Mathématiques — Terminale
Concentration et loi des grands nombres — Maths Terminale (chapitre 15)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration et loi des grands nombres en Terminale spé maths : énoncés, calcul de taille d'échantillon et…
Par ProfBot
Concentration et loi des grands nombres
Chapitre 15 — Probabilités · Terminale, spécialité mathématiques
« En lançant une pièce un grand nombre de fois, on obtient environ la moitié de piles. » Cette phrase, chacun la croit vraie. Ce chapitre en fait un théorème, et surtout il en donne une version quantitative : combien de lancers pour être sûr à $95\,\%$ que la fréquence observée s'écarte de $\tfrac12$ de moins de $1\,\%$ ? La réponse est un nombre, et c'est ce nombre qui fonde tous les sondages.
Au programme officiel. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; inégalité de concentration ; loi des grands nombres.
Capacité attendue : appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour définir une taille d'échantillon, en fonction de la précision et du risque choisis.
Aucune démonstration n'est exigible dans ce chapitre.
1. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème (admis). Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Pour tout réel $\delta > 0$ :
$P\big(|X - \mu| \geqslant \delta\big) \;\leqslant\; \frac{V}{\delta^2}.$
Ce que dit l'inégalité. L'événement $|X - \mu| \geqslant \delta$ signifie « $X$ s'écarte de sa moyenne d'au moins $\delta$ ». L'inégalité majore la probabilité de cet écart : plus la variance est petite, plus les grands écarts sont improbables.
L'inégalité borne la probabilité des deux queues réunies, sans rien supposer de la forme de la distribution.
Sa force et sa faiblesse tiennent au même point : elle ne suppose RIEN sur la loi de $X$. Ni binomiale, ni symétrique, ni rien. C'est ce qui la rend universelle — et c'est aussi pourquoi elle est très grossière : la majoration qu'elle donne est souvent loin de la vraie probabilité. Un résultat du type « $P \leqslant 3$ » est correct mais inutile : quand la majoration dépasse $1$, elle n'apprend rien, puisque toute probabilité est déjà $\leqslant 1$.
Forme complémentaire, parfois plus commode : $P\big(|X - \mu| < \delta\big) \;\geqslant\; 1 - \frac{V}{\delta^2}.$
2. L'inégalité de concentration
On applique l'inégalité précédente à la moyenne d'un échantillon.
Théorème (admis). Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un échantillon de taille $n$ d'une loi d'espérance $\mu$ et de variance $V$, et soit $M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ la moyenne de cet échantillon. Alors, pour tout $\delta > 0$ :
$P\big(|M_n - \mu| \geqslant \delta\big) \;\leqslant\; \frac{V}{n\,\delta^2}.$
D'où vient le $n$ ? Du chapitre 14 : $E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$. Il suffit d'appliquer Bienaymé-Tchebychev à la variable $M_n$ : $P\big(|M_n - \mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V(M_n)}{\delta^2} = \frac{V}{n\delta^2}.$
Le point décisif est le $n$ au dénominateur. À précision $\delta$ fixée, la probabilité de se tromper tend vers $0$ quand la taille de l'échantillon augmente. C'est exactement le contenu de la loi des grands nombres.
3. La loi des grands nombres
Théorème (loi des grands nombres). Avec les notations précédentes, pour tout $\delta > 0$ :
$\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n - \mu| \geqslant \delta\big) = 0.$
Justification. D'après l'inégalité de concentration, cette probabilité est comprise entre $0$ et $\dfrac{V}{n\delta^2}$. Comme $V$ et $\delta$ sont fixés, $\dfrac{V}{n\delta^2} \to 0$ quand $n \to +\infty$. Par le théorème des gendarmes, la probabilité tend vers $0$. $\blacksquare$
En clair. Quand la taille de l'échantillon grandit, il devient de plus en plus improbable que la moyenne observée s'écarte notablement de l'espérance théorique.
Cas particulier — la fréquence. Si l'on répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, la fréquence observée des succès est exactement $M_n$, avec $\mu = p$ et $V = p(1-p)$. La loi des grands nombres affirme donc que la fréquence observée se rapproche de la probabilité $p$ — ce qui justifie enfin, après trois années de lycée, l'intuition selon laquelle « probabilité » et « fréquence sur un grand nombre d'essais » désignent la même chose.
Quatre simulations indépendantes de $4000$ tirages : les fluctuations initiales sont violentes, puis toutes les trajectoires se resserrent autour de $p$.
Ce que la loi des grands nombres ne dit pas. Elle ne promet aucune compensation. Après dix piles d'affilée, la pièce n'a pas « une dette » de faces : le onzième lancer reste à $\tfrac12$. Ce qui se produit, c'est que ces dix piles pèsent de moins en moins lourd dans une moyenne portant sur un nombre croissant de lancers. C'est une dilution, pas une compensation — l'erreur inverse s'appelle le « paradoxe du joueur » et elle coûte cher.
4. Déterminer une taille d'échantillon
C'est la capacité attendue du chapitre. Le raisonnement est toujours le même.
Le problème. On veut que la moyenne observée soit à moins de $\delta$ de $\mu$, avec un risque d'erreur d'au plus $\alpha$ (par exemple $\alpha = 0{,}05$ pour une confiance de $95\,\%$). Quelle taille $n$ suffit ?
La méthode. Il suffit d'imposer que la majoration donnée par l'inégalité de concentration soit elle-même inférieure à $\alpha$ : $\frac{V}{n\delta^2} \leqslant \alpha \iff n \geqslant \frac{V}{\alpha\,\delta^2}.$
Pour une proportion, on majore la variance. Dans le cas d'une fréquence, $V = p(1-p)$, or $p$ est justement l'inconnue ! On utilise alors la majoration
$p(1-p) \leqslant \frac14 \qquad \text{pour tout } p \in [0\,;1],$
qui vient de ce que la fonction $p \mapsto p(1-p)$ est une parabole de maximum $\tfrac14$ atteint en $p = \tfrac12$. La condition devient alors
$n \geqslant \frac{1}{4\alpha\delta^2},$
valable quelle que soit la valeur inconnue de $p$.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Application directe
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 50$ et de variance $V = 25$. Majorer $P(|X - 50| \geqslant 10)$.
Correction. Avec $\delta = 10$ : $P(|X-50| \geqslant 10) \leqslant \frac{V}{\delta^2} = \frac{25}{100} = 0{,}25.$
Il y a donc au plus $25\,\%$ de chances que $X$ s'écarte de plus de $10$ de sa moyenne.
Autre lecture : $P(40 < X < 60) \geqslant 1 - 0{,}25 = 0{,}75$.
Exercice 2 — Quand la majoration ne sert à rien
Même variable ($\mu = 50$, $V = 25$). Majorer $P(|X-50| \geqslant 3)$.
Correction. $P(|X-50| \geqslant 3) \leqslant \frac{25}{9} \approx 2{,}78.$
Cette majoration est vraie mais sans intérêt : toute probabilité est déjà inférieure à $1$. L'inégalité n'apporte de l'information que lorsque $\dfrac{V}{\delta^2} < 1$, c'est-à-dire pour $\delta > \sigma$ — ici, pour $\delta > 5$.
Exercice 3 — Taille d'échantillon pour un sondage
On veut estimer la proportion $p$ d'électeurs favorables à une mesure, à $\pm 2\,\%$ près, avec un risque d'erreur d'au plus $5\,\%$. Combien de personnes interroger ?
Correction. Ici $\delta = 0{,}02$ et $\alpha = 0{,}05$. La variance de chaque réponse est $p(1-p) \leqslant \tfrac14$, donc $n \geqslant \frac{1}{4\alpha\delta^2} = \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times (0{,}02)^2} = \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}0004} = \frac{1}{0{,}00008} = 12\,500.$
Il faut interroger au moins 12 500 personnes.
Pourquoi les vrais sondages n'interrogent que 1000 personnes ? Parce qu'ils utilisent des méthodes plus fines (approximation par la loi normale) qui exploitent la forme de la distribution, là où Bienaymé-Tchebychev n'en suppose rien. La garantie obtenue ici est donc très prudente — mais elle est valable sans aucune hypothèse, ce qui n'est pas rien.
Exercice 4 — Lancers de dé
On lance $n$ fois un dé équilibré et on note $M_n$ la moyenne des résultats obtenus. On rappelle que pour un dé, $\mu = 3{,}5$ et $V = \dfrac{35}{12}$.
Déterminer $n$ pour que $P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}05$.
Correction. L'inégalité de concentration donne $P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant \frac{35/12}{n \times (0{,}1)^2} = \frac{35}{12 \times 0{,}01\,n} = \frac{35}{0{,}12\,n}.$
Il suffit donc que $\frac{35}{0{,}12\,n} \leqslant 0{,}05 \iff n \geqslant \frac{35}{0{,}12 \times 0{,}05} = \frac{35}{0{,}006} \approx 5833{,}3.$
Il faut $n \geqslant 5834$ lancers.
Exercice 5 — Contrôle de production
Une machine produit des pièces dont $10\,\%$ sont défectueuses. On prélève $1000$ pièces et on note $F$ la fréquence de pièces défectueuses observée.
a. Donner $E(F)$ et $V(F)$. b. Majorer $P(|F - 0{,}1| \geqslant 0{,}03)$.
Correction. a. $F$ est la moyenne d'un échantillon de taille $1000$ de la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}1$, donc $E(F) = 0{,}1, \qquad V(F) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0{,}1 \times 0{,}9}{1000} = \frac{0{,}09}{1000} = 9\times10^{-5}.$
b. Par Bienaymé-Tchebychev appliqué à $F$, avec $\delta = 0{,}03$ : $P(|F - 0{,}1| \geqslant 0{,}03) \leqslant \frac{9\times10^{-5}}{(0{,}03)^2} = \frac{9\times10^{-5}}{9\times10^{-4}} = 0{,}1.$
Il y a donc au plus $10\,\%$ de chances que la fréquence observée s'écarte de plus de $3$ points de $10\,\%$ — autrement dit, au moins $90\,\%$ de chances qu'elle soit strictement comprise entre $7\,\%$ et $13\,\%$.
Exercice 6 — Le paradoxe du joueur
Une pièce équilibrée a donné $10$ fois « pile » d'affilée. Un joueur affirme que « face » est maintenant plus probable, « pour rétablir l'équilibre ». Que lui répondre ?
Correction. Les lancers sont indépendants : le onzième lancer donne « face » avec la probabilité $\tfrac12$, exactement comme les précédents. La pièce n'a aucune mémoire.
La loi des grands nombres ne promet pas que les écarts se compensent, mais qu'ils deviennent négligeables en proportion. Si après $10$ lancers l'écart est de $10$ piles sur $10$, la fréquence vaut $1$. Après $10\,000$ lancers supplémentaires équilibrés, on aurait environ $5010$ piles sur $10\,010$ lancers, soit une fréquence de $0{,}5005$ — très proche de $\tfrac12$, sans qu'aucune face supplémentaire n'ait été « rendue ». L'écart absolu est resté le même ; c'est son poids relatif qui s'est effondré.
À retenir
Les trois énoncés
$\text{Bienaymé-Tchebychev :} \quad P\big(|X-\mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V}{\delta^2}$
$\text{Concentration :} \quad P\big(|M_n-\mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V}{n\delta^2}$
$\text{Loi des grands nombres :} \quad \lim_{n\to+\infty} P\big(|M_n - \mu| \geqslant \delta\big) = 0$
La taille d'échantillon $n \geqslant \frac{V}{\alpha\,\delta^2}, \qquad\text{et pour une proportion} \qquad n \geqslant \frac{1}{4\alpha\delta^2} \quad\text{(car } p(1-p) \leqslant \tfrac14\text{)}.$
Trois avertissements
- L'inégalité ne suppose rien sur la loi : elle est universelle, donc grossière.
- Une majoration supérieure à $1$ est correcte mais sans information.
- La loi des grands nombres est une dilution, pas une compensation : le passé ne se rattrape pas.
Fin du programme de terminale. Les quinze chapitres couvrent l'intégralité de la spécialité mathématiques : algèbre et géométrie, analyse, probabilités.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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