Mathématiques — Terminale
Primitives et équations différentielles — Maths Terminale (chapitre 11)
Primitives des fonctions de référence, équations différentielles y' = ay et y' = ay + b en Terminale spé maths. Démonstrations exigibles, méthodes et…
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Primitives et équations différentielles
Chapitre 11 — Analyse · Terminale, spécialité mathématiques
Depuis la première, on part d'une fonction pour calculer sa dérivée. Ce chapitre pose la question inverse : connaissant $f'$, peut-on retrouver $f$ ? C'est ce que fait une primitive. L'enjeu dépasse largement le calcul : les lois de la physique s'écrivent presque toutes comme des relations entre une grandeur et sa vitesse de variation — une équation différentielle. Savoir les résoudre, c'est savoir prédire une désintégration radioactive, un refroidissement ou la charge d'un condensateur.
Au programme officiel. Équation différentielle $y' = f$ ; notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle ; primitives des fonctions de référence ; équation différentielle $y' = ay$ et allure des courbes ; équation différentielle $y' = ay + b$.
Deux démonstrations sont exigibles : deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante, et la résolution de $y' = ay$.
1. Primitives
Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x) = f(x) \qquad \text{pour tout } x \in I.$
Exemple. $F(x) = x^3$ est une primitive de $f(x) = 3x^2$ sur $\mathbb{R}$, puisque $F' = f$. Mais $x^3 + 7$ en est une autre, et $x^3 - \sqrt2$ également.
Théorème (admis). Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.
L'existence n'est pas la formule. Ce théorème garantit que des primitives existent ; il ne dit pas qu'on sache les écrire. La fonction $x \mapsto e^{-x^2}$, continue sur $\mathbb{R}$, admet des primitives — mais aucune ne s'exprime à l'aide des fonctions usuelles.
La démonstration exigible
Théorème. Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions
$x \mapsto F(x) + k, \qquad k \in \mathbb{R}.$
Autrement dit, deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Démonstration. Elle comporte deux sens.
Sens 1. Si $G(x) = F(x) + k$, alors $G$ est dérivable et $G'(x) = F'(x) + 0 = f(x)$ : $G$ est bien une primitive de $f$.
Sens 2. Réciproquement, soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Posons $H = G - F.$ La fonction $H$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x \in I$ : $H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0.$
Or une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle y est constante. Il existe donc un réel $k$ tel que $H(x) = k$ pour tout $x$ de $I$, c'est-à-dire $G(x) = F(x) + k. \qquad \blacksquare$
L'hypothèse « sur un intervalle » est essentielle. Sur un ensemble formé de deux intervalles disjoints, une fonction de dérivée nulle peut prendre une constante différente sur chaque morceau. C'est pourquoi on cherche toujours les primitives sur un intervalle, et pourquoi $\dfrac1x$ se traite séparément sur $]0;+\infty[$ et sur $]-\infty;0[$.
Toutes les primitives d'une même fonction se déduisent l'une de l'autre par translation verticale : en un $x$ donné, elles ont exactement la même tangente.
Conséquence pratique. Il existe une unique primitive prenant une valeur imposée en un point : la condition $F(x_0) = y_0$ détermine $k$.
2. Primitives des fonctions de référence
On lit à l'envers le tableau des dérivées. Ci-dessous, $k$ désigne une constante réelle quelconque.
| $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Sur |
|---|---|---|
| $a$ (constante) | $ax$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$, $n \geqslant 0$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x^n}$, $n \geqslant 2$ | $\dfrac{-1}{(n-1)x^{n-1}}$ | $]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$ |
| $\dfrac1x$ | $\ln x$ | $]0\,;+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt x}$ | $2\sqrt x$ | $]0\,;+\infty[$ |
Formes composées — c'est là que se joue la difficulté réelle :
| $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | ||
|---|---|---|---|
| $u' u^n$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ | ||
| $\dfrac{u'}{u}$ | $\ln | u | $ (ou $\ln u$ si $u>0$) |
| $u' e^{u}$ | $e^{u}$ | ||
| $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ | $2\sqrt u$ | ||
| $u'\cos(u)$ | $\sin(u)$ | ||
| $u'\sin(u)$ | $-\cos(u)$ |
La méthode qui ne trompe pas. Devant une primitive à trouver, on repère un $u$ candidat, on calcule $u'$, et on regarde si l'expression contient déjà ce $u'$ — quitte à ajuster par une constante multiplicative. Et à la fin, on dérive le résultat pour vérifier : c'est la seule vérification qui vaille, et elle prend dix secondes.
3. Équations différentielles
Définition. Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui relie cette fonction à ses dérivées. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient.
Exemple. L'équation $y' = f$ demande de trouver les fonctions dont la dérivée est $f$ : ses solutions sont exactement les primitives de $f$.
3.1 L'équation $y' = ay$ — démonstration exigible
Théorème. Soit $a$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle
$y' = ay$
sont exactement les fonctions $x \mapsto C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.
Démonstration.
Sens 1 — ce sont bien des solutions. Si $f(x) = Ce^{ax}$, alors $f'(x) = C \times a e^{ax} = a f(x)$ ✓.
Sens 2 — il n'y en a pas d'autres. Soit $f$ une solution quelconque de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$. Introduisons la fonction $g(x) = f(x)\,e^{-ax}.$ Elle est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et $g'(x) = f'(x)e^{-ax} + f(x)\times(-a)e^{-ax} = e^{-ax}\big(f'(x) - a f(x)\big).$
Or $f$ est solution, donc $f'(x) = a f(x)$, et la parenthèse est nulle. Ainsi $g'(x) = 0$ pour tout $x$, et $g$ est constante sur $\mathbb{R}$ : il existe $C$ tel que $g(x) = C$, c'est-à-dire $f(x)e^{-ax} = C.$ Comme $e^{-ax} \neq 0$, on peut multiplier par $e^{ax}$ : $f(x) = Ce^{ax}. \qquad \blacksquare$
L'astuce à retenir est l'introduction de $g = f e^{-ax}$. Elle sert à transformer l'hypothèse « $f' = af$ » en « $g' = 0$ », c'est-à-dire à ramener une équation différentielle à une simple constante. C'est le même geste que dans la démonstration du chapitre 7, où l'on introduisait l'écart à la tangente.
Le signe de $a$ décide de tout : croissance explosive si $a > 0$, décroissance vers zéro si $a < 0$. La constante $C$ ne fait que choisir une courbe dans le faisceau.
Condition initiale. L'équation $y' = ay$ a une infinité de solutions ; une condition initiale $y(x_0) = y_0$ en sélectionne une seule, en fixant $C$.
3.2 L'équation $y' = ay + b$
Théorème. Soient $a \neq 0$ et $b$ deux réels. Les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions
$x \mapsto Ce^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \mathbb{R}.$
Justification (c'est la méthode attendue).
Étape 1 — chercher une solution constante. Si $y$ est la fonction constante égale à $\lambda$, alors $y' = 0$, et l'équation devient $0 = a\lambda + b$, d'où $\lambda = -\frac{b}{a} \qquad (\text{possible car } a \neq 0).$
Étape 2 — se ramener au cas homogène. Soit $f$ une solution quelconque et posons $g = f - \lambda$. Alors $g' = f'$ et $g' = f' = af + b = a(g + \lambda) + b = ag + \underbrace{(a\lambda + b)}_{=\,0} = ag.$ Donc $g$ est solution de $y' = ay$, ce qui donne $g(x) = Ce^{ax}$ d'après le théorème précédent, puis $f(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}. \qquad \blacksquare$
Le réflexe. Devant $y' = ay + b$ : on cherche d'abord la solution constante $\lambda = -\dfrac{b}{a}$, puis on ajoute la solution générale $Ce^{ax}$ de l'équation sans second membre. La constante $-\dfrac{b}{a}$ est aussi la limite de toutes les solutions quand $a < 0$ : c'est l'état d'équilibre du système.
Cas $y' = ay + f$. Si l'énoncé fournit une solution particulière $h$, la même méthode s'applique : les solutions sont $h(x) + Ce^{ax}$. On ne demande jamais de trouver $h$ soi-même.
4. Modéliser
Loi de refroidissement de Newton. La vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à l'écart entre sa température $T$ et celle du milieu, $T_{\text{amb}}$ : $T'(t) = -k\big(T(t) - T_{\text{amb}}\big) = -kT(t) + kT_{\text{amb}},$ qui est exactement une équation $y' = ay + b$ avec $a = -k$ et $b = kT_{\text{amb}}$.
La solution constante $-\dfrac{b}{a} = T_{\text{amb}}$ est bien l'asymptote : la tasse finit à la température de la pièce, sans jamais descendre en dessous.
Décroissance radioactive. $N'(t) = -\lambda N(t)$ : le nombre de noyaux décroît proportionnellement à lui-même, d'où $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$. La demi-vie $t_{1/2}$ vérifie $e^{-\lambda t_{1/2}} = \tfrac12$, soit $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Primitives simples
Déterminer une primitive de : a. $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ b. $g(x) = \dfrac{2}{x}$ sur $]0;+\infty[$ c. $h(x) = 4e^{x} - \sin x$
Correction. a. $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x$. (Vérification : $F' = 3x^2 - 4x + 5$ ✓) b. $G(x) = 2\ln x$. c. $H(x) = 4e^x + \cos x$. (Attention au signe : une primitive de $-\sin$ est $+\cos$.)
Exercice 2 — Primitives de formes composées
Déterminer une primitive de : a. $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ b. $g(x) = \dfrac{3x^2}{x^3+1}$ sur $]-1;+\infty[$ c. $h(x) = (2x+1)(x^2+x)^4$
Correction. a. Avec $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$ : c'est $u'e^u$, donc $F(x) = e^{x^2}$. b. Avec $u(x) = x^3+1 > 0$ sur $]-1;+\infty[$, $u' = 3x^2$ : c'est $\dfrac{u'}{u}$, donc $G(x) = \ln(x^3+1)$. c. Avec $u(x) = x^2+x$, $u' = 2x+1$ : c'est $u'u^4$, donc $H(x) = \dfrac{(x^2+x)^5}{5}$.
Vérification de c : $H'(x) = \dfrac{5(x^2+x)^4 (2x+1)}{5} = (2x+1)(x^2+x)^4$ ✓.
Exercice 3 — Primitive avec condition
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 2x + 1$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1) = 5$.
Correction. Les primitives sont $F(x) = x^2 + x + k$. La condition donne $F(1) = 1 + 1 + k = 5 \iff k = 3.$ D'où $F(x) = x^2 + x + 3$. (Contrôle : $F(1) = 1+1+3 = 5$ ✓ et $F' = 2x+1$ ✓.)
Exercice 4 — Équation différentielle avec condition initiale
Résoudre $y' = 3y$ avec $y(0) = 4$.
Correction. Les solutions sont $y(x) = Ce^{3x}$. La condition initiale donne $y(0) = Ce^0 = C = 4$, d'où $y(x) = 4e^{3x}.$
Exercice 5 — Équation $y' = ay + b$
Résoudre $y' = -2y + 6$, puis déterminer la solution vérifiant $y(0) = 1$. Quelle est sa limite en $+\infty$ ?
Correction. Solution constante : $\lambda = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{-2} = 3$.
Solutions générales : $y(x) = Ce^{-2x} + 3$.
Condition initiale : $y(0) = C + 3 = 1$, donc $C = -2$ et $y(x) = -2e^{-2x} + 3.$
Limite : comme $-2 < 0$, on a $e^{-2x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc $\lim_{x\to+\infty} y(x) = 3.$ La solution tend vers la solution constante — l'état d'équilibre.
Vérification : $y'(x) = 4e^{-2x}$ et $-2y(x)+6 = 4e^{-2x} - 6 + 6 = 4e^{-2x}$ ✓.
Exercice 6 — Refroidissement
Un café à $90\,°\text{C}$ est posé dans une pièce à $20\,°\text{C}$. Sa température vérifie $T'(t) = -0{,}05\,\big(T(t) - 20\big)$, avec $t$ en minutes.
a. Exprimer $T(t)$. b. Au bout de combien de temps le café atteint-il $50\,°\text{C}$ ?
Correction. a. L'équation s'écrit $T' = -0{,}05\,T + 1$. La solution constante est $\lambda = -\dfrac{1}{-0{,}05} = 20$, d'où $T(t) = Ce^{-0{,}05t} + 20.$ La condition $T(0) = 90$ donne $C + 20 = 90$, soit $C = 70$ : $T(t) = 70e^{-0{,}05t} + 20.$
b. On résout $T(t) = 50$ : $70e^{-0{,}05t} + 20 = 50 \iff e^{-0{,}05t} = \frac{30}{70} = \frac37.$ En composant par $\ln$ : $-0{,}05\,t = \ln\!\left(\frac37\right) \iff t = \frac{\ln(3/7)}{-0{,}05} = \frac{\ln(7/3)}{0{,}05} \approx 16{,}95.$
Le café atteint $50\,°\text{C}$ au bout d'environ 17 minutes.
Contrôle : $T(16{,}946) = 70e^{-0{,}8473} + 20 \approx 70 \times 0{,}4286 + 20 = 50{,}0$ ✓.
À retenir
Primitives : la règle d'or $F' = f \quad\text{sur un INTERVALLE}, \qquad\text{et deux primitives diffèrent d'une constante.}$ Toujours vérifier en dérivant le résultat obtenu.
Les formes composées — les reconnaître, c'est tout le chapitre : $u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}, \qquad \frac{u'}{u} \to \ln|u|, \qquad u'e^u \to e^u, \qquad \frac{u'}{\sqrt u} \to 2\sqrt u.$
Les équations différentielles
| Équation | Solutions |
|---|---|
| $y' = f$ | les primitives de $f$ |
| $y' = ay$ | $y = Ce^{ax}$ |
| $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) | $y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ |
La méthode pour $y' = ay+b$ : solution constante $\lambda = -\dfrac ba$, puis $y = Ce^{ax} + \lambda$. Une condition initiale fixe $C$, et une seule.
La démonstration à savoir refaire : poser $g = f e^{-ax}$, montrer $g' = 0$, conclure.
Chapitre suivant : le calcul intégral, qui donnera enfin un sens géométrique aux primitives.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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