Mathématiques — Terminale
Fonctions sinus et cosinus — Maths Terminale (chapitre 10)
Fonctions sinus et cosinus en Terminale spé maths : dérivées, variations, courbes, résolution de cos(x) = a et des inéquations sur l'intervalle de moins pi…
Par ProfBot
Fonctions sinus et cosinus
Chapitre 10 — Analyse · Terminale, spécialité mathématiques
Sinus et cosinus sont connus depuis la seconde comme des nombres lus sur le cercle trigonométrique. Cette année, on les regarde comme des fonctions : on les dérive, on étudie leurs variations, on trace leurs courbes. Ce sont les seules fonctions du programme à être périodiques, ce qui en fait l'outil naturel de tout ce qui se répète — un signal sonore, une marée, un courant alternatif.
Au programme officiel. Fonctions trigonométriques sinus et cosinus : dérivées, variations, courbes représentatives.
Aucune démonstration n'est exigible. Les capacités attendues sont : résoudre une équation $\cos(x) = a$ et une inéquation $\cos(x) \leqslant a$ sur $[-\pi\,;\pi]$, et étudier une fonction simple construite à partir des fonctions trigonométriques pour en déterminer variations et optimum.
1. Rappels indispensables
Le cercle trigonométrique. Pour un réel $x$, on place sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1 le point $M$ tel que l'arc orienté depuis le point $(1\,;0)$ mesure $x$. Alors, par définition, $M\big(\cos x\,;\,\sin x\big).$
Valeurs remarquables — à connaître par cœur :
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ | $-1$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ | $0$ |
Propriétés fondamentales. Pour tout réel $x$ : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1, \qquad -1 \leqslant \cos x \leqslant 1, \qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1,$ $\cos(-x) = \cos x \;\text{(paire)}, \qquad \sin(-x) = -\sin x \;\text{(impaire)},$ $\cos(x + 2\pi) = \cos x, \qquad \sin(x+2\pi) = \sin x \;\text{(périodicité } 2\pi).$
Et les relations de décalage, utiles pour les dérivées : $\cos\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x, \qquad \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x,$ $\cos(\pi - x) = -\cos x, \qquad \sin(\pi - x) = \sin x.$
2. Dérivées
Théorème. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ :
$\sin'(x) = \cos x, \qquad \cos'(x) = -\sin x.$
Le signe moins. Il n'est pas arbitraire : en $0$, la fonction cosinus atteint son maximum, donc sa dérivée doit y être nulle — et $-\sin(0) = 0$ ✓. Juste après $0$, le cosinus diminue, donc sa dérivée doit être négative — et $-\sin x < 0$ pour $x$ légèrement positif ✓. Un signe oublié rend le tableau de variations entièrement faux.
Dériver revient à décaler la courbe d'un quart de période vers la gauche.
Dérivées des composées — les plus utiles en pratique : $\big(\sin(u)\big)' = u' \cos(u), \qquad \big(\cos(u)\big)' = -u' \sin(u).$
En particulier, pour $a$ et $b$ réels : $\big(\sin(ax+b)\big)' = a\cos(ax+b), \qquad \big(\cos(ax+b)\big)' = -a\sin(ax+b).$
3. Variations et courbes
Sur $[-\pi\,;\pi]$, il suffit d'étudier le signe des dérivées.
Cosinus. $\cos'(x) = -\sin x$, qui est positif sur $[-\pi\,;0]$ et négatif sur $[0\,;\pi]$. Donc $\cos$ croît sur $[-\pi\,;0]$ puis décroît sur $[0\,;\pi]$, avec un maximum $\cos 0 = 1$.
Sinus. $\sin'(x) = \cos x$, positif sur $\left[-\tfrac\pi2\,;\tfrac\pi2\right]$ et négatif ailleurs sur $[-\pi;\pi]$. Donc $\sin$ décroît sur $\left[-\pi\,;-\tfrac\pi2\right]$, croît sur $\left[-\tfrac\pi2\,;\tfrac\pi2\right]$, puis décroît sur $\left[\tfrac\pi2\,;\pi\right]$.
Les deux courbes sont identiques à un décalage de $\dfrac{\pi}{2}$ près : $\sin x = \cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$.
Ni limite ni asymptote en l'infini. Comme $\sin$ et $\cos$ oscillent indéfiniment entre $-1$ et $1$, elles n'ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$. Écrire « $\lim\limits_{x\to+\infty}\sin x = 0$ » est une faute — la fonction ne se stabilise sur rien.
4. Équations et inéquations sur $[-\pi\,;\pi]$
4.1 Résoudre $\cos x = a$
- Si $a < -1$ ou $a > 1$ : aucune solution, puisque le cosinus reste dans $[-1;1]$.
- Si $-1 < a < 1$ : il existe un unique réel $\alpha \in\, ]0\,;\pi[$ tel que $\cos\alpha = a$, et les solutions sur $[-\pi\,;\pi]$ sont
$x = \alpha \qquad \text{ou} \qquad x = -\alpha.$
- Cas limites : $\cos x = 1$ donne $x = 0$ ; $\cos x = -1$ donne $x = \pi$ (ou $-\pi$, qui désigne le même point du cercle).
La raison géométrique. La droite verticale d'équation $X = a$ coupe le cercle trigonométrique en deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses : leurs abscisses curvilignes sont opposées.
4.2 Résoudre $\sin x = a$
Même principe, mais la symétrie est différente : la droite horizontale $Y = a$ coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Si $\beta$ est une solution, l'autre est $\pi - \beta$ : $\sin x = a \iff x = \beta \quad\text{ou}\quad x = \pi - \beta.$
Ne pas mélanger les deux. Pour le cosinus, les solutions sont opposées ($\alpha$ et $-\alpha$). Pour le sinus, elles sont supplémentaires ($\beta$ et $\pi-\beta$). Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
4.3 Résoudre une inéquation
Sur $[-\pi\,;\pi]$, on résout d'abord l'équation associée, puis on lit la réponse sur le cercle ou sur la courbe.
Exemple. $\cos x \leqslant \tfrac12$ sur $[-\pi\,;\pi]$. L'équation $\cos x = \tfrac12$ a pour solutions $\tfrac\pi3$ et $-\tfrac\pi3$. Le cosinus étant maximal en $0$ et décroissant vers $\pm\pi$, il est inférieur à $\tfrac12$ en dehors de l'intervalle central : $S = \left[-\pi\,;-\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}\,;\pi\right].$
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Équations
Résoudre sur $[-\pi\,;\pi]$ : a. $\cos x = \dfrac{\sqrt2}{2}$ b. $\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2}$ c. $\cos x = -\dfrac12$
Correction. a. $\cos\dfrac\pi4 = \dfrac{\sqrt2}{2}$, et les solutions sont opposées : $S = \left\{-\frac{\pi}{4}\,;\,\frac{\pi}{4}\right\}.$ b. $\sin\dfrac\pi3 = \dfrac{\sqrt3}{2}$, et les solutions sont supplémentaires : $\dfrac\pi3$ et $\pi - \dfrac\pi3 = \dfrac{2\pi}{3}$. $S = \left\{\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{2\pi}{3}\right\}.$ c. $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac12$, d'où $S = \left\{-\frac{2\pi}{3}\,;\,\frac{2\pi}{3}\right\}.$
Exercice 2 — Inéquation
Résoudre $\sin x \geqslant \dfrac{\sqrt2}{2}$ sur $[-\pi\,;\pi]$.
Correction. L'équation $\sin x = \dfrac{\sqrt2}{2}$ a pour solutions $\dfrac\pi4$ et $\pi - \dfrac\pi4 = \dfrac{3\pi}{4}$.
Le sinus est positif et maximal en $\dfrac\pi2$, situé entre ces deux valeurs. L'inéquation est donc vérifiée sur l'intervalle qui les sépare : $S = \left[\frac{\pi}{4}\,;\,\frac{3\pi}{4}\right].$
Contrôle : en $x = \dfrac\pi2$, $\sin x = 1 \geqslant \dfrac{\sqrt2}{2}$ ✓ ; en $x = 0$, $\sin x = 0 < \dfrac{\sqrt2}{2}$, et $0$ n'est effectivement pas dans $S$ ✓.
Exercice 3 — Dérivées
Calculer la dérivée de : a. $f(x) = \sin(3x)$ b. $g(x) = \cos(x^2)$ c. $h(x) = x\sin x$ d. $k(x) = \sin^2 x$
Correction. a. $f'(x) = 3\cos(3x)$. b. $u(x) = x^2$, $u' = 2x$ : $g'(x) = -2x\sin(x^2)$. c. Dérivée d'un produit : $h'(x) = \sin x + x\cos x$. d. $\sin^2 x = (\sin x)^2$, de la forme $u^2$ avec $u = \sin$ : $k'(x) = 2\sin x \cos x$.
Exercice 4 — Étude d'une fonction trigonométrique
Soit $f(x) = x + \cos x$ sur $[0\,;2\pi]$. Étudier ses variations et déterminer ses extrema.
Correction. $f$ est dérivable et $f'(x) = 1 - \sin x.$ Comme $\sin x \leqslant 1$ pour tout réel, on a $f'(x) \geqslant 0$ : $f$ est croissante sur $[0\,;2\pi]$.
La dérivée s'annule uniquement là où $\sin x = 1$, c'est-à-dire en $x = \dfrac\pi2$. Mais elle ne change pas de signe en ce point (elle reste positive) : il n'y a donc pas d'extremum local en $\dfrac{\pi}{2}$ — seulement une tangente horizontale.
Les extrema sont atteints aux bornes : $f(0) = 0 + 1 = 1 \quad (\text{minimum}), \qquad f(2\pi) = 2\pi + 1 \approx 7{,}28 \quad (\text{maximum}).$
Cet exercice illustre un point souvent mal compris : $f'(a) = 0$ n'entraîne pas un extremum en $a$. Il faut un changement de signe, exactement comme pour les points d'inflexion au chapitre 7.
Exercice 5 — Un optimum géométrique
Un rectangle est inscrit dans un demi-cercle de rayon $1$, sa base reposant sur le diamètre. En notant $\theta \in \left]0\,;\dfrac\pi2\right[$ l'angle entre le rayon menant à un sommet supérieur et le diamètre, l'aire du rectangle vaut $A(\theta) = 2\cos\theta\sin\theta$. Déterminer l'aire maximale.
Correction. On peut dériver directement : $A'(\theta) = 2\big(-\sin\theta \times \sin\theta + \cos\theta\times\cos\theta\big) = 2\big(\cos^2\theta - \sin^2\theta\big).$
Comme $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, on a $\cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$, donc $A'(\theta) = 2\big(2\cos^2\theta - 1\big).$
Sur $\left]0;\tfrac\pi2\right[$, $A'(\theta) = 0$ équivaut à $\cos^2\theta = \tfrac12$, soit $\cos\theta = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (le cosinus y est positif), c'est-à-dire $\theta = \dfrac\pi4$.
$A'$ est positive avant $\dfrac\pi4$ et négative après : $A$ admet donc un maximum en $\dfrac\pi4$, valant $A\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{\sqrt2}{2} \times \frac{\sqrt2}{2} = 2 \times \frac12 = 1.$
L'aire maximale vaut $1$, obtenue pour un rectangle de largeur $\sqrt2$ et de hauteur $\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Contrôle de vraisemblance : le demi-disque a pour aire $\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, et le rectangle inscrit en occupe $1$, soit environ $64\,\%$. C'est plausible. ✓
À retenir
Les dérivées $\sin' = \cos, \qquad \cos' = -\sin, \qquad \big(\sin(ax+b)\big)' = a\cos(ax+b), \qquad \big(\cos(ax+b)\big)' = -a\sin(ax+b).$
Les résolutions sur $[-\pi\,;\pi]$
| Équation | Solutions |
|---|---|
| $\cos x = \cos\alpha$ | $x = \alpha$ ou $x = -\alpha$ (opposées) |
| $\sin x = \sin\beta$ | $x = \beta$ ou $x = \pi - \beta$ (supplémentaires) |
Trois faits à ne pas oublier
- $\sin$ et $\cos$ n'ont aucune limite en $\pm\infty$ : elles oscillent.
- $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ sert dans presque toutes les simplifications.
- $f'(a) = 0$ n'implique pas un extremum : il faut un changement de signe.
Chapitre suivant : les primitives et les équations différentielles — on remonte enfin de $f'$ vers $f$.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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