Mathématiques — Terminale
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Maths Terminale (chapitre 4)
Représentation paramétrique d'une droite, équation cartésienne d'un plan, intersections et projeté orthogonal en coordonnées : cours complet de Terminale…
Par ProfBot
Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Chapitre 4 — Algèbre et géométrie · Terminale, spécialité mathématiques
Les deux chapitres précédents ont décrit droites et plans avec des vecteurs. Celui-ci les traduit en équations. Le gain est considérable : une question de géométrie (« ces droites se coupent-elles ? », « quelle est la distance de ce point à ce plan ? ») devient un système d'équations que l'on résout mécaniquement, sans avoir à visualiser la figure.
Au programme officiel. Représentation paramétrique d'une droite ; équation cartésienne d'un plan. Les capacités attendues portent sur la détermination et la reconnaissance de ces écritures, le calcul de projetés orthogonaux, et la traduction en systèmes linéaires des problèmes d'alignement, de coplanarité, d'intersection et d'orthogonalité.
Une démonstration est exigible : l'équation cartésienne du plan passant par un point $A$ et normal à un vecteur $\vec{n}$.
Dans tout le chapitre, l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
1. Représentation paramétrique d'une droite
Théorème. Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par $A\,(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\,(a\,;b\,;c)$, avec $\vec{u} \neq \vec{0}$. Un point $M\,(x\,;y\,;z)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\begin{cases} x = x_A + a\,t \\ y = y_A + b\,t \\ z = z_A + c\,t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}.$
Ce système est une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$, et $t$ en est le paramètre.
Justification. Par le chapitre 2, $M \in \mathcal{D} \iff \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$ pour un certain réel $t$. En écrivant cette égalité vectorielle coordonnée par coordonnée, on obtient exactement le système. $\blacksquare$
Chaque valeur de $t$ donne un point, et un seul ; quand $t$ parcourt $\mathbb{R}$, le point parcourt toute la droite.
Une droite a une infinité de représentations paramétriques. Changer de point de départ sur la droite, ou multiplier le vecteur directeur par un réel non nul, donne un autre système décrivant la même droite. Deux systèmes d'apparence très différente peuvent donc représenter la même droite — c'est un point que les exercices exploitent volontiers.
Lecture d'une représentation paramétrique. Dans un système donné, les coefficients du paramètre forment un vecteur directeur, et les termes constants donnent un point (celui obtenu pour $t = 0$).
2. Équation cartésienne d'un plan
### Démonstration exigible
Théorème. Soit $A\,(x_A\,;y_A\,;z_A)$ un point et $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$ un vecteur non nul. Le plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l'ensemble des points $M\,(x\,;y\,;z)$ vérifiant
$ax + by + cz + d = 0, \qquad \text{où } d = -(a x_A + b y_A + c z_A).$
Réciproquement, toute équation de cette forme, avec $(a,b,c) \neq (0,0,0)$, est celle d'un plan de vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$.
Démonstration. Par définition du vecteur normal (chapitre 3), un point $M$ appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0.$
Le repère étant orthonormé, le produit scalaire s'exprime en coordonnées. Comme $\overrightarrow{AM}\,(x - x_A\,;\, y - y_A\,;\, z - z_A)$ : $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n} = a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A).$
L'appartenance à $\mathcal{P}$ équivaut donc à $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0,$ c'est-à-dire, en développant, $ax + by + cz \underbrace{- (a x_A + b y_A + c z_A)}_{= \, d} = 0.$
Réciproque. Soit une équation $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a,b,c) \neq (0,0,0)$. Cette équation admet au moins une solution : si par exemple $a \neq 0$, le point $A_0\left(-\tfrac{d}{a}\,;0\,;0\right)$ convient. Pour tout point $M$, la même transformation que ci-dessus montre que l'équation équivaut à $\overrightarrow{A_0M}\cdot\vec{n} = 0$ : l'ensemble des solutions est bien le plan passant par $A_0$ et normal à $\vec{n}$. $\blacksquare$
Le réflexe à installer. Dans l'équation d'un plan, les coefficients de $x$, $y$ et $z$ sont les coordonnées d'un vecteur normal. On lit un vecteur normal sans aucun calcul : le plan $2x - y + 3z - 5 = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}\,(2\,;-1\,;3)$. C'est l'information la plus utile du chapitre.
Cas particuliers utiles. $z = 0$ est l'équation du plan $(Oxy)$, de vecteur normal $\vec{k}$ ; $x = 0$ celle de $(Oyz)$ ; $y = 0$ celle de $(Oxz)$. Un plan d'équation $z = h$ est parallèle à $(Oxy)$.
3. Positions relatives, en coordonnées
3.1 Deux plans
Soient $\mathcal{P} : ax+by+cz+d = 0$ et $\mathcal{P}' : a'x+b'y+c'z+d' = 0$, de vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n}'$.
- Si $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ ne sont pas colinéaires : les plans sont sécants, et leur intersection est une droite.
- Si $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont colinéaires : les plans sont parallèles — confondus si les équations sont proportionnelles dans leur totalité (constante comprise), strictement parallèles sinon.
Orthogonalité de deux plans : $\mathcal{P} \perp \mathcal{P}' \iff \vec{n}\cdot\vec{n}' = 0$.
3.2 Une droite et un plan
Soit $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{n}$.
- Si $\vec{u}\cdot\vec{n} \neq 0$ : la droite est sécante au plan, en un unique point.
- Si $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$ : la droite est parallèle au plan — incluse si un point de $\mathcal{D}$ vérifie l'équation de $\mathcal{P}$, strictement parallèle sinon.
La droite est orthogonale au plan si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.
Méthode d'intersection. On remplace $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique dans l'équation du plan. On obtient une équation à une inconnue $t$ :
- une solution unique $\Rightarrow$ droite sécante, et $t$ donne le point ;
- aucune solution (du type $3 = 0$) $\Rightarrow$ droite strictement parallèle ;
- une infinité (du type $0 = 0$) $\Rightarrow$ droite incluse dans le plan.
3.3 Deux droites
On écrit les deux représentations paramétriques avec des paramètres différents — $t$ pour l'une, $s$ pour l'autre —, puis on résout le système de trois équations à deux inconnues obtenu en égalant les coordonnées. C'est la même logique qu'au chapitre 2 : deux équations donnent $t$ et $s$, la troisième décide.
L'erreur à ne pas commettre. Utiliser le même nom de paramètre pour les deux droites revient à exiger qu'elles atteignent leur point commun « au même instant ». On conclurait à tort que des droites sécantes ne le sont pas.
4. Projeté orthogonal et distance, en coordonnées
Projeté d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P} : ax+by+cz+d = 0$.
- La droite passant par $M$ et orthogonale à $\mathcal{P}$ a pour vecteur directeur $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$ ; on écrit sa représentation paramétrique.
- On injecte dans l'équation du plan et on résout en $t$.
- La valeur de $t$ donne le projeté $H$, et $MH = |t| \times \|\vec{n}\|$ est la distance cherchée.
Projeté d'un point $M$ sur une droite $\mathcal{D}$ de point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$. Le projeté $H$ vérifie $H \in \mathcal{D}$, donc $H = A + t\vec{u}$, et $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$. Cette dernière condition donne une équation du premier degré en $t$.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Écrire et lire
a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ passant par $A(2\,;-1\,;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\,(1\,;4\,;-2)$. b. La droite $\mathcal{D}'$ est donnée par $\begin{cases} x = 4 + 2t \\ y = 7 + 8t \\ z = -1 - 4t \end{cases}$. Que peut-on dire de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ?
Correction. a. $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 4t \\ z = 3 - 2t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.
b. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}'$ est $\vec{u}'\,(2\,;8\,;-4) = 2\,\vec{u}$ : les droites sont parallèles. Le point $B(4\,;7\,;-1)$ de $\mathcal{D}'$ appartient-il à $\mathcal{D}$ ? Il faudrait $2 + t = 4$, donc $t = 2$ ; on vérifie alors $y = -1 + 8 = 7$ ✓ et $z = 3 - 4 = -1$ ✓. Le point convient : les droites sont confondues.
Exercice 2 — Équation d'un plan
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1\,;2\,;-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}\,(3\,;-1\,;2)$. Le point $B(0\,;1\,;1)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?
Correction. L'équation est de la forme $3x - y + 2z + d = 0$. Le point $A$ y appartient : $3(1) - 2 + 2(-1) + d = 0 \iff 3 - 2 - 2 + d = 0 \iff d = 1.$ D'où $\mathcal{P} : 3x - y + 2z + 1 = 0$.
Pour $B(0;1;1)$ : $3(0) - 1 + 2(1) + 1 = 2 \neq 0$. $B$ n'appartient pas à $\mathcal{P}$.
Exercice 3 — Plan défini par trois points
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$ et $C(0\,;0\,;3)$.
Correction. Méthode générale : chercher $\vec{n}\,(a;b;c)$ orthogonal à $\overrightarrow{AB}\,(-1;2;0)$ et à $\overrightarrow{AC}\,(-1;0;3)$. $\begin{cases} -a + 2b = 0 \\ -a + 3c = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 2b \\ a = 3c \end{cases}$ Prenons $a = 6$ : alors $b = 3$ et $c = 2$, soit $\vec{n}\,(6\,;3\,;2)$. L'équation est $6x + 3y + 2z + d = 0$, et $A$ donne $6 + d = 0$, donc $d = -6$ : $\mathcal{P} : 6x + 3y + 2z - 6 = 0.$
Vérification sur les deux autres points : $B$ donne $3 \times 2 - 6 = 0$ ✓ ; $C$ donne $2 \times 3 - 6 = 0$ ✓.
Exercice 4 — Intersection d'une droite et d'un plan
Soit $\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 3 + t \end{cases}$ et $\mathcal{P} : x + y - 2z + 4 = 0$. Déterminer $\mathcal{D} \cap \mathcal{P}$.
Correction. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\,(2\,;-1\,;1)$ et un vecteur normal de $\mathcal{P}$ est $\vec{n}\,(1\,;1\,;-2)$. Comme $\vec{u}\cdot\vec{n} = 2 - 1 - 2 = -1 \neq 0,$ la droite est sécante au plan. On injecte : $(1 + 2t) + (-t) - 2(3 + t) + 4 = 0 \iff 1 + 2t - t - 6 - 2t + 4 = 0 \iff -t - 1 = 0 \iff t = -1.$ D'où le point d'intersection $I(1 - 2\,;\,1\,;\,3 - 1) = I(-1\,;1\,;2)$.
Vérification : $-1 + 1 - 4 + 4 = 0$ ✓, $I$ est bien dans le plan.
Exercice 5 — Distance d'un point à un plan
Calculer la distance du point $M(3\,;1\,;-2)$ au plan $\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 3 = 0$.
Correction. Un vecteur normal est $\vec{n}\,(2\,;-1\,;2)$, de norme $\|\vec{n}\| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.
La droite orthogonale à $\mathcal{P}$ passant par $M$ est $\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = -2 + 2t \end{cases}$. On injecte dans l'équation : $2(3 + 2t) - (1 - t) + 2(-2 + 2t) - 3 = 0 \iff 6 + 4t - 1 + t - 4 + 4t - 3 = 0 \iff 9t - 2 = 0 \iff t = \frac{2}{9}.$
Le projeté est $H\left(3 + \tfrac49\,;\,1 - \tfrac29\,;\,-2 + \tfrac49\right) = H\left(\tfrac{31}{9}\,;\,\tfrac{7}{9}\,;\,-\tfrac{14}{9}\right)$, et $MH = |t| \times \|\vec{n}\| = \frac{2}{9} \times 3 = \frac{2}{3}.$
Contrôle par la formule directe (hors programme mais commode pour vérifier) : $\dfrac{|2(3) - 1 + 2(-2) - 3|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{|6 - 1 - 4 - 3|}{3} = \dfrac{2}{3}$ ✓.
Exercice 6 — Deux droites de l'espace
Les droites $\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{cases}$ et $\mathcal{D}' : \begin{cases} x = 2 + 2s \\ y = 1 + s \\ z = 1 - s \end{cases}$ sont-elles sécantes ?
Correction. Les vecteurs directeurs $\vec{u}\,(1;-1;1)$ et $\vec{u}'\,(2;1;-1)$ ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles. Cherchons un point commun en égalant les coordonnées — avec deux paramètres distincts : $\begin{cases} 1 + t = 2 + 2s \\ 2 - t = 1 + s \\ t = 1 - s \end{cases}$
De la troisième équation, $t = 1 - s$. En reportant dans la deuxième : $2 - (1 - s) = 1 + s$, soit $1 + s = 1 + s$ — toujours vraie, elle n'apporte rien. On utilise donc la première : $1 + (1 - s) = 2 + 2s$, soit $2 - s = 2 + 2s$, d'où $3s = 0$ et $s = 0$, puis $t = 1$.
Vérification dans les trois équations avec $s = 0$ et $t = 1$ : $1 + 1 = 2$ ✓, $2 - 1 = 1$ ✓, $1 = 1$ ✓.
Les droites sont sécantes, au point obtenu pour $t = 1$ : $I(2\,;1\,;1)$.
À retenir
Les deux écritures
$\text{Droite : } \begin{cases} x = x_A + a t \\ y = y_A + b t \\ z = z_A + c t \end{cases} \qquad\qquad \text{Plan : } ax + by + cz + d = 0$
Dans la première, $(a;b;c)$ est un vecteur directeur. Dans la seconde, $(a;b;c)$ est un vecteur normal. C'est la source d'erreur numéro un du chapitre : le même triplet ne joue pas le même rôle.
Les tests, tous ramenés à deux calculs
| Question | Test |
|---|---|
| Droite ∥ plan ? | $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$ |
| Droite ⊥ plan ? | $\vec{u}$ et $\vec{n}$ colinéaires |
| Deux plans ∥ ? | $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ colinéaires |
| Deux plans ⊥ ? | $\vec{n}\cdot\vec{n}' = 0$ |
La méthode universelle d'intersection. Injecter le paramétrage dans l'équation : on tombe toujours sur une équation à une inconnue. Sa nature (une solution, aucune, une infinité) donne directement la position relative.
Fin de la partie « Algèbre et géométrie ». Le chapitre suivant ouvre l'analyse avec les suites et leurs limites.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
← Chapitre 3 · Orthogonalité et distances dans l'espace | Chapitre 5 · Suites et limites →