Mathématiques — Terminale
Suites et limites — Maths Terminale (chapitre 5)
Limites de suites en Terminale spé maths : définitions, théorème des gendarmes, opérations, suites géométriques, convergence monotone, raisonnement par…
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Suites et limites
Chapitre 5 — Analyse · Terminale, spécialité mathématiques
En première, une suite était surtout un objet que l'on calculait : on cherchait $u_{10}$, on prouvait une monotonie. Cette année, la question change : que devient $u_n$ quand $n$ devient très grand ? C'est la notion de limite, et c'est le socle de toute l'analyse de terminale — les chapitres sur les fonctions, l'intégrale et la loi des grands nombres en dépendent tous.
Au programme officiel. Définitions des limites infinies et finies d'une suite ; limites et comparaison, théorème des gendarmes ; opérations sur les limites ; comportement de $(q^n)$ ; théorème admis de la convergence monotone.
Quatre démonstrations sont exigibles, toutes rédigées ci-dessous : toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; la limite de $(q^n)$, après démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli ; la divergence vers $+\infty$ d'une suite minorée par une suite divergeant vers $+\infty$ ; les limites de la fonction exponentielle en $+\infty$ et en $-\infty$.
1. Le raisonnement par récurrence
C'est l'outil de démonstration propre aux suites, et le programme demande de savoir s'en servir.
Principe. Soit $P(n)$ une propriété dépendant de l'entier $n$. Si
- initialisation : $P(n_0)$ est vraie pour un certain entier $n_0$ ;
- hérédité : pour tout entier $n \geqslant n_0$, si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ l'est aussi ;
alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant n_0$.
La rédaction attendue. Trois blocs, toujours les mêmes : Initialisation, Hérédité (« Supposons $P(n)$ vraie pour un certain $n \geqslant n_0$ » — cette hypothèse s'appelle l'hypothèse de récurrence —, puis montrer $P(n+1)$), Conclusion. L'erreur la plus fréquente n'est pas de se tromper dans les calculs : c'est d'oublier l'initialisation, ou de supposer $P(n)$ vraie pour tout $n$, ce qui reviendrait à supposer ce que l'on veut démontrer.
Exemple — l'inégalité de Bernoulli. Elle servira à la démonstration sur $(q^n)$.
Propriété (inégalité de Bernoulli). Pour tout réel $a \geqslant 0$ et tout entier naturel $n$ :
$(1 + a)^n \geqslant 1 + na.$
Démonstration par récurrence. Notons $P(n)$ la propriété « $(1+a)^n \geqslant 1 + na$ ».
Initialisation. Pour $n = 0$ : $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$. L'inégalité $1 \geqslant 1$ est vraie, donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un certain entier $n \geqslant 0$, c'est-à-dire $(1+a)^n \geqslant 1 + na$. Comme $a \geqslant 0$, le facteur $(1 + a)$ est strictement positif, et multiplier une inégalité par un nombre positif en conserve le sens : $(1+a)^{n+1} = (1+a)^n \times (1+a) \geqslant (1 + na)(1 + a).$ Développons le membre de droite : $(1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2.$ Or $na^2 \geqslant 0$, donc $1 + (n+1)a + na^2 \geqslant 1 + (n+1)a$. Par transitivité, $(1+a)^{n+1} \geqslant 1 + (n+1)a,$ ce qui est exactement $P(n+1)$.
Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. $\blacksquare$
2. Définitions des limites
Limite $+\infty$. La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Aussi grand que soit le seuil $A$, la suite finit par le dépasser — et ne redescend plus en dessous.
De même, $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle $]-\infty\,;A]$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang.
Limite finie. La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.
Vocabulaire. Une suite qui admet une limite finie est dite convergente. Dans tous les autres cas — limite infinie, ou pas de limite du tout comme $u_n = (-1)^n$ — elle est dite divergente.
« À partir d'un certain rang » est le cœur de la définition. Les premiers termes n'ont aucune importance : modifier $u_0, u_1, \dots, u_{1000}$ ne change ni l'existence ni la valeur de la limite. Une suite peut aussi dépasser $A$ puis redescendre plusieurs fois : ce qui compte, c'est qu'à partir d'un certain rang elle ne redescende plus.
3. Les démonstrations exigibles
3.1 Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$
Théorème. Si une suite $(u_n)$ est croissante et non majorée, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.
Démonstration. Soit $A$ un réel quelconque. Il s'agit de montrer que l'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, le réel $A$ n'est pas un majorant de la suite. Il existe donc un rang $N$ tel que $u_N > A.$
Comme $(u_n)$ est croissante, pour tout $n \geqslant N$ on a $u_n \geqslant u_N$, donc $u_n \geqslant u_N > A.$
Ainsi, tous les termes de rang supérieur ou égal à $N$ appartiennent à $[A\,;+\infty[$. Ceci valant pour tout réel $A$, la suite tend vers $+\infty$. $\blacksquare$
Ce que le théorème ne dit pas. Une suite croissante majorée ne tend pas vers $+\infty$ : elle converge (paragraphe 5). Et une suite non majorée n'est pas nécessairement divergente vers $+\infty$ si elle n'est pas croissante — par exemple $u_n = n\,(-1)^n$ n'est pas majorée et n'a pourtant pas de limite.
3.2 Divergence par comparaison
Théorème. Si $u_n \geqslant v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.
Démonstration. Soit $A$ un réel. Comme $(v_n)$ tend vers $+\infty$, il existe un rang $N_1$ tel que, pour tout $n \geqslant N_1$, $v_n > A$. Par hypothèse, il existe un rang $N_2$ à partir duquel $u_n \geqslant v_n$.
Posons $N = \max(N_1, N_2)$. Pour tout $n \geqslant N$, les deux propriétés sont vraies simultanément, donc $u_n \geqslant v_n > A.$
Tous les termes $u_n$ de rang $\geqslant N$ sont donc dans $[A\,;+\infty[$. Comme $A$ était quelconque, $(u_n)$ tend vers $+\infty$. $\blacksquare$
Le détail qui compte. Le passage par $N = \max(N_1, N_2)$ n'est pas une coquetterie : les deux hypothèses ne sont vraies qu'à partir de rangs éventuellement différents, et la conclusion exige qu'elles le soient en même temps.
3.3 Limite d'une suite géométrique
Théorème. Soit $q$ un réel. La suite $(q^n)$ vérifie :
$\lim_{n\to+\infty} q^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } q > 1 \\ 1 & \text{si } q = 1 \\ 0 & \text{si } -1 < q < 1 \end{cases}$
et $(q^n)$ n'a pas de limite si $q \leqslant -1$.
Démonstration du cas $q > 1$. Posons $a = q - 1$, de sorte que $q = 1 + a$ avec $a > 0$. L'inégalité de Bernoulli, démontrée au paragraphe 1, donne pour tout entier $n$ : $q^n = (1 + a)^n \geqslant 1 + na.$
Or $a > 0$, donc la suite de terme général $1 + na$ tend vers $+\infty$. La suite $(q^n)$ est minorée par une suite qui diverge vers $+\infty$ : d'après le théorème de comparaison du 3.2, $\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty. \qquad \blacksquare$
Cas $-1 < q < 1$ (admis dans sa généralité, démontré ici pour $0 < q < 1$). Si $0 < q < 1$, alors $\tfrac1q > 1$, donc $\left(\tfrac1q\right)^n$ tend vers $+\infty$ d'après ce qui précède ; par passage à l'inverse, $q^n$ tend vers $0$. Le cas $-1 < q < 0$ s'obtient en encadrant : $-|q|^n \leqslant q^n \leqslant |q|^n$, et les deux bornes tendent vers $0$.
Cas $q \leqslant -1$. Les termes alternent de signe sans se rapprocher d'aucune valeur : la suite n'a pas de limite. Pour $q = -1$ par exemple, la suite vaut alternativement $1$ et $-1$.
3.4 Limites de la fonction exponentielle
Théorème. $\lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} e^x = 0$.
Démonstration de la première limite. Étudions la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^x - x$. Elle est dérivable et $g'(x) = e^x - 1$, qui est négatif sur $]-\infty\,;0]$ et positif sur $[0\,;+\infty[$. La fonction $g$ admet donc un minimum en $0$, valant $g(0) = e^0 - 0 = 1 > 0$.
Ainsi, pour tout réel $x$, $g(x) \geqslant 1 > 0$, c'est-à-dire $e^x > x.$
Comme $x$ tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$, le théorème de comparaison (version fonctions, paragraphe 4) donne $\lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty$.
Démonstration de la seconde. Posons $X = -x$. Quand $x \to -\infty$, $X \to +\infty$, et $e^x = e^{-X} = \frac{1}{e^X}.$ Le dénominateur tend vers $+\infty$ d'après la première limite, donc le quotient tend vers $0$ : $\lim_{x\to-\infty} e^x = 0. \qquad \blacksquare$
4. Opérations et comparaison
Opérations sur les limites. Les règles sont celles que l'intuition suggère : la limite d'une somme est la somme des limites, etc. Il faut surtout connaître les quatre formes indéterminées, où aucune règle ne s'applique et où il faut transformer l'expression :
$\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}$
Attention à ce que « indéterminée » veut dire. Cela ne signifie pas « pas de limite », mais « la forme ne suffit pas à conclure ». Selon les cas, la limite peut être finie, infinie, ou inexistante. Il faut lever l'indétermination — le plus souvent en factorisant le terme prépondérant.
Théorème de comparaison (minoration). Voir 3.2. Symétriquement, si $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang et $v_n \to -\infty$, alors $u_n \to -\infty$.
Théorème des gendarmes. Si, à partir d'un certain rang, $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n,$ et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge aussi vers $\ell$.
Les deux « gendarmes » se resserrent autour de $\ell$ et forcent la suite encadrée à les suivre.
L'hypothèse essentielle est que les deux gendarmes aient la même limite. Un encadrement entre deux suites de limites différentes ne permet aucune conclusion.
5. Convergence monotone
Théorème (admis). Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Ce théorème ne donne pas la limite. Il garantit seulement qu'elle existe. C'est déjà énorme : on peut alors raisonner sur $\ell$ sans la connaître, par exemple en passant à la limite dans la relation de récurrence. Et attention : si $(u_n)$ est croissante et majorée par $M$, sa limite $\ell$ vérifie $\ell \leqslant M$, mais rien ne dit que $\ell = M$.
Corollaire pratique. Une suite croissante et majorée par $M$ a une limite $\ell \leqslant M$ ; une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ (théorème 3.1). Une suite croissante a donc toujours une limite : finie si elle est majorée, $+\infty$ sinon.
6. Méthodes
Méthode 1 — Lever une indétermination $\infty - \infty$ ou $\frac{\infty}{\infty}$
Factoriser par le terme de plus haut degré, au numérateur comme au dénominateur.
Exemple. $u_n = \dfrac{3n^2 - 5n + 1}{2n^2 + n}$. On factorise par $n^2$ : $u_n = \frac{n^2\left(3 - \frac5n + \frac1{n^2}\right)}{n^2\left(2 + \frac1n\right)} = \frac{3 - \frac5n + \frac1{n^2}}{2 + \frac1n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.$
Méthode 2 — Utiliser les gendarmes avec un sinus ou un cosinus
Partir de $-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1$ et diviser par une quantité tendant vers $+\infty$.
Exemple. Pour $u_n = \dfrac{\sin n}{n}$, on a $-\dfrac1n \leqslant u_n \leqslant \dfrac1n$ pour $n \geqslant 1$. Les deux bornes tendent vers $0$, donc $u_n \to 0$.
Méthode 3 — Suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$
Le plan est presque toujours le même :
- montrer par récurrence que la suite est bornée (par exemple $0 \leqslant u_n \leqslant 2$) ;
- étudier la monotonie, souvent en calculant $u_{n+1} - u_n$ ;
- conclure à la convergence par le théorème du paragraphe 5 ;
- déterminer la limite $\ell$ en passant à la limite dans la relation : si $f$ est continue, $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$.
Le point de rigueur de l'étape 4. L'équation $\ell = f(\ell)$ peut avoir plusieurs solutions. Il faut alors trancher à l'aide des informations obtenues aux étapes 1 et 2 (par exemple : la suite est croissante et vaut $u_0 = 1$, donc $\ell \geqslant 1$, ce qui élimine la solution négative).
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Récurrence
Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ : $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Correction. Notons $P(n)$ cette égalité.
Initialisation. Pour $n = 1$ : le membre de gauche vaut $1$, celui de droite $\tfrac{1 \times 2}{2} = 1$. $P(1)$ est vraie.
Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n \geqslant 1$. Alors $1 + 2 + \cdots + n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2} + 1\right) = (n+1)\cdot\frac{n+2}{2},$ c'est-à-dire $\dfrac{(n+1)\big((n+1)+1\big)}{2}$ : c'est $P(n+1)$.
Conclusion. Par récurrence, l'égalité est vraie pour tout $n \geqslant 1$. $\blacksquare$
Exercice 2 — Limites par factorisation
Déterminer les limites des suites suivantes.
a. $u_n = n^2 - 5n + 3$ b. $v_n = \dfrac{4n^3 + 2n}{1 - n^3}$ c. $w_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$
Correction. a. Forme $\infty - \infty$. On factorise par $n^2$ : $u_n = n^2\left(1 - \frac{5}{n} + \frac{3}{n^2}\right).$ Le premier facteur tend vers $+\infty$, la parenthèse vers $1$, donc $u_n \to +\infty$.
b. Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par $n^3$ : $v_n = \frac{n^3\left(4 + \frac{2}{n^2}\right)}{n^3\left(\frac{1}{n^3} - 1\right)} = \frac{4 + \frac{2}{n^2}}{\frac{1}{n^3} - 1} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{4}{-1} = -4.$
c. Forme $\infty - \infty$. On utilise l'expression conjuguée : $w_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $w_n \to 0$.
Exercice 3 — Gendarmes
Déterminer la limite de $u_n = \dfrac{2n + \cos n}{n + 1}$.
Correction. Pour tout entier $n$, $-1 \leqslant \cos n \leqslant 1$, donc $\frac{2n - 1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant \frac{2n + 1}{n+1}.$ Chacune des deux bornes est un quotient de polynômes de même degré : en factorisant par $n$, toutes deux tendent vers $2$. Par le théorème des gendarmes, $u_n \to 2$.
Exercice 4 — Suite géométrique
Soit $u_n = 3 \times 0{,}7^{\,n} + 5$. Déterminer la limite de $(u_n)$, puis le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 5{,}01$.
Correction. Comme $-1 < 0{,}7 < 1$, on a $0{,}7^{\,n} \to 0$, donc $u_n \to 5$.
Ensuite, $u_n < 5{,}01 \iff 3 \times 0{,}7^{\,n} < 0{,}01 \iff 0{,}7^{\,n} < \frac{0{,}01}{3}.$ La fonction $\ln$ étant strictement croissante et $\ln(0{,}7) < 0$ (ce qui inverse le sens de l'inégalité à la division) : $n \ln(0{,}7) < \ln\!\left(\frac{0{,}01}{3}\right) \iff n > \frac{\ln\!\left(\frac{0{,}01}{3}\right)}{\ln(0{,}7)} \approx 15{,}99.$ Le plus petit entier convenable est donc $n = 16$.
Vérification : $u_{15} = 3 \times 0{,}7^{15} + 5 \approx 5{,}0142$, qui n'est pas encore inférieur à $5{,}01$ ; tandis que $u_{16} = 3 \times 0{,}7^{16} + 5 \approx 5{,}0100$, avec $3 \times 0{,}7^{16} \approx 0{,}00997 < 0{,}01$ ✓. Le rang $16$ est bien le premier qui convient.
Exercice 5 — Suite récurrente complète
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n$, $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$.
a. Montrer que pour tout $n$, $1 \leqslant u_n \leqslant 2$. b. Montrer que $(u_n)$ est croissante. c. En déduire qu'elle converge, puis déterminer sa limite.
Correction. a. Par récurrence. Initialisation : $u_0 = 1$, et $1 \leqslant 1 \leqslant 2$ ✓. Hérédité : supposons $1 \leqslant u_n \leqslant 2$. Alors $3 \leqslant 2 + u_n \leqslant 4$, et comme la fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\infty[$ : $\sqrt{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant 2.$ Or $\sqrt{3} \approx 1{,}73 \geqslant 1$, donc $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n$.
b. Étudions le signe de $u_{n+1}^2 - u_n^2 = (2 + u_n) - u_n^2 = -(u_n^2 - u_n - 2) = -(u_n - 2)(u_n + 1)$. D'après a, $u_n - 2 \leqslant 0$ et $u_n + 1 > 0$, donc ce produit est $\geqslant 0$ : $u_{n+1}^2 \geqslant u_n^2.$ Les deux termes étant positifs, on en déduit $u_{n+1} \geqslant u_n$ : la suite est croissante.
c. $(u_n)$ est croissante et majorée par 2 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite $\ell$, avec $1 \leqslant \ell \leqslant 2$.
En passant à la limite dans $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ (la fonction $x \mapsto \sqrt{2+x}$ étant continue sur $[1;2]$), on obtient $\ell = \sqrt{2 + \ell}$, donc $\ell^2 = 2 + \ell$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0 \iff (\ell - 2)(\ell + 1) = 0.$ Les solutions sont $2$ et $-1$. Comme $\ell \geqslant 1$, la seule possible est $\ell = 2.$
À retenir
Les limites usuelles $\lim_{n\to+\infty} n = +\infty, \qquad \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} = 0, \qquad \lim_{n\to+\infty} \sqrt{n} = +\infty,$ $\lim_{n\to+\infty} q^n = \begin{cases} +\infty & q > 1 \\ 0 & -1 < q < 1 \end{cases}, \qquad \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} e^x = 0.$
Les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$. Réponse dans presque tous les cas : factoriser le terme prépondérant.
Les deux théorèmes de comparaison
- Minoration : $u_n \geqslant v_n$ et $v_n \to +\infty$ $\Rightarrow$ $u_n \to +\infty$.
- Gendarmes : $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ avec $v_n$ et $w_n$ de même limite $\ell$ $\Rightarrow$ $u_n \to \ell$.
Le théorème de convergence monotone. Croissante + majorée $\Rightarrow$ convergente. Il donne l'existence de la limite, jamais sa valeur.
Le plan type d'une suite récurrente : bornes par récurrence → monotonie → convergence → $\ell = f(\ell)$, puis choisir la bonne racine.
Chapitre suivant : les limites de fonctions, où l'on retrouvera les mêmes théorèmes, énoncés cette fois pour une variable réelle.
Le programme complet de terminale
Algèbre et géométrie
- Combinatoire et dénombrement
- Vecteurs, droites et plans de l'espace
- Orthogonalité et distances dans l'espace
- Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Analyse
- Suites et limites
- Limites de fonctions
- Dérivation et convexité
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- Fonction logarithme népérien
- Fonctions sinus et cosinus
- Primitives et équations différentielles
- Calcul intégral
Probabilités
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Sommes de variables aléatoires
- Concentration et loi des grands nombres
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