Mathématiques — Terminale
Dérivation et convexité — Maths Terminale (chapitre 7)
Dérivée d'une fonction composée, dérivée seconde, convexité, concavité et points d'inflexion en Terminale spé maths. Démonstration exigible, méthodes et…
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Compléments sur la dérivation — convexité
Chapitre 7 — Analyse · Terminale, spécialité mathématiques
Deux ajouts cette année, et ils sont de nature différente. Le premier est technique : la dérivée d'une fonction composée, qui permet enfin de dériver à peu près tout. Le second est conceptuel : la convexité, c'est-à-dire la façon dont une courbe se courbe. La dérivée dit si la courbe monte ; la dérivée seconde dit si elle accélère.
Au programme officiel. Composée de deux fonctions, notation $v \circ u$, et relation $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ ; dérivée seconde ; fonction convexe sur un intervalle, définie par la position de la courbe par rapport à ses sécantes, avec l'équivalence admise (pour une fonction deux fois dérivable) avec la position par rapport aux tangentes, la croissance de $f'$ et la positivité de $f''$ ; point d'inflexion.
Une démonstration est exigible : si $f''$ est positive, alors la courbe de $f$ est au-dessus de ses tangentes.
1. Dérivée d'une fonction composée
Définition. Soient $u$ et $v$ deux fonctions. La composée $v \circ u$ est la fonction définie par $(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big),$ sur l'ensemble des $x$ pour lesquels $u(x)$ appartient à l'ensemble de définition de $v$.
L'ordre compte. $v \circ u$ signifie « on applique d'abord $u$, ensuite $v$ ». Avec $u(x) = x + 1$ et $v(x) = x^2$ : $(v\circ u)(x) = (x+1)^2$, tandis que $(u \circ v)(x) = x^2 + 1$. Ce ne sont pas les mêmes fonctions.
Théorème (admis). Si $u$ est dérivable en $x$ et $v$ dérivable en $u(x)$, alors $v \circ u$ est dérivable en $x$ et $(v \circ u)'(x) = v'\big(u(x)\big) \times u'(x).$
Les cas particuliers à connaître par cœur. Ils couvrent la quasi-totalité des exercices :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| $u^n$ | $n\,u^{n-1}\,u'$ | $n$ entier $\geqslant 1$ |
| $\sqrt{u}$ | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ | $u > 0$ |
| $e^{u}$ | $u'\,e^{u}$ | — |
| $\dfrac{1}{u}$ | $-\dfrac{u'}{u^2}$ | $u \neq 0$ |
| $\ln(u)$ | $\dfrac{u'}{u}$ | $u > 0$ (chapitre 9) |
Exemple. Pour $f(x) = e^{3x^2 - 1}$, on pose $u(x) = 3x^2 - 1$, donc $u'(x) = 6x$, et $f'(x) = 6x\,e^{3x^2-1}.$
L'erreur numéro un. Oublier le facteur $u'$. La dérivée de $e^{5x}$ est $5e^{5x}$, pas $e^{5x}$ ; celle de $\sqrt{x^2+1}$ est $\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, pas $\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$.
2. Dérivée seconde
Définition. Si $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée s'appelle la dérivée seconde de $f$ et se note $f''$.
Interprétation. $f'$ indique le sens de variation de $f$. $f''$, qui est la dérivée de $f'$, indique le sens de variation de $f'$ : elle dit si la pente augmente ou diminue. En cinématique, si $f$ est une position, $f'$ est la vitesse et $f''$ l'accélération.
3. Convexité
3.1 La définition officielle
Définition. Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de sa courbe d'abscisses dans $I$, le segment $[AB]$ est au-dessus de la courbe. Elle est concave si le segment est en dessous.
Un segment joignant deux points de la courbe s'appelle une sécante (ou corde). Convexe : la courbe « creuse » vers le haut.
Un moyen mnémotechnique fiable. Une fonction convexe a une courbe en forme de vallée — comme $x \mapsto x^2$ ou $x \mapsto e^x$ ; on peut y « verser de l'eau » sans qu'elle s'échappe. Une fonction concave a une courbe en forme de colline — comme $x \mapsto \sqrt{x}$ ou $x \mapsto \ln x$.
3.2 Les caractérisations équivalentes
Théorème (équivalences admises). Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1. $f$ est convexe sur $I$ ;
2. $f'$ est croissante sur $I$ ;
3. $f''$ est positive sur $I$.
Et dans ce cas, la courbe de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$.
Les énoncés symétriques valent pour la concavité : $f'$ décroissante, $f''$ négative, courbe en dessous de ses tangentes.
En pratique, c'est le signe de $f''$ que l'on étudie : c'est un simple calcul de signe, comme on étudiait le signe de $f'$ pour les variations.
3.3 La démonstration exigible
Théorème. Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$, avec $f'' \geqslant 0$ sur $I$. Alors la courbe représentative de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Démonstration. Fixons un réel $a$ de $I$. La tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f(a) + f'(a)(x - a).$
Il s'agit de montrer que $f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x-a)$ pour tout $x$ de $I$. Introduisons pour cela la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x - a),$ qui mesure exactement l'écart vertical entre la courbe et la tangente. Il faut prouver que $g \geqslant 0$.
La fonction $g$ est dérivable sur $I$, et $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ (les termes $f(a)$ et $f'(a)\times(-a)$ sont constants, et la dérivée de $f'(a)\,x$ est $f'(a)$).
Or $f'' \geqslant 0$ sur $I$, donc $f'$ est croissante sur $I$. Par conséquent :
- si $x \geqslant a$, alors $f'(x) \geqslant f'(a)$, donc $g'(x) \geqslant 0$ ;
- si $x \leqslant a$, alors $f'(x) \leqslant f'(a)$, donc $g'(x) \leqslant 0$.
La fonction $g$ est donc décroissante sur la partie de $I$ située avant $a$, et croissante après : elle admet un minimum en $a$. Or $g(a) = f(a) - f(a) - f'(a)(a-a) = 0.$
Ainsi, pour tout $x$ de $I$, $g(x) \geqslant g(a) = 0$, c'est-à-dire $f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x-a).$
La courbe est bien au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $a$ — et ceci pour tout $a$ de $I$. $\blacksquare$
L'usage le plus fréquent de cette démonstration est la preuve d'inégalités. Comme $x \mapsto e^x$ a pour dérivée seconde $e^x > 0$, elle est convexe, donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$, d'équation $y = x + 1$. On en déduit d'un trait l'inégalité classique
$e^x \geqslant x + 1 \qquad \text{pour tout réel } x.$
4. Points d'inflexion
Définition. Un point d'inflexion est un point de la courbe où $f$ change de convexité : la courbe passe de concave à convexe, ou l'inverse.
Caractérisation pratique. Si $f$ est deux fois dérivable, la courbe admet un point d'inflexion en $a$ si et seulement si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$.
En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente — le seul endroit où cela se produit.
$f''(a) = 0$ ne suffit pas. Il faut un changement de signe. Contre-exemple à retenir : pour $f(x) = x^4$, on a $f''(x) = 12x^2$, qui s'annule en $0$ mais reste positive de part et d'autre. La fonction est convexe partout, et l'origine n'est pas un point d'inflexion.
La même information se lit sur les trois courbes : inflexion de $f$ ⟺ extremum de $f'$ ⟺ changement de signe de $f''$.
5. Méthodes
Méthode 1 — Étudier la convexité d'une fonction
- Calculer $f'$, puis $f''$.
- Étudier le signe de $f''$ (tableau de signes).
- Conclure : $f$ est convexe là où $f'' \geqslant 0$, concave là où $f'' \leqslant 0$, et les points d'inflexion sont les points où $f''$ change de signe.
Méthode 2 — Démontrer une inégalité par convexité
Pour prouver $f(x) \geqslant g(x)$ où $g$ est affine, il suffit souvent de reconnaître dans $g$ l'équation d'une tangente à $\mathcal{C}_f$, puis d'invoquer la convexité de $f$.
Exemple. Montrer que $e^x \geqslant x + 1$ pour tout réel $x$. La droite $y = x+1$ est la tangente à $\mathcal{C}_{\exp}$ en $0$ (car $\exp(0) = 1$ et $\exp'(0) = 1$). Comme $\exp'' = \exp > 0$, la fonction est convexe : sa courbe est au-dessus de cette tangente, d'où l'inégalité.
Méthode 3 — Lire la convexité sur un graphique
- Sur la courbe de $f$ : chercher où elle « creuse vers le haut » (convexe) ou « vers le bas » (concave).
- Sur la courbe de $f'$ : $f$ est convexe là où $f'$ croît.
- Sur la courbe de $f''$ : $f$ est convexe là où $f''$ est au-dessus de l'axe.
Le piège de lecture. Une fonction peut être décroissante et convexe en même temps — par exemple $x \mapsto e^{-x}$ ou $x\mapsto \frac1x$ sur $]0;+\infty[$. Variations et convexité sont deux informations indépendantes : la première vient de $f'$, la seconde de $f''$.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Dérivées de composées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a. $f(x) = (3x - 4)^5$ b. $g(x) = \sqrt{x^2 + 3}$ c. $h(x) = e^{-x^2}$ d. $k(x) = \dfrac{1}{2x+1}$
Correction. a. $u(x) = 3x-4$, $u' = 3$ : $f'(x) = 5 \times 3 \times (3x-4)^4 = 15(3x-4)^4$. b. $u(x) = x^2+3 > 0$, $u' = 2x$ : $g'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$. c. $u(x) = -x^2$, $u' = -2x$ : $h'(x) = -2x\,e^{-x^2}$. d. $u(x) = 2x+1$, $u' = 2$ : $k'(x) = -\dfrac{2}{(2x+1)^2}$, pour $x \neq -\tfrac12$.
Exercice 2 — Convexité d'une fonction polynomiale
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Étudier la convexité de $f$ et préciser l'éventuel point d'inflexion.
Correction. $f'(x) = 3x^2 - 6x$, puis $f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$.
Le signe de $f''$ est celui de $x - 1$ : négatif pour $x < 1$, positif pour $x > 1$.
- Sur $]-\infty\,;1]$ : $f'' \leqslant 0$, donc $f$ est concave.
- Sur $[1\,;+\infty[$ : $f'' \geqslant 0$, donc $f$ est convexe.
$f''$ s'annule en changeant de signe en $1$ : le point d'abscisse $1$ est un point d'inflexion. Son ordonnée est $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$, d'où le point $I(1\,;0)$.
Exercice 3 — Une inégalité par convexité
Montrer que pour tout $x > 0$ : $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x+1}{2}$.
Correction. Posons $f(x) = \sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Alors $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} < 0.$ La fonction est donc concave sur $]0;+\infty[$ : sa courbe est en dessous de toutes ses tangentes.
La tangente en $1$ a pour équation $y = f(1) + f'(1)(x-1) = 1 + \tfrac12(x-1) = \dfrac{x+1}{2}$.
Par concavité, $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x+1}{2}$ pour tout $x > 0$, avec égalité seulement en $x = 1$. $\blacksquare$
Exercice 4 — Avec une exponentielle
Soit $f(x) = x\,e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$. Étudier ses variations et sa convexité.
Correction. Par la formule du produit, avec $(e^{-x})' = -e^{-x}$ : $f'(x) = 1 \times e^{-x} + x \times (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x}.$ Comme $e^{-x} > 0$, le signe de $f'$ est celui de $1 - x$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;1]$ et décroissante sur $[1\,;+\infty[$, avec un maximum $f(1) = e^{-1}$.
Dérivons à nouveau : $f''(x) = -1 \times e^{-x} + (1-x)\times(-e^{-x}) = e^{-x}\big(-1 - (1-x)\big) = (x - 2)e^{-x}.$ Le signe de $f''$ est celui de $x-2$ : $f$ est concave sur $]-\infty\,;2]$, convexe sur $[2\,;+\infty[$, et le point d'abscisse $2$ est un point d'inflexion, d'ordonnée $f(2) = 2e^{-2}$.
Remarque. Entre $1$ et $2$, la fonction est à la fois décroissante et concave : les deux notions sont bien indépendantes.
Exercice 5 — Lecture graphique
On sait que $f''(x) = (x+1)(x-3)$. Que peut-on dire de la convexité de $f$ ?
Correction. Le trinôme $(x+1)(x-3)$ s'annule en $-1$ et $3$, et il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles (coefficient dominant positif).
- Sur $]-\infty\,;-1]$ : $f'' \geqslant 0$, $f$ est convexe.
- Sur $[-1\,;3]$ : $f'' \leqslant 0$, $f$ est concave.
- Sur $[3\,;+\infty[$ : $f'' \geqslant 0$, $f$ est convexe.
Il y a deux points d'inflexion, aux abscisses $-1$ et $3$ — la dérivée seconde y change bien de signe. On ne peut rien dire des variations de $f$ : elles dépendent de $f'$, dont on ignore tout ici.
À retenir
La dérivée d'une composée $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ et les cinq cas usuels : $(u^n)' = nu^{n-1}u'$, $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}$, $(e^u)' = u'e^u$, $\left(\dfrac1u\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Ne jamais oublier le $u'$.
Les équivalences de la convexité
$f \text{ convexe sur } I \iff f' \text{ croissante sur } I \iff f'' \geqslant 0 \text{ sur } I \;\Rightarrow\; \mathcal{C}_f \text{ au-dessus de ses tangentes}$
Point d'inflexion : $f''$ s'annule en changeant de signe. L'annulation seule ne suffit pas ($x^4$ en $0$).
Deux inégalités à savoir retrouver par convexité $e^x \geqslant x+1 \quad (\text{tangente en } 0), \qquad \sqrt{x} \leqslant \frac{x+1}{2} \quad (\text{tangente en } 1).$
Chapitre suivant : la continuité, et le théorème des valeurs intermédiaires.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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