Mathématiques — Terminale
Fonction logarithme népérien — Maths Terminale (chapitre 9)
Fonction logarithme népérien en Terminale spé maths : définition, propriétés algébriques, dérivée, limites, croissances comparées, résolution d'équations.…
Par ProfBot
La fonction logarithme népérien
Chapitre 9 — Analyse · Terminale, spécialité mathématiques
L'exponentielle transforme les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a \times e^b$. Le logarithme fait l'inverse — il transforme les produits en sommes. C'est ce qui en a fait, pendant trois siècles, l'outil de calcul le plus précieux de l'astronomie et de la navigation : multiplier deux nombres de dix chiffres devenait une addition. Aujourd'hui la machine calcule à notre place, mais la fonction reste indispensable, notamment pour résoudre les équations où l'inconnue est en exposant.
Au programme officiel. Fonction logarithme népérien, notée $\ln$, construite comme réciproque de la fonction exponentielle ; propriétés algébriques ; dérivée ; limites ; croissances comparées.
Deux démonstrations sont exigibles : le calcul de la dérivée de $\ln$ (la dérivabilité étant admise), et la limite en $0$ de $x \mapsto x\ln x$.
1. Définition
Point de départ. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\lim_{x\to-\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty.$ D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 8), pour tout réel $y$ strictement positif, l'équation $e^x = y$ admet donc une unique solution.
Définition. Pour tout réel $y > 0$, on note $\ln y$ l'unique réel $x$ tel que $e^x = y$. La fonction ainsi définie sur $]0\,;+\infty[$ s'appelle logarithme népérien.
Conséquences immédiates. Pour tous $x \in \mathbb{R}$ et $y > 0$ : $\ln(e^x) = x, \qquad e^{\ln y} = y, \qquad \ln 1 = 0, \qquad \ln e = 1.$
Et l'équivalence fondamentale, qui sert dans presque tous les exercices : $\boxed{\;e^a = b \iff a = \ln b \quad (b > 0)\;}$
Deux fonctions réciproques ont des courbes symétriques par rapport à la droite $y = x$. Le point $(0\,;1)$ de l'exponentielle correspond au point $(1\,;0)$ du logarithme.
$\ln x$ n'existe que pour $x > 0$. C'est la première chose à vérifier dans tout exercice : avant d'écrire $\ln(u(x))$, il faut déterminer où $u(x) > 0$. Une équation « résolue » sans cette vérification donne presque toujours des solutions parasites.
2. Propriétés algébriques
Théorème. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et tout entier $n$ :
$\ln(ab) = \ln a + \ln b, \qquad
\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b, \qquad
\ln\!\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln b,$
$\ln(a^n) = n \ln a, \qquad \ln\big(\sqrt{a}\big) = \frac{1}{2}\ln a.$
Démonstration de la première relation. Posons $x = \ln a$ et $y = \ln b$, de sorte que $a = e^x$ et $b = e^y$. Alors $ab = e^x \times e^y = e^{x+y},$ donc, par définition du logarithme, $\ln(ab) = x + y = \ln a + \ln b$. $\blacksquare$
Les autres se déduisent de la même façon, en utilisant les propriétés correspondantes de l'exponentielle.
L'erreur la plus coûteuse. $\ln(a + b)$ n'est pas $\ln a + \ln b$. Le logarithme transforme les produits en sommes, jamais les sommes en quoi que ce soit de simple. De même, $\ln(a^n) = n\ln a$ mais $(\ln a)^n \neq n \ln a$.
3. Étude de la fonction
3.1 Dérivée — démonstration exigible
Théorème. La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (admis) et, pour tout $x > 0$ :
$\ln'(x) = \frac{1}{x}.$
Démonstration (la dérivabilité étant admise). Pour tout $x > 0$, on sait que $e^{\ln x} = x.$
Dérivons chaque membre de cette égalité. À gauche, c'est la dérivée d'une composée de la forme $e^{u}$ avec $u = \ln$, dont la dérivée est $u' e^{u}$ (chapitre 7) : $\big(e^{\ln x}\big)' = \ln'(x) \times e^{\ln x} = \ln'(x) \times x.$ À droite, la dérivée de $x$ vaut $1$. Les deux fonctions étant égales, leurs dérivées le sont : $\ln'(x) \times x = 1.$ Comme $x > 0$, on peut diviser par $x$ : $\ln'(x) = \frac{1}{x}. \qquad \blacksquare$
Conséquence. Pour tout $x > 0$, $\ln'(x) = \dfrac1x > 0$ : la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.
Dérivée d'une composée. Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\big(\ln(u)\big)' = \frac{u'}{u}.$
3.2 Limites
$\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty.$
Ces limites se lisent sur la symétrie avec l'exponentielle : quand $e^x \to 0$ pour $x\to-\infty$, le logarithme des valeurs proches de $0$ tend vers $-\infty$.
L'axe des ordonnées est asymptote verticale. La croissance vers $+\infty$ est réelle mais extrêmement lente.
3.3 Tableau de variations
| $x$ | $0$ | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|
| $\ln'(x) = \frac1x$ | $+$ | ||
| $\ln x$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
4. Croissances comparées
### Démonstration exigible
Théorème. $\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0$.
Démonstration. C'est une forme indéterminée $0 \times \infty$. Posons $X = \ln x, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad x = e^{X}.$
Quand $x \to 0^+$, on a $X = \ln x \to -\infty$. Le produit s'écrit alors $x \ln x = e^{X} \times X = X e^{X}.$
Or on a établi au chapitre 6 que $\lim\limits_{X\to-\infty} X e^{X} = 0$ (croissance comparée, cas $n = 1$). Donc $\lim_{x\to 0^+} x \ln x = 0. \qquad \blacksquare$
Les autres croissances comparées à connaître : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0, \qquad \lim_{x\to 0^+} x^n \ln x = 0 \quad (n \geqslant 1).$
Justification de la première (même méthode) : en posant $x = e^X$, avec $X \to +\infty$, $\frac{\ln x}{x} = \frac{X}{e^X} \xrightarrow[X\to+\infty]{} 0.$
Le logarithme est écrasé par toute puissance, même par $\sqrt{x}$. En $x = 1000$, il vaut encore moins de $7$.
La retenir dans le bon sens. À l'infini, l'ordre est immuable :
$\ln x \;\ll\; x^n \;\ll\; e^x.$
Le logarithme perd toujours ; l'exponentielle gagne toujours.
5. Équations et inéquations
Le principe. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$. Donc, pour $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b, \qquad \ln a < \ln b \iff a < b.$
Le logarithme conserve le sens des inégalités — contrairement à ce qui se passe quand on multiplie par un nombre négatif.
Résoudre $q^n < \varepsilon$. C'est le calcul de seuil, omniprésent avec les suites géométriques : $q^n < \varepsilon \iff n\ln q < \ln \varepsilon \iff n > \frac{\ln\varepsilon}{\ln q} \quad \text{si } 0 < q < 1.$
Le renversement de l'inégalité. Lorsque $0 < q < 1$, on a $\ln q < 0$ : diviser par $\ln q$ inverse le sens de l'inégalité. C'est l'erreur classique du calcul de seuil, et elle change complètement la réponse.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Simplifications
Simplifier : a. $\ln 8 - \ln 2$ b. $\ln 12 + \ln 3 - 2\ln 6$ c. $\ln\big(e^3\sqrt{e}\big)$
Correction. a. $\ln 8 - \ln 2 = \ln\!\left(\tfrac82\right) = \ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$. b. $\ln 12 + \ln 3 - 2\ln 6 = \ln 36 - \ln 36 = 0$ (car $12 \times 3 = 36$ et $2\ln 6 = \ln 36$). c. $\ln\big(e^3 \sqrt e\big) = \ln(e^3) + \ln(e^{1/2}) = 3 + \tfrac12 = \tfrac72$.
Exercice 2 — Équations
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a. $\ln(2x - 1) = 3$ b. $\ln x + \ln(x-2) = \ln 3$ c. $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$
Correction. a. Domaine : $2x - 1 > 0$, soit $x > \tfrac12$. Alors $\ln(2x-1) = 3 \iff 2x - 1 = e^3 \iff x = \frac{e^3+1}{2} \approx 10{,}54.$ Cette valeur vérifie bien $x > \tfrac12$. Solution : $\left\{\dfrac{e^3+1}{2}\right\}$.
b. Domaine : il faut $x > 0$ et $x - 2 > 0$, donc $x > 2$. Sur ce domaine, $\ln x + \ln(x-2) = \ln 3 \iff \ln\big(x(x-2)\big) = \ln 3 \iff x^2 - 2x - 3 = 0.$ Le discriminant vaut $4 + 12 = 16$, d'où les racines $x = \dfrac{2 \pm 4}{2}$, soit $3$ et $-1$.
Seule $x = 3$ appartient au domaine ($-1$ n'est pas
gt; 2$). Solution : $\{3\}$.C'est exactement le piège annoncé au paragraphe 1 : sans l'étude du domaine, on aurait gardé $-1$, pour lequel $\ln(-1)$ n'a aucun sens.
c. Posons $X = e^x$, avec $X > 0$. L'équation devient $X^2 - 5X + 6 = 0$, de discriminant $25 - 24 = 1$, donc $X = 2$ ou $X = 3$. Les deux sont strictement positifs, d'où $e^x = 2 \iff x = \ln 2, \qquad e^x = 3 \iff x = \ln 3.$ Solutions : $\{\ln 2\,;\ln 3\}$.
Exercice 3 — Calcul de seuil
On considère la suite $u_n = 5 \times 0{,}8^{\,n}$. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 0{,}01$.
Correction. $5 \times 0{,}8^{\,n} < 0{,}01 \iff 0{,}8^{\,n} < 0{,}002 \iff n \ln(0{,}8) < \ln(0{,}002).$ Comme $\ln(0{,}8) < 0$, la division inverse l'inégalité : $n > \frac{\ln(0{,}002)}{\ln(0{,}8)} \approx \frac{-6{,}2146}{-0{,}2231} \approx 27{,}85.$ Le plus petit entier convenable est $n = 28$.
Vérification : $5 \times 0{,}8^{27} \approx 0{,}01209 > 0{,}01$, tandis que $5 \times 0{,}8^{28} \approx 0{,}00967 < 0{,}01$ ✓.
Exercice 4 — Étude de fonction
Soit $f(x) = x - \ln x$ définie sur $]0\,;+\infty[$. Étudier ses variations et ses limites, puis en déduire que $\ln x \leqslant x - 1$ pour tout $x > 0$.
Correction. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}.$ Comme $x > 0$, le signe de $f'$ est celui de $x - 1$ : $f$ décroît sur $]0\,;1]$, croît sur $[1\,;+\infty[$, et admet un minimum en $1$ valant $f(1) = 1 - \ln 1 = 1.$
Limites. En $0^+$ : $x \to 0$ et $-\ln x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$. En $+\infty$ : forme $\infty - \infty$ ; on factorise par $x$ : $f(x) = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right).$ Par croissance comparée, $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$ et $f(x) \to +\infty$.
L'inégalité. Le minimum de $f$ vaut $1$, donc pour tout $x > 0$ : $x - \ln x \geqslant 1, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \ln x \leqslant x - 1.$
Remarque. C'est l'inégalité $e^X \geqslant X + 1$ du chapitre 7, lue « de l'autre côté du miroir » : en posant $x = e^X$, les deux énoncés sont équivalents. Le cas d'égalité est $x = 1$.
Exercice 5 — Croissance comparée
Déterminer les limites suivantes. a. $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x^2}$ b. $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\ln x$ c. $\lim\limits_{x\to+\infty} \big(x - \ln x\big)$ d. $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt x}$
Correction. a. Croissance comparée directe : $0$. b. Croissance comparée : $0$. c. Vu à l'exercice 4 : $+\infty$. d. Posons $t = \sqrt x$, donc $x = t^2$ et $\ln x = 2\ln t$. Alors $\frac{\ln x}{\sqrt x} = \frac{2\ln t}{t} \xrightarrow[t\to+\infty]{} 0.$
À retenir
La définition et l'équivalence maîtresse $y = \ln x \iff x = e^y \quad (x > 0), \qquad\qquad e^a = b \iff a = \ln b \quad (b>0).$
Les propriétés algébriques $\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac ab = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n\ln a, \quad \ln\sqrt a = \tfrac12 \ln a.$ Et jamais $\ln(a+b) = \ln a + \ln b$.
L'étude $\ln'(x) = \frac1x > 0, \qquad \big(\ln u\big)' = \frac{u'}{u}, \qquad \lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty.$
Les croissances comparées $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x^n\ln x = 0, \qquad\text{en résumé : } \ln x \ll x^n \ll e^x.$
Les deux réflexes de rédaction
- Toujours commencer par le domaine : $\ln(u)$ exige $u > 0$, et les solutions hors domaine sont à rejeter.
- Diviser par $\ln q$ avec $0 < q < 1$ inverse l'inégalité, car $\ln q < 0$.
Chapitre suivant : les fonctions sinus et cosinus, dernières fonctions de référence du programme.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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