Mathématiques — Terminale
Sommes de variables aléatoires — Maths Terminale (chapitre 14)
Linéarité de l'espérance, variance d'une somme de variables indépendantes, espérance et variance de la loi binomiale, échantillon de taille n. Démonstration…
Par ProfBot
Sommes de variables aléatoires
Chapitre 14 — Probabilités · Terminale, spécialité mathématiques
Compter les succès d'un schéma de Bernoulli, c'est additionner des $0$ et des $1$. Cette remarque, presque triviale, permet de démontrer d'un trait les formules $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ admises au chapitre précédent — et elle ouvre sur la notion d'échantillon, qui est la base de toute la statistique.
Au programme officiel. Somme de deux variables aléatoires ; linéarité de l'espérance $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX) = aE(X)$ ; dans le cadre de la succession d'épreuves indépendantes, additivité de la variance $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ et relation $V(aX) = a^2V(X)$ ; application à l'espérance, la variance et l'écart type de la loi binomiale ; échantillon de taille $n$, espérance et variance de la somme $S_n$ et de la moyenne $M_n$.
Une démonstration est exigible : l'espérance et la variance de la loi binomiale.
1. Rappels sur une variable aléatoire
Pour une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $x_1, \dots, x_r$ avec les probabilités $p_1, \dots, p_r$ :
$E(X) = \sum_{i=1}^{r} p_i x_i, \qquad V(X) = \sum_{i=1}^{r} p_i \big(x_i - E(X)\big)^2 = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$
Interprétation. L'espérance est la valeur moyenne obtenue si l'on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. La variance mesure la dispersion autour de cette moyenne ; l'écart type la ramène à l'unité de $X$.
La variance n'est jamais négative : c'est une somme de carrés pondérés par des probabilités positives. Un résultat négatif signale toujours une erreur de calcul.
2. Somme de variables aléatoires
Définition. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur le même univers, $X + Y$ est la variable qui, à chaque issue, associe la somme des deux valeurs.
2.1 Linéarité de l'espérance
Théorème (admis). Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ et tout réel $a$ :
$E(X + Y) = E(X) + E(Y), \qquad E(aX) = a\,E(X), \qquad E(X + b) = E(X) + b.$
Ce théorème est exceptionnellement puissant parce qu'il ne demande aucune hypothèse d'indépendance. Quelles que soient les relations entre $X$ et $Y$ — même si $Y = -X$ —, les espérances s'additionnent.
2.2 Variance d'une somme
Théorème (admis). Si $X$ et $Y$ sont indépendantes :
$V(X + Y) = V(X) + V(Y).$
Et pour tout réel $a$, sans condition :
$V(aX) = a^2\,V(X), \qquad V(X + b) = V(X).$
Ici, l'indépendance est indispensable. Contre-exemple immédiat : prenons $Y = X$, qui n'est évidemment pas indépendante d'elle-même. Alors $X + Y = 2X$, donc
$V(X+Y) = V(2X) = 4V(X) \neq V(X) + V(X) = 2V(X)$
dès que $V(X) \neq 0$. L'additivité est bien fausse sans indépendance.
Noter aussi le carré dans $V(aX) = a^2V(X)$ : la variance s'exprime dans le carré de l'unité de $X$. Pour l'écart type, on a $\sigma(aX) = |a|\,\sigma(X)$.
Ajouter une constante ne change pas la dispersion : translater toutes les valeurs de $b$ déplace la moyenne mais laisse les écarts inchangés, d'où $V(X+b) = V(X)$.
3. La démonstration exigible : espérance et variance de la loi binomiale
Théorème. Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$, alors
$E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.$
Démonstration. L'idée est de décomposer $X$ en une somme de variables élémentaires.
Dans le schéma de Bernoulli, notons pour chaque $i$ de $1$ à $n$ : $X_i = \begin{cases} 1 & \text{si la } i\text{-ième épreuve est un succès} \\ 0 & \text{sinon.}\end{cases}$
Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, donc (chapitre 13) : $E(X_i) = p, \qquad V(X_i) = p(1-p).$
Or le nombre total de succès s'obtient en additionnant ces indicateurs : $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n.$
Espérance. Par linéarité de l'espérance — sans aucune hypothèse supplémentaire : $E(X) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = \underbrace{p + p + \cdots + p}_{n \text{ termes}} = np.$
Variance. Les épreuves d'un schéma de Bernoulli sont indépendantes, donc les variables $X_1, \dots, X_n$ le sont aussi. L'additivité de la variance s'applique : $V(X) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = \underbrace{p(1-p) + \cdots + p(1-p)}_{n \text{ termes}} = np(1-p).$
Écart type. Par définition, $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$. $\blacksquare$
Où sert l'indépendance ? Uniquement pour la variance. L'espérance $E(X) = np$ resterait vraie même si les épreuves étaient dépendantes — ce qui explique, par exemple, que l'espérance d'un tirage sans remise soit encore $np$, alors que sa variance, elle, diffère.
4. Échantillon d'une loi
Définition. Un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité est une liste $(X_1, \dots, X_n)$ de variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la même loi que celle étudiée.
On lui associe deux variables : $S_n = X_1 + \cdots + X_n \quad \text{(la somme)}, \qquad M_n = \frac{S_n}{n} \quad \text{(la moyenne)}.$
Théorème. Si chaque $X_i$ a pour espérance $\mu$ et pour variance $V$, alors
$E(S_n) = n\mu, \qquad V(S_n) = nV, \qquad \sigma(S_n) = \sqrt{n}\,\sigma,$
$E(M_n) = \mu, \qquad V(M_n) = \frac{V}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.$
Justification. Pour $S_n$, c'est le calcul du paragraphe 3, mené avec $\mu$ et $V$ au lieu de $p$ et $p(1-p)$.
Pour $M_n = \dfrac{1}{n}S_n$, on applique les relations sur le produit par une constante : $E(M_n) = \frac{1}{n}E(S_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu, \qquad V(M_n) = \frac{1}{n^2}V(S_n) = \frac{nV}{n^2} = \frac{V}{n}. \qquad \blacksquare$
Le résultat central de la statistique. $E(M_n) = \mu$ : la moyenne d'un échantillon vise juste, quelle que soit sa taille. Et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ : sa dispersion diminue quand $n$ augmente — mais en $\sqrt n$ seulement. Pour diviser l'incertitude par $2$, il faut multiplier la taille de l'échantillon par $4$ ; par $10$, il faut la multiplier par $100$. C'est pourquoi les sondages coûtent cher.
La distribution de $M_n$ pour $n = 10$, $50$ et $200$ : même centre, dispersion décroissante.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Linéarité
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 3$ et de variance $V(X) = 4$. Calculer $E(2X+5)$, $V(2X+5)$ et $\sigma(2X+5)$.
Correction. $E(2X+5) = 2E(X) + 5 = 2\times3 + 5 = 11.$ $V(2X+5) = V(2X) = 2^2 V(X) = 4 \times 4 = 16.$ $\sigma(2X+5) = \sqrt{16} = 4.$
(Ajouter $5$ décale la moyenne mais ne change rien à la dispersion.)
Exercice 2 — Deux dés
On lance deux dés équilibrés à six faces. Soit $S$ la somme des deux résultats. Calculer $E(S)$ et $V(S)$.
Correction. Soit $X_1$ et $X_2$ les résultats de chaque dé. Pour un dé équilibré : $E(X_1) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5.$ $E(X_1^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}, \qquad V(X_1) = \frac{91}{6} - (3{,}5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \approx 2{,}917.$
Comme $S = X_1 + X_2$, par linéarité : $E(S) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7.$ Les deux dés sont indépendants, donc $V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5{,}833.$
Contrôle : la somme la plus probable est bien $7$, et l'écart type $\sqrt{35/6} \approx 2{,}42$ est cohérent avec une somme s'étalant de $2$ à $12$. ✓
Exercice 3 — Loi binomiale
Une usine produit des composants avec $5\,\%$ de défauts. On en prélève $400$. Soit $X$ le nombre de composants défectueux.
a. Donner la loi de $X$, son espérance, sa variance et son écart type. b. Interpréter.
Correction. a. $X \sim \mathcal{B}(400\,;0{,}05)$, donc $E(X) = 400 \times 0{,}05 = 20, \qquad V(X) = 400 \times 0{,}05 \times 0{,}95 = 19, \qquad \sigma(X) = \sqrt{19} \approx 4{,}36.$
b. En moyenne, $20$ composants défectueux par lot de $400$, avec une fluctuation typique d'environ $\pm 4{,}4$. Observer $18$ ou $23$ défauts n'aurait donc rien d'anormal ; en observer $60$ serait un signal très fort qu'un réglage a changé.
Exercice 4 — Moyenne d'un échantillon
On mesure la taille de $100$ personnes prises au hasard dans une population où la taille moyenne est $\mu = 170$ cm et l'écart type $\sigma = 10$ cm. Soit $M_{100}$ la moyenne de l'échantillon.
Calculer $E(M_{100})$ et $\sigma(M_{100})$. Combien de personnes faudrait-il mesurer pour diviser cet écart type par $2$ ?
Correction. $E(M_{100}) = \mu = 170 \text{ cm}, \qquad \sigma(M_{100}) = \frac{\sigma}{\sqrt{100}} = \frac{10}{10} = 1 \text{ cm}.$
Pour obtenir $\sigma(M_n) = 0{,}5$ cm, il faut $\frac{10}{\sqrt n} = 0{,}5 \iff \sqrt n = 20 \iff n = 400.$
Il faut 400 personnes : quadrupler l'échantillon pour diviser l'incertitude par deux.
Exercice 5 — Décomposition astucieuse
Une urne contient $5$ boules numérotées de $1$ à $5$. On tire une boule au hasard, on note son numéro, on la remet ; on répète $20$ fois. Soit $T$ la somme des $20$ numéros obtenus. Calculer $E(T)$ et $V(T)$.
Correction. Chaque tirage $X_i$ suit la loi uniforme sur $\{1,2,3,4,5\}$ : $E(X_i) = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3, \qquad E(X_i^2) = \frac{1+4+9+16+25}{5} = 11, \qquad V(X_i) = 11 - 9 = 2.$
Les tirages se faisant avec remise, les $X_i$ sont indépendantes et $T = X_1 + \cdots + X_{20}$, d'où $E(T) = 20 \times 3 = 60, \qquad V(T) = 20 \times 2 = 40, \qquad \sigma(T) = \sqrt{40} \approx 6{,}32.$
Exercice 6 — Le piège de l'indépendance
Soit $X$ une variable aléatoire de variance $V(X) = 3$. Comparer $V(X + X)$ et $V(X) + V(X)$. Conclure.
Correction. $V(X + X) = V(2X) = 2^2 V(X) = 4 \times 3 = 12,$ tandis que $V(X) + V(X) = 3 + 3 = 6.$
Les deux résultats diffèrent. La formule $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ est donc fausse en général : elle exige l'indépendance de $X$ et $Y$, et une variable n'est jamais indépendante d'elle-même.
(Pour l'espérance, en revanche, $E(X+X) = E(2X) = 2E(X) = E(X)+E(X)$ : aucun problème, puisque la linéarité ne demande rien.)
À retenir
Les règles de calcul
| Espérance | Variance | |
|---|---|---|
| $X + Y$ | $E(X)+E(Y)$ — toujours | $V(X)+V(Y)$ — seulement si indépendantes |
| $aX$ | $a\,E(X)$ | $a^2\,V(X)$ |
| $X + b$ | $E(X)+b$ | $V(X)$ — inchangée |
La loi binomiale $E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)},$ démontrées en écrivant $X = X_1 + \cdots + X_n$, somme d'indicateurs de Bernoulli.
L'échantillon de taille $n$ $E(S_n) = n\mu, \quad V(S_n) = nV \qquad\qquad E(M_n) = \mu, \quad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.$
La règle du $\sqrt n$ : pour diviser l'incertitude par $2$, il faut multiplier l'échantillon par $4$.
Dernier chapitre : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres, qui donneront un sens quantitatif à tout ceci.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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