Mathématiques — 3ème
La notion de fonction — Maths Troisième (chapitre 7)
Vocabulaire des fonctions, notations f(x) et x flèche f(x), image et antécédent, les quatre modes de représentation et la modélisation. Programme du cycle…
Par ProfBot
La notion de fonction
Chapitre 7 — Organisation et gestion de données · Troisième
Une fonction est une machine à un seul résultat : on entre un nombre, il en sort exactement un. Cette contrainte — un seul — donne un sens à la question « quelle est l'image de $2$ ? ». La question inverse, « quels sont les antécédents de $3$ ? », n'a en revanche aucune raison d'avoir une réponse unique : ici, il y en a trois.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Vocabulaire : variable, fonction, antécédent, image ; différents modes de représentation d'une fonction (expression symbolique, tableau de valeurs, représentation graphique, programme de calcul) ; notations $f(x)$ et $x \mapsto f(x)$. Passer d'un mode de représentation à un autre ; déterminer, à partir d'un mode de représentation, l'image ou un antécédent d'un nombre ; déterminer de manière algébrique un antécédent dans les cas se ramenant à une équation du premier degré ; modéliser un phénomène continu par une fonction ; résoudre des problèmes modélisés par des fonctions.
1. Vocabulaire et notations
Définition. Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ un seul nombre, noté $f(x)$ et appelé image de $x$.
Si $f(a) = b$, on dit que $b$ est l'image de $a$, et que $a$ est un antécédent de $b$.
Deux notations, à ne pas mélanger :
| Notation | Se lit | Ce qu'elle exprime |
|---|---|---|
| $f(x) = 3x - 7$ | « $f$ de $x$ égale… » | la formule |
| $f : x \longmapsto 3x-7$ | « $f$ qui à $x$ associe… » | le procédé |
$f$ et $f(x)$ ne sont pas la même chose. $f$ est la fonction elle-même — la machine ; $f(x)$ est le nombre qu'elle renvoie pour l'entrée $x$. On écrit donc « la fonction $f$ », mais « le nombre $f(5)$ ». Et surtout, $f(x)$ ne signifie jamais $f$ multiplié par $x$.
Une image est unique ; un antécédent ne l'est pas. C'est l'asymétrie fondamentale : $f(2)$ désigne un nombre bien précis, alors que « les antécédents de $3$ » peuvent être zéro, un, ou plusieurs nombres. Employer « l'antécédent » au singulier sans vérifier est une erreur classique.
2. Les quatre modes de représentation
Une même fonction peut se présenter de quatre façons, et savoir passer de l'une à l'autre est l'objectif principal du chapitre.
Calculer une image à partir de l'expression : on remplace $x$ par la valeur. $f(x) = 3x-7 \quad\Longrightarrow\quad f(5) = 3\times5 - 7 = 8, \qquad f(-2) = 3\times(-2) - 7 = -13.$
Les parenthèses sont obligatoires pour un nombre négatif. $f(-2)$ se calcule avec $3\times(-2)$, et non $3\times-2$ écrit à la volée. Sur une expression comme $x^2$, l'oubli est fatal : $(-2)^2 = 4$ alors que $-2^2 = -4$.
3. Lire une image, lire un antécédent
Méthode graphique.
- Image de $a$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit sur l'axe des ordonnées.
- Antécédents de $b$ : on part de $b$ sur l'axe des ordonnées, on trace l'horizontale, et on lit toutes les abscisses des points d'intersection.
Sur la figure : $f(2) = 2$, et les antécédents de $3$ sont $0$, $1$ et $3$.
Antécédent par le calcul. Chercher un antécédent, c'est résoudre une équation. Pour $f(x) = 3x - 7$, chercher l'antécédent de $5$ revient à résoudre $3x - 7 = 5 \iff 3x = 12 \iff x = 4.$
Image = on remplace. Antécédent = on résout. C'est le résumé de tout le chapitre. L'image se calcule directement ; l'antécédent demande une équation — et c'est pourquoi il peut y avoir plusieurs réponses, ou aucune.
4. Modéliser
Une fonction sert à décrire une dépendance : le prix en fonction de la quantité, la distance en fonction du temps, l'aire en fonction du côté.
Exemple. Un mobile se déplace à $5$ m/s. La distance parcourue, en mètres, après $x$ secondes est $d(x) = 5x.$
Exemple géométrique. Dans un carré de côté $x$ cm, l'aire vaut $a(x) = x^2$ et le périmètre $p(x) = 4x$. Le même $x$ alimente deux fonctions différentes.
La variable a une signification, et donc des limites. Dans $a(x) = x^2$ où $x$ est un côté, les valeurs négatives n'ont aucun sens : la fonction mathématique les accepte, la situation non. Il faut le préciser — « pour $x > 0$ » — avant de résoudre quoi que ce soit.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculer des images
Soit $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Calculer $f(0)$, $f(3)$ et $f(-2)$.
Correction. $f(0) = 1$. $f(3) = 2\times9 - 9 + 1 = 18 - 9 + 1 = 10$. $f(-2) = 2\times(-2)^2 - 3\times(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$.
Dans le dernier calcul, deux pièges : $(-2)^2 = 4$ (et non $-4$), et $-3\times(-2) = +6$.
Exercice 2 — Les deux notations
On donne $g : x \longmapsto 5 - 4x$. a. Calculer $g(2)$ et $g\left(\frac12\right)$. b. Déterminer l'antécédent de $17$.
Correction. a. $g(2) = 5 - 8 = -3$ · $g\left(\frac12\right) = 5 - 2 = 3$. b. On résout $5 - 4x = 17$, soit $-4x = 12$ et $x = -3$. Vérification : $g(-3) = 5 + 12 = 17$ ✓.
Exercice 3 — Tableau de valeurs
Voici un tableau de valeurs d'une fonction $h$ :
| $x$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $h(x)$ | $7$ | $3$ | $1$ | $-3$ | $1$ | $4$ |
a. Donner $h(2)$ et $h(-1)$. b. Donner tous les antécédents de $1$ visibles dans ce tableau. c. Le nombre $5$ a-t-il un antécédent ?
Correction. a. $h(2) = -3$ et $h(-1) = 3$. b. $1$ apparaît deux fois dans la ligne du bas : ses antécédents sont $0$ et $4$. c. Le tableau ne contient pas la valeur $5$ : on ne peut pas conclure. Le tableau ne donne qu'un échantillon de valeurs, pas toute la fonction — $5$ pourrait très bien être atteint entre $4$ et $5$.
C'est le principal danger du tableau : il ne dit rien de ce qu'il ne montre pas.
Exercice 4 — Lecture graphique
D'après le graphique de droite de la figure du cours (celui de $f$) : a. Combien $3$ a-t-il d'antécédents ? b. Que vaut $f(0)$ ?
Correction. a. L'horizontale $y = 3$ coupe la courbe en trois points : $3$ a trois antécédents, $0$, $1$ et $3$. b. $0$ est l'un de ces antécédents, donc $f(0) = 3$.
Exercice 5 — Programme de calcul
Programme : choisir un nombre, le multiplier par $4$, retrancher $6$ au résultat. a. Écrire la fonction $p$ correspondante. b. Quelle est l'image de $2{,}5$ ? c. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $0$ ?
Correction. a. $p : x \longmapsto 4x - 6$. b. $p(2{,}5) = 10 - 6 = 4$. c. On résout $4x - 6 = 0$, soit $x = 1{,}5$.
Exercice 6 — Modéliser
Un taxi facture $4$ € de prise en charge, puis $1{,}20$ € par kilomètre. a. Exprimer le prix $T(x)$ d'une course de $x$ kilomètres. b. Calculer le prix d'une course de $12$ km. c. Un client a payé $28$ €. Quelle distance a-t-il parcourue ?
Correction. a. $T(x) = 1{,}20x + 4$. b. $T(12) = 14{,}40 + 4 = 18{,}40$ €. c. On résout $1{,}20x + 4 = 28$, soit $1{,}20x = 24$ et $x = 20$ km.
La question c est bien une recherche d'antécédent, formulée en français : « quelle distance donne ce prix ? »
Exercice 7 — Une fonction géométrique
Dans un rectangle de périmètre $20$ cm, on note $x$ la largeur. a. Exprimer la longueur, puis l'aire $A(x)$. b. Calculer $A(3)$ et $A(5)$. c. Entre quelles valeurs $x$ peut-il varier ?
Correction. a. Le demi-périmètre vaut $10$, donc la longueur est $10-x$ et $A(x) = x(10-x).$ b. $A(3) = 3\times7 = 21$ cm² et $A(5) = 5\times5 = 25$ cm². c. Il faut $x>0$ et $10-x>0$, donc $0 < x < 10$.
En $x = 5$ le rectangle est un carré, et c'est là que l'aire est maximale — un résultat qu'on démontrera au lycée.
À retenir
Une fonction associe à chaque nombre UNE SEULE image. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
$f(x) = 3x-7 \qquad\text{ou}\qquad f : x \longmapsto 3x-7$ $f$ est la fonction, $f(x)$ est un nombre — jamais un produit.
Quatre représentations : expression · tableau de valeurs · courbe · programme de calcul. Savoir passer de l'une à l'autre.
Image = on REMPLACE. Antécédent = on RÉSOUT une équation.
Graphiquement : image → on monte depuis l'axe des $x$ ; antécédents → on part de l'axe des $y$ et l'on relève toutes les intersections.
Un tableau ne dit rien de ce qu'il ne montre pas.
Chapitre suivant : les fonctions linéaires, affines et les pourcentages.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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