Mathématiques — 3ème
Calcul littéral, développer et factoriser — Maths Troisième (chapitre 5)
Expressions littérales, réduction, distributivité simple et double, identité a carré moins b carré, factorisation et démonstrations par le calcul littéral.…
Par ProfBot
Calcul littéral : développer et factoriser
Chapitre 5 — Nombres et calculs · Troisième
« Choisis un nombre, ajoute-lui $3$, multiplie par le nombre de départ, ajoute $9$. » Le résultat dépend du nombre choisi — mais une seule écriture, $x^2+3x+9$, les décrit tous. C'est là toute la puissance du calcul littéral : une lettre remplace une infinité de nombres, et une égalité démontrée sur la lettre vaut pour l'infinité des cas.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en troisième). Notions d'inconnue, d'équation, d'indéterminée, d'identité ; propriétés de distributivité simple et double ; factorisation de $a^2-b^2$. Développer, factoriser, réduire des expressions algébriques ; déterminer l'opposé d'une expression littérale ; utiliser le calcul littéral pour traduire une propriété générale, démontrer un résultat général, valider ou réfuter une conjecture, modéliser une situation.
Les élèves doivent avoir mémorisé les conventions d'écriture du calcul littéral, les formules de distributivité simple et double, et l'identité $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
1. Les conventions d'écriture
| On écrit | Au lieu de |
|---|---|
| $3x$ | $3\times x$ |
| $xy$ | $x\times y$ |
| $x^2$ | $x\times x$ |
| $-x$ | $-1\times x$ |
| $\dfrac{x}{4}$ | $x \div 4$ |
Le signe $\times$ ne peut être supprimé qu'entre deux lettres, ou entre un nombre et une lettre — jamais entre deux nombres : $3\times5$ ne s'écrit pas $35$ !
Réduire, c'est regrouper les termes semblables : $5x + 3 - 2x + 7 = 3x + 10, \qquad 4x^2 + x - x^2 = 3x^2 + x.$
$3x^2$ et $3x$ ne sont PAS semblables : on ne peut pas les additionner, pas plus que des pommes et des poires. Seuls les termes ayant exactement la même partie littérale se regroupent.
L'opposé d'une expression : on change tous les signes. $-(3x - 7) = -3x + 7, \qquad -(x^2 - 4x + 1) = -x^2 + 4x - 1.$
Le signe « moins » devant une parenthèse s'applique à TOUT ce qu'elle contient. Écrire $-(3x-7) = -3x-7$ est l'erreur la plus fréquente de toute la troisième. Le contrôle : remplacer $x$ par $1$ — à gauche $-(3-7) = 4$, à droite $-3+7 = 4$ ✓, tandis que $-3-7 = -10$ ✗.
2. Développer
Distributivité simple. $k(a+b) = ka + kb, \qquad k(a-b) = ka - kb.$
$3(2x+5) = 6x+15, \qquad -4x(6-3x) = -24x + 12x^2.$
Distributivité double. $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.$
$(2x-3)(5x+7) = 10x^2 + 14x - 15x - 21 = 10x^2 - x - 21.$
Quatre produits, toujours. Chaque terme de la première parenthèse doit rencontrer chaque terme de la seconde : c'est ce que montre le découpage du rectangle. En oublier un est la faute classique — et le contrôle par une valeur numérique la détecte immédiatement.
Attention aux signes quand un terme est négatif : dans $(2x-3)(5x+7)$, le produit $(-3)\times(5x)$ vaut $-15x$, et $(-3)\times 7$ vaut $-21$.
3. L'identité $a^2 - b^2$
Identité à connaître. Pour tous nombres $a$ et $b$ :
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).$
La preuve tient dans le découpage : on retire du carré $a^2$ un carré $b^2$, on découpe ce qui reste et on le recolle — c'est un rectangle de dimensions $a-b$ et $a+b$.
On peut aussi la vérifier par la distributivité double : $(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2.$
Dans les deux sens : $\underbrace{(x-6)(x+6)}_{\text{on développe}} = x^2 - 36, \qquad \underbrace{x^2 - 64}_{\text{on factorise}} = (x-8)(x+8).$
Une SOMME de deux carrés ne se factorise pas. $x^2 + 64$ reste tel quel : l'identité ne fonctionne que pour la différence. C'est une dissymétrie qu'il faut retenir telle quelle.
Reconnaître la forme demande parfois un petit effort : $4x^2 - 49 = (2x)^2 - 7^2 = (2x-7)(2x+7), \qquad x^2 - 13 = x^2 - \left(\sqrt{13}\right)^2 = \left(x-\sqrt{13}\right)\left(x+\sqrt{13}\right).$
4. Factoriser
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. Deux méthodes.
Le facteur commun : $5a + 15b = 5(a+3b), \qquad 12x^2 - 15x = 3x(4x - 5).$
Le facteur commun peut être une parenthèse entière : $(x+2)(3x-1) + (x+2)\times 4 = (x+2)\big[(3x-1)+4\big] = (x+2)(3x+3) = 3(x+2)(x+1).$
L'identité $a^2-b^2$, vue ci-dessus.
Factoriser sert à RÉSOUDRE. Une équation ne se résout que sur une forme factorisée, grâce à la règle du produit nul (chapitre suivant). Tant que l'expression est une somme, il n'y a rien à en tirer. Développer, au contraire, sert à calculer une valeur ou à comparer deux expressions.
5. Démontrer avec des lettres
Le calcul littéral permet de prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, ce qu'aucune liste d'exemples ne pourra jamais faire.
Exemple. Montrons que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de $3$. Notons-les $n$, $n+1$, $n+2$ : $n + (n+1) + (n+2) = 3n+3 = 3(n+1),$ qui est bien un multiple de $3$. $\blacksquare$
Un contre-exemple suffit pour RÉFUTER, mais aucun exemple ne DÉMONTRE. Si une conjecture est fausse, un seul cas qui rate la détruit. Si elle est vraie, il faut le calcul littéral — parce qu'il reste toujours une infinité de cas non testés.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Réduire
Réduire : a. $7x - 3 + 2x + 8$ · b. $5x^2 - x + 2x^2 + 4x$ · c. $3(2x+1) - (6-x)$.
Correction. a. $9x + 5$. b. $7x^2 + 3x$. c. $6x + 3 - 6 + x = 7x - 3$. Dans c, le signe « moins » devant $(6-x)$ change les deux signes : $-6$ et $+x$.
Exercice 2 — Développer
Développer et réduire : a. $-4x(6-3x)$ · b. $(2x-3)(5x+7)$ · c. $(x+6)(x-6)$ · d. $(3x-2)^2$.
Correction. a. $-24x + 12x^2$. b. $10x^2 + 14x - 15x - 21 = 10x^2 - x - 21$. c. Différence de deux carrés : $x^2 - 36$. d. $(3x-2)(3x-2) = 9x^2 - 6x - 6x + 4 = 9x^2 - 12x + 4$.
Contrôle de b avec $x = 1$ : $(2-3)(5+7) = -12$, et $10 - 1 - 21 = -12$ ✓.
Exercice 3 — Factoriser
Factoriser : a. $5a + 15b$ · b. $12x^2 - 15x$ · c. $16x^2 - 144$ · d. $x^2 - 13$ · e. $(x-1)(2x+3) - (x-1)$.
Correction. a. $5(a+3b)$. b. $3x(4x-5)$. c. $16x^2 - 144 = (4x)^2 - 12^2 = (4x-12)(4x+12)$, que l'on peut encore simplifier : $= 4(x-3)\times4(x+3) = 16(x-3)(x+3)$. d. $x^2 - \left(\sqrt{13}\right)^2 = \left(x-\sqrt{13}\right)\left(x+\sqrt{13}\right)$. e. Facteur commun $(x-1)$, en pensant à écrire le second terme $(x-1)\times1$ : $(x-1)\big[(2x+3) - 1\big] = (x-1)(2x+2) = 2(x-1)(x+1).$
Exercice 4 — Reconnaître la bonne forme
Soit $A = (x+5)^2 - 16$. a. Développer $A$. b. Factoriser $A$. c. Calculer $A$ pour $x = -5$, puis pour $x = 0$.
Correction. a. $(x+5)(x+5) - 16 = x^2 + 10x + 25 - 16 = x^2 + 10x + 9$. b. C'est une différence de deux carrés, avec $16 = 4^2$ : $A = (x+5-4)(x+5+4) = (x+1)(x+9).$ c. Avec la forme de départ, $A(-5) = 0 - 16 = -16$. Avec la forme développée, $A(0) = 9$. Chaque question a été traitée avec la forme qui la rendait immédiate.
Exercice 5 — Un programme de calcul
Programme : choisir un nombre, lui ajouter $4$, multiplier le résultat par le nombre choisi, puis ajouter $4$. a. Tester avec $3$ puis avec $5$. b. Écrire l'expression obtenue avec $x$, puis la développer. c. Que remarque-t-on ? Le démontrer.
Correction. a. Avec $3$ : $(3+4)\times3 + 4 = 25$. Avec $5$ : $(5+4)\times5+4 = 49$. b. $x(x+4)+4 = x^2+4x+4$. c. Les résultats $25 = 5^2$ et $49 = 7^2$ sont des carrés. En effet $x^2+4x+4 = (x+2)^2,$ car $(x+2)(x+2) = x^2+2x+2x+4$. Le résultat est donc toujours le carré du nombre choisi augmenté de $2$ — ce qui explique $5^2$ pour $3$ et $7^2$ pour $5$. $\blacksquare$
Exercice 6 — Une démonstration
Montrer que la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à leur somme.
Correction. Notons les deux entiers $n$ et $n+1$. La différence de leurs carrés vaut $(n+1)^2 - n^2.$ En utilisant l'identité $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = n+1$ et $b = n$ : $(n+1)^2 - n^2 = \big((n+1)-n\big)\big((n+1)+n\big) = 1\times(2n+1) = 2n+1.$ Or $n + (n+1) = 2n+1$ : c'est bien leur somme. $\blacksquare$
Vérification : $8^2 - 7^2 = 64-49 = 15$, et $7+8 = 15$ ✓.
À retenir
Conventions : $3x$, $xy$, $x^2$ · seuls les termes de même partie littérale se regroupent.
L'opposé change TOUS les signes : $-(3x-7) = -3x+7$.
$k(a+b) = ka+kb, \qquad (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd \ \ (\textbf{quatre} \text{ produits})$
$\boxed{a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)}$ — seulement pour la différence : $x^2+64$ ne se factorise pas.
Factoriser = transformer en produit (facteur commun, ou identité) → sert à résoudre. Développer = transformer en somme → sert à calculer.
Le contrôle qui sauve : remplacer $x$ par une valeur simple dans les deux écritures — elles doivent donner le même résultat.
Chapitre suivant : les équations et la mise en équation.
Le programme complet de troisième
Nombres et calculs
- Divisibilité et nombres premiers
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Les racines carrées
- Calcul littéral : développer et factoriser
- Équations et mise en équation
Organisation et gestion de données, fonctions
Espace et géométrie
- Théorème de Thalès et triangles semblables
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Les transformations du plan
- Espace, volumes et grandeurs composées
Algorithmique
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