Mathématiques — Terminale
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — Maths Terminale (chapitre 8)
Continuité d'une fonction, théorème des valeurs intermédiaires, cas strictement monotone, méthode de dichotomie et suites récurrentes : cours complet de…
Par ProfBot
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Chapitre 8 — Analyse · Terminale, spécialité mathématiques
Une équation comme $x^3 + x = 3$ ne se résout par aucune formule apprise au lycée. Pourtant, on peut démontrer qu'elle a exactement une solution, et en donner autant de décimales qu'on veut. C'est tout l'objet de ce chapitre : le théorème des valeurs intermédiaires ne calcule rien, mais il garantit l'existence — et c'est précisément ce qui manque pour conclure dans la moitié des problèmes d'analyse.
Au programme officiel. Fonction continue en un point (définition par les limites) et sur un intervalle ; toute fonction dérivable est continue ; image d'une suite convergente par une fonction continue ; théorème des valeurs intermédiaires, et son cas particulier des fonctions continues strictement monotones.
Aucune démonstration n'est exigible ici : ce sont les capacités qui comptent — étudier existence, unicité et encadrement des solutions de $f(x) = k$, et traiter les suites $u_{n+1} = f(u_n)$.
1. Continuité
Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. La fonction $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$ Elle est continue sur $I$ si elle est continue en chaque point de $I$.
Interprétation graphique. Sur un intervalle, la courbe d'une fonction continue se trace sans lever le crayon. C'est une image, pas une définition — mais elle est fidèle et suffit en terminale.
La fonction partie entière, notée $\lfloor x \rfloor$, est l'exemple de référence d'une fonction discontinue en chaque entier.
Théorème (admis). Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue.
La réciproque est fausse. La fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable : sa courbe forme un angle. Continuité et dérivabilité ne sont pas la même chose — la première interdit les sauts, la seconde interdit aussi les angles.
En pratique. Sont continues sur tout intervalle où elles sont définies : les fonctions polynomiales, rationnelles, la racine carrée, l'exponentielle, le logarithme, le sinus, le cosinus, ainsi que toutes leurs sommes, produits, quotients et composées. Autrement dit, en terminale, presque toute fonction rencontrée est continue sur son ensemble de définition — et il suffit de le justifier en une ligne.
Image d'une suite convergente. Si $f$ est continue en $\ell$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors la suite $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$.
C'est ce théorème qui légitime le passage à la limite dans une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ : il donne $\ell = f(\ell)$. On l'avait utilisé au chapitre 5 ; le voici justifié.
2. Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$. Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation
$f(x) = k$
admet au moins une solution dans $[a\,;b]$.
Le théorème garantit l'existence d'une solution — il n'en garantit pas l'unicité. Ici, il y en a trois.
Les deux hypothèses sont indispensables.
- Continuité : la fonction partie entière sur $[0\,;2]$ vaut $0$ en $0$ et $2$ en $2$, mais ne prend jamais la valeur $k = 1{,}5$. Elle saute par-dessus.
- $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ : sans cela, il n'y a aucune raison que la valeur soit atteinte.
Le cas strictement monotone — celui qu'on utilise
Corollaire (TVI, cas strictement monotone). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\,;b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$.
La stricte monotonie interdit à la courbe de revenir en arrière : elle ne peut couper la droite qu'une fois.
Ce corollaire s'étend aux intervalles ouverts ou infinis, à condition de remplacer les valeurs aux bornes par les limites : si $f$ est continue et strictement croissante sur $]a\,;b[$ avec $\lim\limits_{x\to a^+} f = L_1$ et $\lim\limits_{x\to b^-} f = L_2$, alors tout $k$ de $]L_1\,;L_2[$ admet un unique antécédent.
La rédaction attendue au bac. Elle tient en quatre points, et il faut les écrire tous :
1. $f$ est continue sur $I$ (justifier brièvement) ;
2. $f$ est strictement monotone sur $I$ (par le signe de $f'$) ;
3. $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes ;
4. donc, d'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ dans $I$.
Un correcteur retire des points pour chaque item manquant, en particulier pour la continuité, que l'on croit trop évidente pour être écrite.
3. Encadrer la solution : la dichotomie
Le TVI prouve qu'un nombre $\alpha$ existe, sans le donner. Pour l'approcher, on utilise la dichotomie : couper l'intervalle en deux et ne garder que la moitié qui contient la solution.
Principe. On part d'un intervalle $[a\,;b]$ tel que $f(a)$ et $f(b)$ soient de signes contraires (dans le cas de l'équation $f(x)=0$). On calcule le milieu $m$ ; puis :
- si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires, la solution est dans $[a\,;m]$ ;
- sinon, elle est dans $[m\,;b]$.
On recommence avec le nouvel intervalle, deux fois plus petit.
Résolution de $x^3 + x - 3 = 0$ : après $n$ étapes, l'intervalle mesure $\dfrac{b-a}{2^n}$. Dix étapes divisent sa longueur par plus de mille.
Algorithme (Python).
def dichotomie(f, a, b, precision):
"""f continue, f(a) et f(b) de signes contraires."""
while b - a > precision:
m = (a + b) / 2
if f(a) * f(m) <= 0: # la solution est dans [a ; m]
b = m
else: # elle est dans [m ; b]
a = m
return a, b
À la sortie, la solution est encadrée par $a$ et $b$, à precision près.
4. Méthodes
Méthode 1 — Montrer qu'une équation a une unique solution
Le plan est toujours le même :
- étudier les variations de $f$ (calcul de $f'$ et signe) ;
- dresser le tableau de variations avec les limites aux bornes ;
- sur chaque intervalle de stricte monotonie, appliquer le corollaire du TVI ;
- compter les solutions en balayant tout l'ensemble de définition.
Ne pas oublier les autres intervalles. Si $f$ est croissante puis décroissante, il faut examiner les deux intervalles : il peut y avoir zéro, une ou deux solutions selon la position de $k$ par rapport au maximum.
Méthode 2 — Suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$
C'est la méthode du chapitre 5, complétée par la justification qui manquait :
- montrer que l'intervalle $I$ est stable par $f$ (si $x \in I$ alors $f(x) \in I$), pour que la suite reste bien définie ;
- montrer par récurrence que tous les $u_n$ sont dans $I$ ;
- étudier la monotonie, conclure à la convergence vers un $\ell \in I$ ;
- $f$ étant continue, passer à la limite : $\ell = f(\ell)$, puis résoudre.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Existence et unicité
Montrer que l'équation $x^3 + x = 3$ admet une unique solution réelle $\alpha$, puis en donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.
Correction. Posons $f(x) = x^3 + x - 3$ sur $\mathbb{R}$. L'équation équivaut à $f(x) = 0$.
Continuité : $f$ est une fonction polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$.
Monotonie : $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout réel $x$ (somme d'un carré positif et de 1). Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Limites : $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.
Comme $0$ appartient à $]-\infty\,;+\infty[$, le corollaire du TVI donne : l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
Encadrement. $f(1) = 1 + 1 - 3 = -1 < 0$ et $f(2) = 8 + 2 - 3 = 7 > 0$, donc $\alpha \in \,]1\,;2[$. Poursuivons : $f(1{,}2) = 1{,}728 + 1{,}2 - 3 = -0{,}072 < 0$ et $f(1{,}3) = 2{,}197 + 1{,}3 - 3 = 0{,}497 > 0$.
$1{,}2 < \alpha < 1{,}3.$
Exercice 2 — Deux solutions
Soit $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-3\,;3]$. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$.
Correction. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, qui s'annule en $-1$ et $1$.
- Sur $[-3\,;-1]$ : $f' \geqslant 0$, $f$ croît de $f(-3) = -18$ à $f(-1) = 2$.
- Sur $[-1\,;1]$ : $f' \leqslant 0$, $f$ décroît de $2$ à $f(1) = -2$.
- Sur $[1\,;3]$ : $f' \geqslant 0$, $f$ croît de $-2$ à $f(3) = 18$.
La valeur $k = 1$ est comprise dans chacun des trois intervalles image $[-18\,;2]$, $[-2\,;2]$ et $[-2\,;18]$. Sur chacun de ces trois intervalles, $f$ est continue et strictement monotone : le corollaire du TVI donne une solution unique à chaque fois.
L'équation admet donc exactement trois solutions sur $[-3\,;3]$.
Contrôle. $f(x) = 1$ s'écrit $x^3 - 3x - 1 = 0$ ; les solutions valent approximativement $-1{,}532$, $-0{,}347$ et $1{,}879$ — bien réparties, une par intervalle de monotonie. ✓
Exercice 3 — Avec une exponentielle
Montrer que l'équation $e^x = 2 - x$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$, et l'encadrer à $10^{-2}$ près.
Correction. Posons $g(x) = e^x + x - 2$. L'équation équivaut à $g(x) = 0$.
$g$ est continue sur $\mathbb{R}$ (somme d'une exponentielle et d'un polynôme), et $g'(x) = e^x + 1 > 0,$ donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus $\lim\limits_{x\to-\infty} g = -\infty$ (car $e^x \to 0$ et $x \to -\infty$) et $\lim\limits_{x\to+\infty} g = +\infty$.
Par le corollaire du TVI, il existe une unique solution $\alpha$.
Encadrement : $g(0) = 1 + 0 - 2 = -1 < 0$ et $g(1) = e - 1 \approx 1{,}718 > 0$, donc $\alpha \in\, ]0\,;1[$. Puis $g(0{,}44) \approx e^{0{,}44} - 1{,}56 \approx 1{,}5527 - 1{,}56 \approx -0{,}0073 < 0$ et $g(0{,}45) \approx 1{,}5683 - 1{,}55 \approx 0{,}0183 > 0$.
$0{,}44 < \alpha < 0{,}45.$
Exercice 4 — Suite récurrente et continuité
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}$.
a. Montrer que pour tout $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 1$. b. Admettant que $(u_n)$ converge, déterminer sa limite.
Correction. a. Posons $f(x) = \dfrac{1}{2-x}$, définie et continue sur $[0\,;1]$ (le dénominateur $2 - x$ y vaut entre $1$ et $2$, jamais nul). Sur cet intervalle, $f$ est croissante, donc $f(0) = \tfrac12 \leqslant f(x) \leqslant f(1) = 1.$ L'intervalle $[0\,;1]$ est donc stable par $f$.
Récurrence. $u_0 = 0 \in [0;1]$ ✓. Si $u_n \in [0;1]$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \in [\tfrac12\,;1] \subset [0;1]$. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n$.
b. La suite converge vers un réel $\ell \in [0\,;1]$. Comme $f$ est continue sur $[0;1]$, on peut passer à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ : $\ell = \frac{1}{2-\ell} \iff \ell(2-\ell) = 1 \iff -\ell^2 + 2\ell - 1 = 0 \iff (\ell-1)^2 = 0.$ D'où $\ell = 1$, valeur bien située dans $[0;1]$. La limite est $1$.
Vérification instructive. Calculons les premiers termes : $u_0 = 0$, $u_1 = \tfrac12$, $u_2 = \tfrac23$, $u_3 = \tfrac34$… On reconnaît $u_n = \dfrac{n}{n+1}$, ce qui se démontre en une récurrence immédiate : $u_{n+1} = \frac{1}{2 - \frac{n}{n+1}} = \frac{1}{\frac{2(n+1) - n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}.$ On retrouve bien $\lim u_n = 1$. Cet exemple montre au passage que la convergence peut être lente : il faut $n = 999$ pour que $u_n$ atteigne $0{,}999$.
Exercice 5 — Dichotomie à la main
On sait que $\alpha \in [1\,;2]$ est l'unique solution de $x^3 + x - 3 = 0$. Effectuer trois étapes de dichotomie.
Correction. Avec $f(x) = x^3 + x - 3$, on a $f(1) = -1 < 0$ et $f(2) = 7 > 0$.
- Étape 1. $m = 1{,}5$ : $f(1{,}5) = 3{,}375 + 1{,}5 - 3 = 1{,}875 > 0$. Même signe que $f(2)$, donc $\alpha \in [1\,;1{,}5]$.
- Étape 2. $m = 1{,}25$ : $f(1{,}25) = 1{,}953125 + 1{,}25 - 3 = 0{,}203125 > 0$. Donc $\alpha \in [1\,;1{,}25]$.
- Étape 3. $m = 1{,}125$ : $f(1{,}125) \approx 1{,}4238 + 1{,}125 - 3 = -0{,}4512 < 0$. Cette fois le signe est celui de $f(1)$, donc $\alpha \in [1{,}125\,;1{,}25]$.
L'amplitude est passée de $1$ à $0{,}125$, soit une division par $2^3 = 8$. ✓
À retenir
Continuité. $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$. Toute fonction dérivable est continue ; la réciproque est fausse ($|x|$ en $0$).
Le TVI et son corollaire
| Hypothèses | Conclusion |
|---|---|
| $f$ continue sur $[a;b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ | au moins une solution |
| $f$ continue et strictement monotone, $k$ entre les bornes | exactement une solution |
La rédaction en quatre temps : continuité → stricte monotonie → $k$ entre les bornes (ou limites) → conclusion. Écrire les quatre.
Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : stabilité de l'intervalle → récurrence → monotonie → convergence → $f$ continue donc $\ell = f(\ell)$.
Dichotomie : après $n$ étapes, l'amplitude vaut $\dfrac{b-a}{2^n}$.
Chapitre suivant : la fonction logarithme népérien, dernière grande fonction du programme.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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