Mathématiques — 3ème
Les transformations du plan — Maths Troisième (chapitre 13)
Symétrie axiale et centrale, translation, rotation, homothétie, propriétés conservées et effet d'un agrandissement sur les longueurs, les aires et les…
Par ProfBot
Les transformations du plan
Chapitre 13 — Espace et géométrie · Troisième
Une frise, un pavage, une rosace : toutes ces figures sont construites en répétant un motif transformé. Glisser, retourner, tourner, agrandir — quatre gestes qui suffisent à engendrer l'essentiel de l'ornement géométrique, et qui permettent en mathématiques de calculer des longueurs sans nouvelle mesure.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Comprendre l'effet d'une translation, d'une symétrie (axiale et centrale), d'une rotation, d'une homothétie sur une figure ; identifier des rotations et des homothéties dans des frises, des pavages et des rosaces ; effet d'un déplacement, d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les angles, les aires et les volumes ; utiliser un rapport de réduction ou d'agrandissement pour calculer des longueurs, des aires, des volumes.
« Les définitions ponctuelles d'une rotation, d'une translation, d'une homothétie ne figurent pas au programme » : on les décrit par leur effet sur une figure.
1. Les quatre transformations qui conservent les longueurs
| Transformation | Ce qu'elle fait | Ce qu'il faut donner |
|---|---|---|
| symétrie axiale | retourne la figure comme dans un miroir | un axe |
| symétrie centrale | fait faire un demi-tour | un centre |
| translation | fait glisser sans tourner | une direction, un sens, une longueur |
| rotation | fait tourner | un centre, un angle, un sens |
Propriété commune. Ces quatre transformations conservent les longueurs, les angles, les aires et le parallélisme. La figure image est superposable à la figure de départ : seule sa position change.
La symétrie axiale RETOURNE la figure, les trois autres non. Devant un miroir, votre main droite devient une main gauche : l'orientation est inversée. Une translation ou une rotation, elles, se réalisent en faisant glisser la figure sur la table sans jamais la soulever. C'est le critère qui permet de les distinguer sur un dessin.
La symétrie centrale est un cas particulier de rotation : c'est la rotation d'angle $180°$ autour du centre. Il est donc inutile d'en préciser le sens.
2. L'homothétie
Effet. Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ agrandit ou réduit la figure : chaque point $M$ est envoyé sur un point $M'$ tel que $O$, $M$ et $M'$ soient alignés, avec $OM' = |k| \times OM$.
- $|k| > 1$ : agrandissement ; $|k| < 1$ : réduction.
- $k < 0$ : la figure passe de l'autre côté du centre.
L'homothétie ne conserve PAS les longueurs — mais elle conserve les ANGLES. C'est ce qui distingue un agrandissement d'une déformation : la figure image a la même forme, une taille différente. Elle est semblable à la figure de départ, au sens du [chapitre 11].
À quoi ça sert. Toute photocopie « à $140\,\%$ », toute maquette, toute carte à l'échelle est une homothétie. Le rapport $k$ y porte le nom d'échelle.
3. Longueurs, aires, volumes
Propriété fondamentale. Dans un agrandissement (ou une réduction) de rapport $k$ :
$\text{longueurs} \times k, \qquad \text{aires} \times k^2, \qquad \text{volumes} \times k^3.$
Exemple. En doublant toutes les dimensions d'un cube ($k = 2$), l'aire de sa surface est multipliée par $4$ et son volume par $8$.
C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. « J'ai doublé la taille, donc j'ai doublé le volume » est faux : il est huit fois plus grand. Un ballon de rayon double contient huit fois plus d'air ; une pizza de diamètre double a quatre fois plus de garniture. La raison tient à la dimension : une aire est un produit de deux longueurs, un volume de trois.
Les angles, eux, ne changent jamais — quel que soit $k$.
4. Exercices corrigés
Exercice 1 — Reconnaître
Pour chaque situation, dire quelle transformation est utilisée. a. Un carrelage où le même motif se répète en glissant toujours de la même façon. b. Les pales d'une éolienne à trois branches. c. Le reflet d'une montagne dans un lac. d. Une maquette de voiture au $1/43$.
Correction. a. Une translation. b. Une rotation (de centre l'axe, d'angle $120°$). c. Une symétrie axiale. d. Une homothétie (réduction de rapport $\frac{1}{43}$).
Exercice 2 — Ce qui est conservé
Une figure d'aire $12$ cm² et dont un angle mesure $50°$ subit successivement : a. une translation · b. une rotation de $60°$ · c. une homothétie de rapport $3$. Dans chaque cas, donner la nouvelle aire et la nouvelle mesure de l'angle.
Correction. a. Aire $12$ cm², angle $50°$ — rien ne change. b. Aire $12$ cm², angle $50°$ — une rotation conserve tout. c. Aire $12\times3^2 = 108$ cm², angle toujours $50°$.
Seule l'homothétie modifie l'aire, et elle le fait avec $k^2$, pas avec $k$.
Exercice 3 — Agrandissement
Un triangle a pour côtés $4$ cm, $6$ cm et $7$ cm, et pour aire $11{,}98$ cm². On l'agrandit avec un rapport $k = 2{,}5$. a. Quelles sont les longueurs des côtés du triangle image ? b. Quelle est son aire ?
Correction. a. $4\times2{,}5 = 10$ cm · $6\times2{,}5 = 15$ cm · $7\times2{,}5 = 17{,}5$ cm. b. L'aire est multipliée par $k^2 = 6{,}25$ : $11{,}98 \times 6{,}25 \approx 74{,}9 \text{ cm}^2.$
Exercice 4 — Réduction et volume
Une maquette d'immeuble est réalisée à l'échelle $\dfrac{1}{50}$. L'immeuble réel a un volume de $12\,500$ m³. a. Quel est le volume de la maquette, en m³ puis en litres ? b. Une fenêtre réelle mesure $1{,}5$ m de haut. Quelle est sa hauteur sur la maquette ?
Correction. a. Le volume est multiplié par $k^3 = \left(\frac{1}{50}\right)^3 = \frac{1}{125\,000}$ : $\frac{12\,500}{125\,000} = 0{,}1 \text{ m}^3 = 100 \text{ L}.$ b. $\dfrac{1{,}5}{50} = 0{,}03$ m, soit $3$ cm.
Le contraste est saisissant : la maquette est $50$ fois plus petite en hauteur, mais $125\,000$ fois plus petite en volume.
Exercice 5 — Retrouver le rapport
Deux figures sont semblables. La première a une aire de $18$ cm², la seconde de $162$ cm². Quel est le rapport d'agrandissement des longueurs ?
Correction. Le rapport des aires vaut $\dfrac{162}{18} = 9$. Or ce rapport vaut $k^2$, donc $k^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad k = 3$ (le rapport d'agrandissement est positif).
Le piège : répondre $9$. C'est le rapport des aires, pas celui des longueurs.
Exercice 6 — Le ballon
Un ballon sphérique voit son rayon multiplié par $1{,}2$. a. De quel pourcentage sa surface augmente-t-elle ? b. Et son volume ?
Correction. a. La surface est multipliée par $1{,}2^2 = 1{,}44$, soit une hausse de $44\,\%$. b. Le volume est multiplié par $1{,}2^3 = 1{,}728$, soit une hausse de $72{,}8\,\%$.
Une hausse de $20\,\%$ du rayon augmente le volume de près des trois quarts : c'est ce qui rend les grandes bulles si fragiles.
Exercice 7 — Dans une frise
Une frise est constituée d'un motif reproduit tous les $3$ cm vers la droite, et une fois sur deux retourné vers le bas. a. Quelle transformation fait passer du motif $1$ au motif $3$ ? b. Et du motif $1$ au motif $2$ ?
Correction. a. Les motifs $1$ et $3$ sont dans le même sens, décalés de $6$ cm : c'est une translation. b. Le motif $2$ est retourné : c'est une symétrie axiale (d'axe horizontal), suivie d'une translation — ou, selon le dessin, une symétrie centrale.
Décrire une frise, c'est d'abord repérer ce qui est conservé et ce qui est retourné.
À retenir
Symétrie axiale (axe) · symétrie centrale (centre, = rotation de $180°$) · translation (glissement) · rotation (centre, angle, sens) : toutes conservent les longueurs, les angles et les aires.
Seule la symétrie axiale retourne la figure.
Homothétie (centre, rapport $k$) : les points $O$, $M$, $M'$ sont alignés, $OM' = |k|\,OM$. Elle conserve les angles mais pas les longueurs — la figure image est semblable.
$\text{longueurs}\times k, \qquad \text{aires}\times k^2, \qquad \text{volumes}\times k^3$
Doubler les dimensions multiplie le volume par $8$, pas par $2$. Et le rapport des aires vaut $k^2$ : pour retrouver $k$, il faut en prendre la racine carrée.
Chapitre suivant : la géométrie dans l'espace — volumes, sections et repérage.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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