Mathématiques — Terminale

Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Maths Terminale (chapitre 13)

Name: Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Maths Terminale (chapitre 13)
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Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale en Terminale spé maths : définition, calcul des probabilités, problèmes de seuil.…

Par ProfBot

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Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Chapitre 13 — Probabilités · Terminale, spécialité mathématiques

On répète $n$ fois la même expérience, chaque essai pouvant réussir ou échouer, et l'on compte les réussites. Ce schéma décrit un contrôle qualité sur une chaîne de production, une série de tirs au but, un sondage, un test médical répété. La loi qui le gouverne — la loi binomiale — est la plus utilisée de tout le lycée, et elle s'appuie directement sur le coefficient $\binom{n}{k}$ du chapitre 1.

Au programme officiel. Modèle de la succession d'épreuves indépendantes ; représentation par un produit cartésien ou un arbre ; épreuve et loi de Bernoulli ; schéma de Bernoulli ; loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ et son expression à l'aide des coefficients binomiaux.
Une démonstration est exigible : l'expression de la probabilité de $k$ succès dans un schéma de Bernoulli.

1. Succession d'épreuves indépendantes

Le modèle. On répète $n$ expériences aléatoires, chacune n'influençant pas les autres. Une issue de l'expérience globale est un $n$-uplet $(x_1, \dots, x_n)$, et sa probabilité est le produit des probabilités de ses composantes : $P\big((x_1,\dots,x_n)\big) = P(x_1) \times P(x_2) \times \cdots \times P(x_n).$

C'est le produit cartésien du chapitre 1, muni d'une probabilité. On le représente par un arbre pondéré, dont les règles sont celles de première :

la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ;
la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin ;
la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

2. Épreuve et loi de Bernoulli

Définition. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues seulement, appelées conventionnellement succès (probabilité $p$) et échec (probabilité $1-p$).

Définition. La variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

$x_i$	$0$	$1$
$P(X = x_i)$	$1-p$	$p$

Espérance et variance. $E(X) = 0\times(1-p) + 1\times p = p,$ $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = p - p^2 = p(1-p),$ puisque $X^2 = X$ (une variable qui ne prend que les valeurs $0$ et $1$ est égale à son carré).

Le « succès » n'a rien de positif. C'est une convention de vocabulaire : dans un contrôle qualité, on appelle souvent « succès » le fait qu'une pièce soit défectueuse. Ce qui compte est de le déclarer clairement en début d'exercice — et de s'y tenir.

3. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $p$.

Définition. Dans un tel schéma, la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n\,;p)$.

La démonstration exigible

Théorème. Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;p)$, alors pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$ :
$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}.$

Démonstration. Une issue du schéma est une liste de $n$ résultats, chacun étant $S$ (succès) ou $E$ (échec) : c'est un $n$-uplet.

Première étape — la probabilité d'un chemin donné. Considérons une issue précise comportant exactement $k$ succès et $n-k$ échecs. Les épreuves étant indépendantes, sa probabilité est le produit des probabilités de ses composantes : $\underbrace{p \times \cdots \times p}_{k \text{ fois}} \times \underbrace{(1-p) \times \cdots \times (1-p)}_{n-k \text{ fois}} = p^k (1-p)^{n-k}.$

Ce résultat ne dépend que du nombre de succès, pas de leur position : tous les chemins à $k$ succès ont la même probabilité.

Deuxième étape — combien de tels chemins ? Un chemin à $k$ succès est entièrement déterminé par le choix des positions des succès parmi les $n$ épreuves. C'est le choix d'une partie à $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments : il y en a $\binom{n}{k}$ (chapitre 1).

Conclusion. L'événement $(X = k)$ est la réunion de ces $\binom{n}{k}$ chemins, deux à deux incompatibles (deux chemins distincts ne peuvent se produire simultanément). Par additivité, $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}. \qquad \blacksquare$

Arbre à trois répétitions, avec les huit chemins et le nombre de succès de chacun.

Pour $n = 3$ : les $\binom32 = 3$ chemins à deux succès (SSE, SES, ESS) ont chacun la probabilité $p^2(1-p)$.

Vérification utile. La somme de toutes les probabilités doit valoir $1$ :
$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} = \big(p + (1-p)\big)^n = 1^n = 1,$
par la formule du binôme de Newton. Avec $p = \tfrac12$, on retrouve l'identité $\sum_k \binom nk = 2^n$ du chapitre 1.

Espérance, variance, écart type

Théorème. Si $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;p)$ :
$E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.$

La démonstration de ces formules fait l'objet du chapitre 14.

Lecture intuitive. Sur $100$ lancers d'une pièce équilibrée, on attend $E(X) = 100 \times 0{,}5 = 50$ piles. L'écart type $\sqrt{100 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = 5$ mesure la dispersion typique autour de cette valeur.

Trois diagrammes en bâtons de lois binomiales pour différents paramètres.

La loi est symétrique quand $p = 0{,}5$, décalée vers la gauche quand $p < 0{,}5$. Quand $n$ grandit, la distribution se resserre autour de sa moyenne — c'est le sujet du chapitre 15.

4. Calculs pratiques

Les trois types de probabilités demandées.

$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \qquad P(X \leqslant k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i), \qquad P(k_1 \leqslant X \leqslant k_2) = \sum_{i=k_1}^{k_2} P(X = i).$

Les événements contraires évitent des sommes interminables : $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1), \qquad P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0).$

L'erreur d'un cran. $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1)$, et non $1 - P(X \leqslant k)$ : la valeur $k$ elle-même appartient à l'événement $(X \geqslant k)$. Ce décalage d'une unité est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

À la calculatrice. Les fonctions s'appellent binomFdp(n, p, k) pour $P(X = k)$ et binomFRép(n, p, k) pour $P(X \leqslant k)$ (ou binompdf / binomcdf selon le modèle).

Algorithme de seuil. Pour trouver le plus petit $k$ tel que $P(X \leqslant k) \geqslant s$ :


def seuil(n, p, s):
    """Plus petit k tel que P(X <= k) >= s, pour X suivant B(n, p)."""
    from math import comb
    cumul = 0.0
    for k in range(n + 1):
        cumul += comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
        if cumul >= s:
            return k
    return n

5. Reconnaître une loi binomiale

Quatre conditions, toutes nécessaires :

on répète $n$ fois la même épreuve ;
chaque épreuve n'a que deux issues ;
les répétitions sont indépendantes ;
$X$ compte le nombre de succès.

Le cas qui fait échouer la condition 3 : le tirage sans remise. Dans une urne de 10 boules dont 4 rouges, tirer 3 boules avec remise donne bien une loi binomiale $\mathcal{B}(3\,;0{,}4)$. Tirer 3 boules sans remise ne le donne pas : la composition de l'urne change à chaque tirage, donc la probabilité de succès n'est plus constante et les épreuves ne sont plus indépendantes. Le mot « avec remise » — ou son absence — décide de tout.

6. Exercices corrigés

Exercice 1 — Reconnaître et calculer

Une machine produit des pièces dont $3\,\%$ sont défectueuses. On prélève au hasard un lot de $50$ pièces dans une production très importante. Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses.

a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres. b. Calculer $P(X = 0)$, puis $P(X \geqslant 1)$. c. Calculer $E(X)$.

Correction. a. On répète $50$ fois l'épreuve « prélever une pièce », qui a deux issues (défectueuse : succès, de probabilité $p = 0{,}03$ ; ou non). La production étant « très importante », le prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise : les épreuves sont indépendantes. $X$ compte les succès, donc $X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}03).$

b. $P(X = 0) = \binom{50}{0}(0{,}03)^0(0{,}97)^{50} = 0{,}97^{50} \approx 0{,}2181$.

Puis $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) \approx 1 - 0{,}2181 = 0{,}7819$.

Il y a donc environ 78 % de chances que le lot contienne au moins une pièce défectueuse.

c. $E(X) = np = 50 \times 0{,}03 = 1{,}5$ pièce défectueuse en moyenne.

Exercice 2 — Une probabilité exacte

On lance $6$ fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois le $6$ ?

Correction. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir 6 », de probabilité $p = \tfrac16$. Les lancers sont indépendants, donc $X \sim \mathcal{B}\!\left(6\,;\tfrac16\right)$ et $P(X = 2) = \binom{6}{2}\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^4 = 15 \times \frac{1}{36} \times \frac{625}{1296} = \frac{9375}{46656} \approx 0{,}2009.$

Environ 20 %.

Exercice 3 — Intervalle

Soit $X \sim \mathcal{B}(20\,;0{,}4)$. Calculer $P(X \leqslant 5)$, $P(X \geqslant 10)$ et $P(6 \leqslant X \leqslant 9)$.

Correction. À la calculatrice : $P(X \leqslant 5) \approx 0{,}1256, \qquad P(X \leqslant 9) \approx 0{,}7553.$

Donc $P(X \geqslant 10) = 1 - P(X \leqslant 9) \approx 1 - 0{,}7553 = 0{,}2447,$ $P(6 \leqslant X \leqslant 9) = P(X \leqslant 9) - P(X \leqslant 5) \approx 0{,}7553 - 0{,}1256 = 0{,}6297.$

Contrôle : les trois zones $X \leqslant 5$, $6 \leqslant X \leqslant 9$ et $X \geqslant 10$ forment une partition, et $0{,}1256 + 0{,}6297 + 0{,}2447 = 1{,}0000$ ✓.

Exercice 4 — Problème de seuil

Un joueur a $20\,\%$ de chances de gagner à chaque partie. Combien de parties doit-il jouer pour avoir au moins $95\,\%$ de chances de gagner au moins une fois ?

Correction. Soit $n$ le nombre de parties et $X \sim \mathcal{B}(n\,;0{,}2)$. On veut $P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}95 \iff 1 - P(X = 0) \geqslant 0{,}95 \iff P(X=0) \leqslant 0{,}05,$ c'est-à-dire $0{,}8^{\,n} \leqslant 0{,}05$. En composant par $\ln$ (croissante) : $n\ln(0{,}8) \leqslant \ln(0{,}05).$ Comme $\ln(0{,}8) < 0$, la division inverse l'inégalité : $n \geqslant \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)} \approx \frac{-2{,}9957}{-0{,}2231} \approx 13{,}43.$

Il faut donc 14 parties.

Vérification : avec $n = 13$, $1 - 0{,}8^{13} \approx 0{,}9450 < 0{,}95$ ; avec $n = 14$, $1 - 0{,}8^{14} \approx 0{,}9560 \geqslant 0{,}95$ ✓.

Exercice 5 — Avec ou sans remise

Une urne contient $10$ boules : $4$ rouges et $6$ noires. On tire $3$ boules.

a. Avec remise : quelle est la probabilité d'obtenir exactement $2$ rouges ? b. Sans remise : la loi est-elle encore binomiale ? Calculer la même probabilité.

Correction. a. Avec remise, les tirages sont indépendants et $p = 0{,}4$ à chaque fois : $X \sim \mathcal{B}(3\,;0{,}4)$, donc $P(X = 2) = \binom32 (0{,}4)^2(0{,}6)^1 = 3 \times 0{,}16 \times 0{,}6 = 0{,}288.$

b. Sans remise, non : après un premier tirage rouge, il ne reste que $3$ rouges sur $9$ boules, donc $p$ change. Les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes.

On dénombre alors directement (chapitre 1) : choisir $2$ rouges parmi $4$ et $1$ noire parmi $6$, sur l'ensemble des tirages simultanés de 3 boules parmi 10 : $P = \frac{\binom42 \times \binom61}{\binom{10}{3}} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = 0{,}3.$

Les deux réponses diffèrent ($0{,}288$ contre $0{,}3$) : le modèle n'est pas anodin.

À retenir

La loi binomiale $X \sim \mathcal{B}(n\,;p) \quad\Longrightarrow\quad P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},$ $E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.$

Les quatre conditions : $n$ répétitions · deux issues · indépendance · $X$ compte les succès. Le tirage sans remise détruit l'indépendance — chercher le mot « avec remise » dans l'énoncé.

Les passages au complémentaire $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0), \qquad P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1).$ Attention au décalage $k-1$.

La structure de la démonstration : probabilité d'un chemin ($p^k(1-p)^{n-k}$) × nombre de chemins ($\binom nk$), les chemins étant incompatibles.

Chapitre suivant : les sommes de variables aléatoires, qui démontreront enfin les formules de $E(X)$ et $V(X)$.

Le programme complet de terminale

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Analyse

Probabilités

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