Mathématiques — 3ème
Probabilités — Maths Troisième (chapitre 10)
Expérience aléatoire, issues, événements, probabilité par dénombrement, événement contraire, expériences à deux épreuves avec arbre et tableau. Programme du…
Par ProfBot
Probabilités
Chapitre 10 — Organisation et gestion de données · Troisième
« Une famille a deux enfants, dont au moins une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit une fille ? » La réponse spontanée, $\frac12$, est fausse : c'est $\frac13$. Les probabilités sont pleines de ces pièges — et l'outil qui les évite tous est très simple : énumérer les issues dans un arbre ou un tableau, sans se fier à l'intuition.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Vocabulaire des probabilités ; notion de probabilité, comprise entre $0$ et $1$ ; probabilité d'événements certains, impossibles, contraires. Calculer des probabilités dans des cas simples ; à partir de dénombrements, calculer des probabilités pour des expériences aléatoires simples à une ou deux épreuves ; exprimer des probabilités sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) ; faire le lien entre fréquence et probabilité.
1. Le vocabulaire
Définitions.
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat.
- Les résultats possibles sont les issues.
- Un événement est un ensemble d'issues.
- La probabilité d'un événement mesure sa chance de se réaliser : c'est un nombre entre $0$ et $1$.
| Événement | Probabilité |
|---|---|
| impossible (obtenir $7$ avec un dé) | $0$ |
| certain (obtenir un nombre $\leqslant 6$) | $1$ |
| quelconque | entre $0$ et $1$ |
Une probabilité ne dépasse jamais $1$ et n'est jamais négative. Un résultat de $1{,}2$ ou de $-0{,}3$ signale une erreur de calcul, pas un événement « très probable ». C'est le contrôle le plus rapide qui soit.
2. Calculer par dénombrement
Propriété (issues équiprobables). Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire,
$P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}.$
Exemple. Dans un jeu de $32$ cartes, la probabilité de tirer un roi vaut $\frac{4}{32} = \frac18 = 0{,}125 = 12{,}5\,\%.$
On peut exprimer une probabilité de trois façons — fraction, décimal, pourcentage — et l'énoncé demande parfois une forme précise. La fraction irréductible est la forme exacte ; $0{,}125$ est ici exact aussi, mais $\frac13$ ne s'écrit pas exactement en décimal.
L'équiprobabilité est une HYPOTHÈSE. Elle se justifie par la symétrie de l'objet (dé équilibré, pièce, tirage au hasard). Sur un dé pipé, la formule ci-dessus donne des résultats faux — et rien dans le calcul ne le signale.
L'événement contraire
Propriété. L'événement contraire de $A$, noté $\overline A$, est « $A$ ne se réalise pas », et
$P(\overline A) = 1 - P(A).$
C'est souvent beaucoup plus rapide que le calcul direct : la probabilité d'obtenir « au moins un $6$ » en deux lancers se calcule par le contraire, « aucun $6$ ».
3. Les expériences à deux épreuves
Pour une expérience en deux étapes, on énumère toutes les issues, dans un arbre ou dans un tableau à double entrée.
Exemple. Un couple a deux enfants ; on suppose fille et garçon également probables. Les issues sont $FF, \quad FG, \quad GF, \quad GG,$ quatre issues équiprobables, chacune de probabilité $\frac14$.
- $P(\text{deux garçons}) = P(GG) = \dfrac14$.
- $P(\text{au moins une fille}) = 1 - P(GG) = \dfrac34$ (par l'événement contraire).
$FG$ et $GF$ sont DEUX issues différentes. C'est ce qui fait toute la difficulté : « un garçon et une fille » est deux fois plus probable que « deux garçons », parce que cela peut arriver de deux façons. Ne compter que trois cas — deux filles, deux garçons, un de chaque — donnerait des probabilités fausses.
Avec remise ou sans remise ? Dans une urne de $1$ boule bleue et $2$ violettes, un tirage avec remise laisse les mêmes chances au second tirage ; sans remise, le contenu de l'urne a changé. Le tableau à double entrée n'est pas le même.
4. Fréquence et probabilité
Propriété (constatée expérimentalement). Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité.
C'est le pont entre les statistiques (ce qu'on observe) et les probabilités (ce qu'on modélise) : sur $10$ lancers, tout peut arriver ; sur $10\,000$, la fréquence du « $6$ » tourne autour de $\frac16 \approx 0{,}167$.
Le hasard n'a pas de mémoire. Après cinq « pile » d'affilée, la pièce n'a aucune « dette » : $P(\text{pile}) = 0{,}5$ encore et toujours. La stabilisation des fréquences n'est pas une force de rappel — c'est simplement que les cinq premiers lancers pèsent de moins en moins à mesure que leur nombre grandit.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Un dé
On lance un dé équilibré à six faces. a. $P(\text{obtenir } 4)$ · b. $P(\text{obtenir un nombre pair})$ · c. $P(\text{obtenir un nombre} > 4)$ · d. $P(\text{obtenir } 7)$.
Correction. a. $\dfrac16$. b. Trois issues favorables ($2$, $4$, $6$) : $\dfrac36 = \dfrac12$. c. Deux issues ($5$ et $6$) : $\dfrac26 = \dfrac13$. d. Événement impossible : $0$.
Exercice 2 — Une urne
Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ vertes et $2$ jaunes, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard. a. Quelle est la probabilité de tirer une verte ? b. Celle de ne pas tirer une rouge ? c. Celle de tirer une boule rouge ou verte ?
Correction. Il y a $5+3+2 = 10$ boules. a. $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$. b. Par l'événement contraire : $1 - \dfrac{5}{10} = \dfrac12$. c. $\dfrac{5+3}{10} = \dfrac{8}{10} = \dfrac45 = 0{,}8$.
Exercice 3 — Deux enfants
Un couple a deux enfants (fille et garçon équiprobables). a. Lister les issues. b. $P(\text{deux garçons})$ · c. $P(\text{au moins une fille})$ · d. $P(\text{un enfant de chaque sexe})$.
Correction. a. $FF$, $FG$, $GF$, $GG$ — quatre issues équiprobables. b. $\dfrac14$. c. L'événement contraire de « au moins une fille » est « aucune fille », c'est-à-dire $GG$ : $P = 1 - \frac14 = \frac34.$ d. Deux issues conviennent, $FG$ et $GF$ : $\dfrac24 = \dfrac12$.
Le point d est celui qui surprend : « un de chaque » est deux fois plus probable que « deux garçons ».
Exercice 4 — Deux tirages avec remise
Une urne contient $1$ boule bleue et $2$ violettes. On tire deux fois de suite, avec remise. Déterminer la probabilité d'obtenir deux violettes, à l'aide d'un tableau à double entrée.
Correction. Notons les boules $B$, $V_1$, $V_2$. Le tableau des couples possibles compte $3\times3 = 9$ issues équiprobables :
| $B$ | $V_1$ | $V_2$ | |
|---|---|---|---|
| $B$ | $BB$ | $BV_1$ | $BV_2$ |
| $V_1$ | $V_1B$ | $V_1V_1$ | $V_1V_2$ |
| $V_2$ | $V_2B$ | $V_2V_1$ | $V_2V_2$ |
Les issues « deux violettes » sont au nombre de $4$ (celles du carré en bas à droite), donc $P = \frac49.$
On retrouve le résultat directement : $\frac23\times\frac23 = \frac49$.
Exercice 5 — Sans remise
Même urne, mais les deux tirages se font sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux violettes ?
Correction. Après le premier tirage il ne reste que $2$ boules. Les couples possibles sont au nombre de $3\times2 = 6$ (on ne peut pas tirer deux fois la même boule) : $BV_1,\ BV_2,\ V_1B,\ V_1V_2,\ V_2B,\ V_2V_1.$ Deux d'entre eux donnent deux violettes, donc $P = \frac26 = \frac13.$
C'est moins qu'avec remise ($\frac49 \approx 0{,}44$ contre $\frac13 \approx 0{,}33$) : une fois une violette retirée, il en reste moins.
Exercice 6 — Fréquence et probabilité
On lance un dé $10\,000$ fois et l'on obtient $1\,712$ fois la face $6$. a. Calculer la fréquence du « $6$ ». b. Ce dé semble-t-il équilibré ?
Correction. a. $\dfrac{1\,712}{10\,000} = 0{,}1712$. b. Pour un dé équilibré, on attendrait une fréquence proche de $\frac16 \approx 0{,}1667$. L'écart vaut $0{,}0045$, soit moins d'un demi-point : c'est compatible avec un dé équilibré, car la fréquence observée fluctue toujours un peu autour de la probabilité.
Un écart de cette taille ne prouve rien ; c'est une fréquence de $0{,}30$ qui aurait été suspecte.
Exercice 7 — Deux dés
On lance deux dés et l'on note la somme. a. Combien y a-t-il d'issues équiprobables ? b. $P(\text{somme} = 7)$ · c. $P(\text{somme} = 12)$ · d. Pourquoi les $11$ sommes possibles ne sont-elles pas équiprobables ?
Correction. a. $6\times6 = 36$ couples, tous de probabilité $\frac1{36}$. b. La somme $7$ s'obtient de six façons — $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ — donc $P = \frac{6}{36} = \frac16$. c. Une seule façon, $(6,6)$ : $P = \frac{1}{36}$. d. Parce que les sommes ne correspondent pas au même nombre de couples. L'équiprobabilité vaut pour les $36$ couples, pas pour les $11$ sommes — c'est le choix du bon univers qui rend le calcul valide.
À retenir
Une probabilité est toujours entre $0$ et $1$ : $0$ = impossible, $1$ = certain.
$P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \quad \text{(issues équiprobables)}$
$P(\overline A) = 1 - P(A)$ — l'événement contraire est souvent le chemin le plus court, notamment pour les « au moins un… ».
Deux épreuves : on énumère toutes les issues dans un arbre ou un tableau. $FG$ et $GF$ sont deux issues distinctes.
Avec remise ≠ sans remise : le second tirage ne se fait pas dans la même urne.
Fréquence et probabilité : sur un grand nombre de répétitions, la fréquence se rapproche de la probabilité — mais le hasard n'a pas de mémoire.
Chapitre suivant : le théorème de Thalès et les triangles semblables.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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