Mathématiques — Terminale
Limites de fonctions — Maths Terminale (chapitre 6)
Limites de fonctions en Terminale spé maths : limites en l'infini et en un point, asymptotes, opérations, formes indéterminées, croissances comparées.…
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Limites de fonctions
Chapitre 6 — Analyse · Terminale, spécialité mathématiques
Le chapitre précédent étudiait le comportement d'une suite quand $n$ grandit. On reprend la même question pour une fonction — avec une nouveauté : la variable étant réelle, elle peut aussi s'approcher d'un point sans l'atteindre. Cela donne les asymptotes verticales, et cela prépare la continuité, la dérivation et l'intégration des chapitres suivants.
Au programme officiel. Limite finie ou infinie d'une fonction en $+\infty$, en $-\infty$, en un point ; asymptote parallèle à un axe de coordonnées ; limites faisant intervenir les fonctions de référence de première (puissances entières, racine carrée, exponentielle) ; limites et comparaison ; opérations sur les limites.
Une démonstration est exigible : la croissance comparée de $x \mapsto x^n$ et de $\exp$ en $+\infty$.
1. Limites en l'infini
Limite finie. $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
Limite infinie. $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ signifie que tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
Les définitions en $-\infty$ sont analogues, avec « $x$ assez petit ».
Asymptote horizontale. Si $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, la droite d'équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$. La courbe s'en approche indéfiniment sans nécessairement l'atteindre — elle peut d'ailleurs la traverser une infinité de fois.
2. Limites en un point
Limite infinie en un point. $\lim\limits_{x\to a} f(x) = +\infty$ signifie que tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez proche de $a$ (sans être égal à $a$).
Asymptote verticale. Dans ce cas, la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à la courbe.
Limites à gauche et à droite. Il arrive que le comportement diffère selon le côté par lequel on approche $a$. On note alors $\lim_{\substack{x\to a \\ x < a}} f(x) \quad\text{(limite à gauche)}, \qquad \lim_{\substack{x\to a \\ x > a}} f(x) \quad\text{(limite à droite)}.$
Exemple fondamental. Pour $f(x) = \dfrac1x$ en $0$ : la limite à gauche est $-\infty$, la limite à droite est $+\infty$. La fonction n'a donc pas de limite en $0$, bien qu'elle en ait une de chaque côté.
Le réflexe du signe. Face à un quotient dont le dénominateur tend vers $0$, la question n'est jamais « la limite est-elle infinie ? » — elle l'est — mais de quel signe. Il faut étudier le signe du dénominateur au voisinage du point, à gauche puis à droite. C'est l'oubli le plus fréquent du chapitre.
La fonction $f(x) = 1 + \dfrac{3}{x-2}$ possède les deux types d'asymptotes parallèles aux axes.
3. Limites usuelles
À connaître sans hésitation :
$\lim_{x\to+\infty} x^n = +\infty \;(n \geqslant 1), \qquad \lim_{x\to+\infty} \sqrt{x} = +\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0,$
$\lim_{x\to-\infty} x^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } n \text{ est pair} \\ -\infty & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases} \qquad \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} e^x = 0.$
$\lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}} \frac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{\substack{x\to 0 \\ x<0}} \frac{1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty.$
4. Opérations et comparaison
Opérations. Somme, produit et quotient se comportent comme attendu, avec les mêmes quatre formes indéterminées que pour les suites : $\infty - \infty, \qquad 0 \times \infty, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \frac{0}{0}.$
Théorèmes de comparaison. Ils reprennent mot pour mot ceux du chapitre 5, la variable réelle remplaçant l'entier $n$ :
- si $f(x) \geqslant g(x)$ au voisinage de $+\infty$ et $\lim g = +\infty$, alors $\lim f = +\infty$ ;
- gendarmes : si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ au voisinage de $+\infty$ et si $g$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$.
5. Croissances comparées
### Démonstration exigible
Théorème. Pour tout entier naturel $n$ :
$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty.$
Autrement dit : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, aussi grande soit-elle.
Démonstration. Commençons par le cas $n = 1$ et montrons que $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$.
Étape 1 — une minoration de $e^x$. Considérons la fonction $\varphi$ définie sur $0\,;+\infty[$ par $\varphi(x) = e^x - \frac{x^2}{2}.$ Elle est dérivable, et $\varphi'(x) = e^x - x$. Or on a montré au [chapitre 5 que $e^x > x$ pour tout réel $x$ ; donc $\varphi'(x) > 0$ et $\varphi$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$. Comme $\varphi(0) = e^0 - 0 = 1 > 0$, on en déduit que $\varphi(x) > 0$ pour tout $x \geqslant 0$, c'est-à-dire $e^x > \frac{x^2}{2} \qquad \text{pour tout } x \geqslant 0.$
Étape 2 — conclusion pour $n = 1$. Pour $x > 0$, en divisant l'inégalité précédente par $x > 0$ : $\frac{e^x}{x} > \frac{x}{2}.$ Comme $\dfrac{x}{2} \to +\infty$ quand $x \to +\infty$, le théorème de comparaison donne $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty.$
Étape 3 — cas général. Soit $n \geqslant 1$. Écrivons, pour $x > 0$ : $\frac{e^x}{x^n} = \left( \frac{e^{x/n}}{x} \right)^{n} = \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{e^{X}}{X} \right)^{n} \qquad \text{en posant } X = \frac{x}{n}.$
En effet, $e^x = \left(e^{x/n}\right)^n$ et $x^n = \left(x\right)^n$, donc $\dfrac{e^x}{x^n} = \left(\dfrac{e^{x/n}}{x}\right)^n$ ; puis $x = nX$ donne $\dfrac{e^X}{nX} = \dfrac1n \cdot \dfrac{e^X}{X}$.
Quand $x \to +\infty$, on a $X \to +\infty$, donc $\dfrac{e^X}{X} \to +\infty$ d'après l'étape 2, et le facteur $\tfrac1n$ étant une constante strictement positive, la parenthèse tend vers $+\infty$. Sa puissance $n$-ième aussi : $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty. \qquad \blacksquare$
En échelle logarithmique, $e^x$ devient une droite tandis que les puissances s'incurvent : l'exponentielle finit toujours par passer au-dessus, et l'écart ne cesse ensuite de croître.
Les autres croissances comparées (conséquences directes, à connaître) : $\lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0, \qquad \lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}} x^n \ln x = 0.$
Les deux dernières seront démontrées au chapitre 9, avec la fonction logarithme.
6. Méthodes
Méthode 1 — Quotient de polynômes
En $\pm\infty$, factoriser numérateur et dénominateur par leur terme de plus haut degré.
Exemple. $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{2x^2 - x + 3}{x^2 + 5} = \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{2 - \frac1x + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} = 2$.
Attention. Ce raccourci (« on ne garde que les termes de plus haut degré ») n'est valable qu'en $\pm\infty$. En un point fini, il est faux.
Méthode 2 — Quotient dont le dénominateur s'annule
Étudier le signe du dénominateur de part et d'autre du point, puis conclure sur chaque côté séparément.
Exemple. Pour $f(x) = \dfrac{x+1}{x-3}$ en $3$ : le numérateur tend vers $4 > 0$. À droite de 3, $x - 3 > 0$, donc $f(x) \to +\infty$ ; à gauche, $x - 3 < 0$, donc $f(x) \to -\infty$.
Méthode 3 — Forme $\infty - \infty$ avec une racine
Multiplier par l'expression conjuguée.
Exemple. $\sqrt{x^2 + 1} - x = \dfrac{(x^2+1) - x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \xrightarrow[x\to+\infty]{} 0$.
Méthode 4 — Formes avec exponentielle
Faire apparaître une croissance comparée en factorisant par le terme dominant.
Exemple. $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(e^x - x^3\right) = \lim\limits_{x\to+\infty} e^x\left(1 - \dfrac{x^3}{e^x}\right)$. Comme $\dfrac{x^3}{e^x} \to 0$, la parenthèse tend vers $1$ et le produit vers $+\infty$.
7. Erreurs classiques
Conclure « $\dfrac{k}{0} = \infty$ » sans étudier le signe. Sans le signe, on ne sait pas si c'est $+\infty$ ou $-\infty$ — et souvent la fonction n'a pas de limite du tout au point considéré.
Appliquer le raccourci des degrés en un point fini. $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ en $1$ : les termes de plus haut degré ne servent à rien ici. Il faut factoriser : $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \to 2$.
Croire qu'une asymptote horizontale ne peut pas être franchie. Rien ne l'interdit. La courbe de $x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}$ traverse son asymptote $y = 0$ une infinité de fois.
Écrire $\lim f = \infty$ sans signe. En terminale, $+\infty$ et $-\infty$ sont deux limites différentes ; « $\infty$ » tout court n'est pas une réponse.
Confondre limite et valeur. $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ ne dépend pas de $f(a)$ — la fonction peut même ne pas être définie en $a$.
8. Exercices corrigés
Exercice 1 — Limites en l'infini
Déterminer les limites suivantes. a. $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{3x^2 + 2x}{x^2 - 1}$ b. $\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x+1}{x^2+1}$ c. $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(x^3 - 4x^2\right)$
Correction. a. Forme $\frac{\infty}{\infty}$. En factorisant par $x^2$ : $\dfrac{3 + \frac2x}{1 - \frac{1}{x^2}} \to \dfrac{3}{1} = 3$. b. Le degré du dénominateur l'emporte : $\dfrac{x\left(1 + \frac1x\right)}{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1 + \frac1x}{1 + \frac{1}{x^2}} \to 0$. c. Forme $\infty - \infty$. On factorise : $x^3\left(1 - \dfrac{4}{x}\right)$. Le premier facteur tend vers $+\infty$, la parenthèse vers $1$, donc la limite est $+\infty$.
Exercice 2 — Asymptote verticale
Soit $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$. Déterminer les limites de $f$ en $-3$ (à gauche et à droite), puis en $\pm\infty$. En déduire les asymptotes.
Correction. En $-3$, le numérateur tend vers $2(-3) - 1 = -7 < 0$.
- À droite de $-3$ : $x + 3 > 0$, donc le quotient est négatif et $\lim\limits_{x\to-3^+} f(x) = -\infty$.
- À gauche : $x + 3 < 0$, donc le quotient est positif et $\lim\limits_{x\to-3^-} f(x) = +\infty$.
La droite $x = -3$ est asymptote verticale.
En $\pm\infty$ : $\dfrac{2 - \frac1x}{1 + \frac3x} \to 2$. La droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.
Exercice 3 — Gendarmes
Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{2x + \sin x}{x}$.
Correction. Pour tout $x > 0$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$, donc $\frac{2x - 1}{x} \leqslant \frac{2x + \sin x}{x} \leqslant \frac{2x + 1}{x},$ c'est-à-dire $2 - \dfrac1x \leqslant f(x) \leqslant 2 + \dfrac1x$. Les deux bornes tendent vers $2$ : par le théorème des gendarmes, la limite vaut $2$.
Exercice 4 — Croissances comparées
Déterminer les limites suivantes. a. $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^4}$ b. $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{e^x}$ c. $\lim\limits_{x\to-\infty} x^2 e^x$ d. $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(e^x - x^{10}\right)$
Correction. a. C'est exactement le théorème avec $n = 4$ : la limite est $+\infty$. b. C'est l'inverse de la précédente (avec $n=2$) : la limite est $0$. c. Posons $X = -x$, de sorte que $X \to +\infty$ : $x^2 e^x = X^2 e^{-X} = \dfrac{X^2}{e^X} \to 0$. d. On factorise par $e^x$ : $e^x\left(1 - \dfrac{x^{10}}{e^x}\right)$. Par croissance comparée, $\dfrac{x^{10}}{e^x} \to 0$, donc la parenthèse tend vers 1 et le produit vers $+\infty$.
Exercice 5 — Un cas où il faut factoriser d'abord
Déterminer $\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$.
Correction. Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $0$ : forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Comme $2$ annule les deux, chacun se factorise par $(x-2)$ : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2), \qquad x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1).$ Pour $x \neq 2$, on simplifie : $\frac{x^2-4}{x^2-3x+2} = \frac{x+2}{x-1} \xrightarrow[x\to 2]{} \frac{4}{1} = 4.$
Exercice 6 — Étude complète
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$, et interpréter graphiquement.
Correction. En $-\infty$ : $e^x \to 0$, donc le numérateur tend vers $0$ et le dénominateur vers $1$. D'où $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 0$, et la droite $y = 0$ est asymptote horizontale.
En $+\infty$ : forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par $e^x$ : $f(x) = \frac{e^x}{e^x\left(1 + e^{-x}\right)} = \frac{1}{1 + e^{-x}}.$ Comme $e^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, on obtient $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 1$, et la droite $y = 1$ est asymptote horizontale.
Remarque. On note au passage que $0 < f(x) < 1$ pour tout $x$ : la courbe reste strictement comprise entre ses deux asymptotes. Cette fonction est la fonction « logistique », très utilisée pour modéliser une saturation.
À retenir
Les asymptotes parallèles aux axes
| Limite | Asymptote |
|---|---|
| $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) = \ell$ | horizontale $y = \ell$ |
| $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ | verticale $x = a$ |
Les croissances comparées — l'exponentielle écrase toute puissance : $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0.$
Les quatre gestes qui lèvent presque toutes les indéterminations
- factoriser par le terme de plus haut degré (en $\pm\infty$) ;
- factoriser par $(x-a)$ quand $a$ annule numérateur et dénominateur ;
- multiplier par la quantité conjuguée (racines) ;
- factoriser par $e^x$ et invoquer une croissance comparée.
Le réflexe du signe : dénominateur qui tend vers $0$ $\Rightarrow$ étudier son signe à gauche puis à droite.
Chapitre suivant : les compléments sur la dérivation, avec la dérivée d'une composée et la convexité.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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