{\textbf{O}pposé}{\textbf{A}djacent}.$

Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours entre $0$ et $1$. Ils sont des quotients où le numérateur (un côté de l'angle droit) est plus petit que le dénominateur (l'hypoténuse). Trouver $\cos\widehat B = 1{,}25$ signale une erreur : on a probablement inversé la fraction. La tangente, elle, peut dépasser $1$.

Calculer une longueur

Un triangle est rectangle en $A$, avec $\widehat B = 35°$ et $BC = 10$ cm. Calculer $AB$.

$AB$ est adjacent à $\widehat B$ et $BC$ est l'hypoténuse : c'est le cosinus. $\cos 35° = \frac{AB}{10} \quad\Longrightarrow\quad AB = 10\times\cos 35° \approx 8{,}19 \text{ cm}.$

Calculer un angle

Un triangle est rectangle en $A$, avec $AB = 4$ et $BC = 5$. Calculer $\widehat B$.

$\cos\widehat B = \frac{AB}{BC} = \frac45 = 0{,}8 \quad\Longrightarrow\quad \widehat B = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°.$

La calculatrice doit être en DEGRÉS. Le mode RAD ou GRAD donne des résultats faux sans le moindre avertissement. Contrôle : $\cos 60°$ doit afficher $0{,}5$ ; si ce n'est pas le cas, le mode est mauvais.

$\arccos$ (souvent noté $\cos^{-1}$) n'est pas $\frac{1}{\cos}$. C'est la touche qui fait le chemin inverse : elle part du rapport et rend l'angle. On l'obtient avec la touche SHIFT (ou 2nde) suivie de cos.

4. Exercices corrigés

Exercice 1 — Pythagore

Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calculer $BC$.

Correction. $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100, \qquad\text{donc}\qquad BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.$

Exercice 2 — Un côté de l'angle droit

Un triangle $DEF$ est rectangle en $D$, avec $EF = 13$ cm et $DE = 5$ cm. Calculer $DF$.

Correction. Ici $EF$ est l'hypoténuse (elle ne touche pas l'angle droit en $D$) : $EF^2 = DE^2 + DF^2 \ \Longrightarrow\ 169 = 25 + DF^2 \ \Longrightarrow\ DF^2 = 144 \ \Longrightarrow\ DF = 12 \text{ cm}.$

On soustrait ici, parce que l'inconnue est un côté de l'angle droit et non l'hypoténuse.

Exercice 3 — Réciproque

Un triangle a pour côtés $9$ cm, $12$ cm et $15$ cm. Est-il rectangle ?

Correction. Le plus grand côté est $15$ : c'est le seul candidat au rôle d'hypoténuse. $15^2 = 225, \qquad 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225.$ Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de $15$ cm.

Exercice 4 — Montrer que ce n'est pas rectangle

Un triangle a pour côtés $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm. Est-il rectangle ?

Correction. $9^2 = 81, \qquad 5^2+7^2 = 25+49 = 74.$ $81 \neq 74$ : le triangle n'est pas rectangle (contraposée du théorème de Pythagore).

Exercice 5 — Les trois rapports

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 8$, $AC = 6$ et $BC = 10$. Calculer $\cos\widehat B$, $\sin\widehat B$ et $\tan\widehat B$, puis la mesure de $\widehat B$ arrondie au dixième de degré.

Correction. $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{10} = 0{,}8, \qquad \sin\widehat B = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{10} = 0{,}6, \qquad \tan\widehat B = \frac{AC}{AB} = \frac68 = 0{,}75.$ $\widehat B = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°.$ Contrôle : $\arcsin(0{,}6)$ et $\arctan(0{,}75)$ donnent la même valeur ✓. Et $0{,}8^2+0{,}6^2 = 1$, ce qui est vrai pour tout angle.

Exercice 6 — Calculer une longueur

Un triangle $MNP$ est rectangle en $M$, avec $\widehat N = 40°$ et $MN = 7$ cm. Calculer $MP$ au dixième près.

Correction. $MP$ est opposé à $\widehat N$, et $MN$ lui est adjacent : c'est la tangente. $\tan 40° = \frac{MP}{7} \quad\Longrightarrow\quad MP = 7\times\tan40° \approx 5{,}9 \text{ cm}.$

Le réflexe : repérer quels deux côtés sont en jeu (ici opposé et adjacent), et en déduire la ligne trigonométrique à utiliser — jamais l'inverse.

Exercice 7 — Un problème concret

Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur ; son pied est à $1{,}2$ m du mur. a. À quelle hauteur touche-t-elle le mur, au centimètre près ? b. Quel angle fait-elle avec le sol, au dixième de degré ?

Correction. a. Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse : $h^2 = 4^2 - 1{,}2^2 = 16 - 1{,}44 = 14{,}56, \qquad h = \sqrt{14{,}56} \approx 3{,}82 \text{ m}.$ b. L'angle $\alpha$ au sol a pour côté adjacent $1{,}2$ et pour hypoténuse $4$ : $\cos\alpha = \frac{1{,}2}{4} = 0{,}3 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arccos(0{,}3) \approx 72{,}5°.$

Un angle de $72°$ est raide mais réaliste : les fabricants recommandent environ $75°$.

À retenir

Pythagore (rectangle en $A$) : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ L'hypoténuse est seule de son côté du signe $=$ ; c'est le côté qui ne touche pas l'angle droit.

Réciproque : on calcule les deux membres séparément, on compare — après avoir repéré le plus grand côté.

CAH · SOH · TOA $\cos = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}, \qquad \sin = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}, \qquad \tan = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}$

Adjacent et opposé dépendent de l'angle choisi. Cosinus et sinus d'un angle aigu sont entre $0$ et $1$.

Longueur cherchée → on multiplie. Angle cherché → on utilise $\arccos$, $\arcsin$ ou $\arctan$.

La calculatrice doit être en DEGRÉS : vérifier que $\cos60° = 0{,}5$.

Chapitre suivant : les transformations du plan.

Le programme complet de troisième

Nombres et calculs

  1. Divisibilité et nombres premiers
  2. Fractions et nombres rationnels
  3. Puissances et notation scientifique
  4. Les racines carrées
  5. Calcul littéral : développer et factoriser
  6. Équations et mise en équation

Organisation et gestion de données, fonctions

  1. La notion de fonction
  2. Fonctions linéaires, affines et pourcentages
  3. Statistiques
  4. Probabilités

Espace et géométrie

  1. Théorème de Thalès et triangles semblables
  2. Trigonométrie dans le triangle rectangle
  3. Les transformations du plan
  4. Espace, volumes et grandeurs composées

Algorithmique

  1. Algorithmique et programmation

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