Mathématiques — Terminale
Calcul intégral — Maths Terminale (chapitre 12)
Intégrale d'une fonction continue, lien avec les primitives, linéarité, relation de Chasles, valeur moyenne, aire entre deux courbes et intégration par…
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Calcul intégral
Chapitre 12 — Analyse · Terminale, spécialité mathématiques
Comment mesurer l'aire d'une surface dont un bord est courbe ? La question est vieille de vingt-trois siècles — Archimède la résolvait déjà pour la parabole. La réponse moderne tient dans un théorème stupéfiant : calculer une aire revient à chercher une primitive. Deux problèmes sans lien apparent, l'un géométrique et l'autre analytique, se révèlent être le même. C'est le résultat central de ce chapitre, et l'un des plus importants de toutes les mathématiques.
Au programme officiel. Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive sur $[a\,;b]$ comme aire sous la courbe ; théorème donnant $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ comme primitive de $f$ s'annulant en $a$ ; relation $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ ; extension aux fonctions de signe quelconque ; linéarité, positivité, intégration des inégalités, relation de Chasles ; valeur moyenne ; intégration par parties.
Deux démonstrations sont exigibles : pour une fonction positive croissante, $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est une primitive de $f$ (et la relation qui en découle) ; et l'intégration par parties.
1. Définition : l'aire sous la courbe
Unité d'aire. Dans un repère orthogonal $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})$, l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle construit sur $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$.
Définition. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a\,;b]$. L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$, notée $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x,$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.
La variable est muette. $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ et $\int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u$ désignent le même nombre. La lettre choisie disparaît dans le calcul ; seules comptent les bornes $a$ et $b$ et la fonction $f$.
2. Le théorème fondamental
### Démonstration exigible
Théorème. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a\,;b]$. La fonction $A$ définie sur $[a\,;b]$ par
$A(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$
est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ : elle est dérivable et $A' = f$.
Démonstration dans le cas où $f$ est de plus croissante (c'est le cas exigé par le programme).
Soit $x \in [a\,;b[$ et $h > 0$ tel que $x + h \in [a\,;b]$. Par la relation de Chasles (paragraphe 4), la différence $A(x+h) - A(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\mathrm{d}t$ est l'aire de la bande verticale comprise entre les abscisses $x$ et $x+h$.
Comme $f$ est croissante sur $[x\,;x+h]$, on a $f(x) \leqslant f(t) \leqslant f(x+h)$ pour tout $t$ de cet intervalle. Cette bande contient donc le rectangle de base $h$ et de hauteur $f(x)$, et elle est contenue dans le rectangle de base $h$ et de hauteur $f(x+h)$ : $h\,f(x) \;\leqslant\; A(x+h) - A(x) \;\leqslant\; h\,f(x+h).$
En divisant par $h > 0$ : $f(x) \;\leqslant\; \frac{A(x+h) - A(x)}{h} \;\leqslant\; f(x+h).$
Or $f$ est continue en $x$, donc $f(x+h) \to f(x)$ quand $h \to 0$. Les deux bornes de l'encadrement tendent vers $f(x)$ : par le théorème des gendarmes, $\lim_{h\to 0} \frac{A(x+h) - A(x)}{h} = f(x).$
Ce quotient est le taux d'accroissement de $A$ en $x$ : sa limite étant $f(x)$, la fonction $A$ est dérivable en $x$ et $A'(x) = f(x)$.
Enfin $A(a) = \int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0$ (aire d'un domaine réduit à un segment). $\blacksquare$
(Le cas $h < 0$ se traite de la même façon, en échangeant les rôles des deux bornes.)
Corollaire — la formule qui sert partout. Si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a\,;b]$, alors
$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a),$
quantité que l'on note $\big[F(x)\big]_a^b$.
Justification. $A$ et $F$ sont deux primitives de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$ : d'après le chapitre 11, elles diffèrent d'une constante, $F = A + k$. Alors $F(b) - F(a) = \big(A(b)+k\big) - \big(A(a)+k\big) = A(b) - A(a) = A(b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x. \;\blacksquare$
On peut donc prendre n'importe quelle primitive : la constante s'élimine dans la soustraction. C'est pourquoi on écrit toujours la plus simple.
3. Extension aux fonctions de signe quelconque
Définition. Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$, de signe quelconque, on définit $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a),$ où $F$ est une primitive quelconque de $f$.
Interprétation. L'intégrale n'est plus une aire, mais une aire algébrique : les portions situées au-dessus de l'axe comptent positivement, celles situées en dessous comptent négativement.
Aire ≠ intégrale. Si l'énoncé demande une aire, il faut découper l'intervalle aux points où $f$ change de signe et prendre les valeurs absolues. Une intégrale nulle ne signifie pas que la surface est vide : elle peut signifier que les parties positives et négatives se compensent exactement.
4. Propriétés
Soient $f$ et $g$ continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$, $c$ dans $I$, et $\lambda$ un réel.
Linéarité. $\int_a^b \big(f + g\big) = \int_a^b f + \int_a^b g, \qquad \int_a^b \lambda f = \lambda\int_a^b f.$
Relation de Chasles. $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f, \qquad\text{et en particulier}\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f.$
Positivité. Si $a \leqslant b$ et $f \geqslant 0$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \geqslant 0$.
Intégration des inégalités. Si $a \leqslant b$ et $f \leqslant g$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g.$
L'ordre des bornes est crucial. Toutes ces inégalités supposent $a \leqslant b$. Avec des bornes inversées, l'intégrale change de signe et les inégalités se retournent.
Valeur moyenne. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ (avec $a < b$) est $\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$
C'est la hauteur qu'aurait un rectangle de même base et de même aire : la fonction « aplatie » sur l'intervalle.
Aire entre deux courbes. Si $f \geqslant g$ sur $[a\,;b]$, l'aire entre les deux courbes vaut $\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x.$ On soustrait toujours la courbe du bas à celle du haut, après avoir déterminé laquelle est laquelle.
5. Intégration par parties
### Démonstration exigible
Théorème. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a\,;b]$, de dérivées continues. Alors
$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.$
Démonstration. La formule de dérivation d'un produit donne, pour tout $x$ de $[a;b]$ : $(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$
Les trois fonctions $(uv)'$, $u'v$ et $uv'$ sont continues sur $[a;b]$ : on peut intégrer cette égalité entre $a$ et $b$, et utiliser la linéarité : $\int_a^b (uv)'(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x.$
Or $uv$ est une primitive de $(uv)'$, donc le membre de gauche vaut $\big[u(x)v(x)\big]_a^b$. En isolant la dernière intégrale : $\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x. \qquad \blacksquare$
Quand l'utiliser, et comment choisir. L'intégration par parties sert quand l'intégrande est un produit dont on ne connaît pas de primitive directe — typiquement $x e^x$, $x\ln x$, $x\cos x$. La règle de choix : on pose $u$ la partie qui se simplifie en dérivant (un polynôme, ou $\ln x$), et $v'$ celle dont on sait trouver une primitive ($e^x$, $\cos x$, $x^n$). Si après calcul l'intégrale obtenue est plus compliquée, c'est qu'on a interverti les rôles.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculs directs
Calculer : a. $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 1)\,\mathrm{d}x$ b. $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ c. $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x$
Correction. a. Une primitive est $x^3 + x$, donc $\int_0^2 (3x^2+1)\,\mathrm{d}x = \big[x^3 + x\big]_0^2 = (8 + 2) - 0 = 10.$ b. Une primitive de $\tfrac1x$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln x$ : $\int_1^e \frac{\mathrm{d}x}{x} = \big[\ln x\big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.$ c. Une primitive de $\sin$ est $-\cos$ : $\int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x = \big[-\cos x\big]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2.$
Exercice 2 — Forme composée
Calculer $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$.
Correction. Avec $u(x) = x^2+1 > 0$ et $u'(x) = 2x$, l'intégrande est $\dfrac{u'}{u}$, dont une primitive est $\ln(u)$ : $\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x = \big[\ln(x^2+1)\big]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0{,}693.$
Exercice 3 — Intégrale signée et aire
Soit $f(x) = x^2 - 1$ sur $[0\,;2]$. a. Calculer $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x$. b. Calculer l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses sur $[0\,;2]$.
Correction. a. Une primitive est $\dfrac{x^3}{3} - x$ : $\int_0^2 (x^2-1)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_0^2 = \left(\frac83 - 2\right) - 0 = \frac{2}{3}.$
b. La fonction s'annule en $1$ : elle est négative sur $[0\,;1]$ et positive sur $[1\,;2]$. Il faut donc découper. $\int_0^1 f = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_0^1 = \frac13 - 1 = -\frac23, \qquad \int_1^2 f = \left(\frac83-2\right) - \left(\frac13-1\right) = \frac23 + \frac23 = \frac43.$ L'aire vaut donc $\left|-\frac23\right| + \frac43 = \frac23 + \frac43 = 2 \text{ u.a.}$
On voit ici concrètement que l'intégrale ($\tfrac23$) et l'aire ($2$) sont deux nombres différents.
Exercice 4 — Intégration par parties
Calculer $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,\mathrm{d}x$.
Correction. On pose $u(x) = x \;\Rightarrow\; u'(x) = 1, \qquad v'(x) = e^x \;\Rightarrow\; v(x) = e^x.$ Le polynôme $x$ se simplifie en dérivant : c'est bien lui qu'il faut prendre comme $u$. Alors $\int_0^1 x e^x\,\mathrm{d}x = \big[x e^x\big]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^x\,\mathrm{d}x = \big(1 \times e - 0\big) - \big[e^x\big]_0^1 = e - (e - 1) = 1.$
Vérification. Une primitive de $xe^x$ est $(x-1)e^x$, car $\big((x-1)e^x\big)' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$ ✓. On retrouve $\big[(x-1)e^x\big]_0^1 = 0 - (-1) = 1$ ✓.
Exercice 5 — Avec un logarithme
Calculer $\displaystyle\int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x$.
Correction. Il n'y a pas de produit apparent — on en fabrique un en écrivant $\ln x = 1 \times \ln x$ : $u(x) = \ln x \;\Rightarrow\; u'(x) = \frac1x, \qquad v'(x) = 1 \;\Rightarrow\; v(x) = x.$ Alors $\int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x = \big[x\ln x\big]_1^e - \int_1^e \frac1x \times x\,\mathrm{d}x = (e \times 1 - 0) - \int_1^e 1\,\mathrm{d}x = e - (e-1) = 1.$
Vérification : une primitive de $\ln$ est $x\ln x - x$, et $\big[x\ln x - x\big]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$ ✓.
Exercice 6 — Valeur moyenne
Déterminer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;3]$.
Correction. $\mu = \frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \frac13 \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac13 \times 9 = 3.$
Contrôle de vraisemblance. Sur $[0;3]$, $f$ varie de $0$ à $9$. La moyenne $3$ est bien comprise entre ces deux valeurs, et plus proche du bas — normal, puisque la fonction reste longtemps petite avant de croître brutalement. ✓
Exercice 7 — Aire entre deux courbes
Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes de $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ sur $[0\,;1]$.
Correction. Sur $[0;1]$, on a $x^2 \leqslant x$ (car $x^2 - x = x(x-1) \leqslant 0$) : la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$. L'aire vaut donc $\int_0^1 \big(x - x^2\big)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac12 - \frac13 = \frac16 \text{ u.a.}$
Exercice 8 — Encadrement
Montrer que $\displaystyle 0 \leqslant \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} \leqslant 1$.
Correction. Pour tout $x \in [0;1]$, on a $1 \leqslant 1+x^2 \leqslant 2$, donc en passant aux inverses (tous les termes étant positifs) : $\frac12 \leqslant \frac{1}{1+x^2} \leqslant 1.$ En intégrant ces inégalités sur $[0\,;1]$, dont la longueur vaut $1$ : $\frac12 \leqslant \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} \leqslant 1,$ ce qui est plus précis que demandé. (La valeur exacte est $\dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$, hors programme mais bien dans l'encadrement.)
À retenir
La formule maîtresse $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a), \qquad F \text{ primitive quelconque de } f.$
Les propriétés $\text{linéarité} \qquad \int_a^c = \int_a^b + \int_b^c \;(\text{Chasles}) \qquad \int_b^a = -\int_a^b$ $f \leqslant g \;\Rightarrow\; \int_a^b f \leqslant \int_a^b g \quad (a \leqslant b), \qquad \mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f.$
Intégration par parties $\int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v.$ On prend pour $u$ ce qui se simplifie en dérivant ($x$, $x^2$, $\ln x$).
Les deux pièges
- Intégrale ≠ aire dès que $f$ change de signe : découper et prendre les valeurs absolues.
- Aire entre deux courbes : intégrer (courbe du haut − courbe du bas), après avoir déterminé laquelle est au-dessus.
Fin de la partie « Analyse ». Les trois derniers chapitres sont consacrés aux probabilités.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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