Mathématiques — Terminale

Vecteurs, droites et plans de l'espace — Maths Terminale (chapitre 2)

Cours complet de géométrie dans l'espace en Terminale spé maths : vecteurs, combinaisons linéaires, colinéarité, coplanarité, bases et repères, positions…

Par ProfBot

Voir la vidéo du cours sur YouTube

Vecteurs, droites et plans de l'espace

Chapitre 2 — Algèbre et géométrie · Terminale, spécialité mathématiques

Tout ce que vous savez sur les vecteurs du plan reste vrai dans l'espace : addition, multiplication par un réel, relation de Chasles, colinéarité. Une seule chose change, mais elle change beaucoup — il y a désormais trois directions indépendantes au lieu de deux. C'est de là que viennent les deux nouveautés du chapitre : la notion de coplanarité, et l'existence de deux droites qui ne se coupent pas sans pour autant être parallèles.

Au programme officiel. Vecteurs de l'espace, translations ; combinaisons linéaires ; droites, vecteurs directeurs, vecteurs colinéaires ; caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur ; plans de l'espace et direction d'un plan ; caractérisation d'un plan par un point et un couple de vecteurs non colinéaires ; bases et repères de l'espace, décomposition d'un vecteur sur une base.

Aucune démonstration n'est exigible dans ce chapitre : ce sont les capacités qui sont évaluées — décrire une position relative, lire une base sur une figure, traiter alignement, colinéarité, parallélisme et coplanarité.

1. Vecteurs de l'espace

Définition. À tout couple de points $(A, B)$ de l'espace on associe le vecteur $\overrightarrow{AB}$, caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ définit la translation qui envoie $A$ sur $B$ : le point $M'$ image de $M$ est l'unique point tel que $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$.

Les règles de calcul apprises dans le plan se transposent telles quelles :

• relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ;
• $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$, et $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$ ;
• pour tout réel $k$, le vecteur $k\,\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, le même sens si $k > 0$, le sens opposé si $k < 0$, et pour longueur $|k| \times \|\vec{u}\|$ ;
• $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (attention à l'ordre des lettres : dans $ABCD$, les côtés opposés sont $[AB]$ et $[DC]$).

Définition. Une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_p$ est un vecteur de la forme $a_1 \vec{u}_1 + a_2 \vec{u}_2 + \cdots + a_p \vec{u}_p, \qquad a_1, \dots, a_p \in \mathbb{R}.$

C'est le vocabulaire central du chapitre : « exprimer $\overrightarrow{AM}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ » signifie trouver deux réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{AM} = x\,\overrightarrow{AB} + y\,\overrightarrow{AC}$.

2. Colinéarité et droites

Définition. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$, ou si $\vec{u} = \vec{0}$.

Attention à la formulation. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. La rédaction « $\vec{v} = k\,\vec{u}$ » suppose implicitement $\vec{u} \neq \vec{0}$ ; c'est pourquoi l'énoncé prévoit ce cas à part.

Définition. Un vecteur directeur d'une droite $(AB)$ est tout vecteur non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.

Caractérisation d'une droite. Soit $A$ un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ soit colinéaire à $\vec{u}$ est la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ : $M \in \mathcal{D}(A, \vec{u}) \iff \exists\, t \in \mathbb{R}, \quad \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}.$

Conséquence pratique. Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

3. Plans et coplanarité

C'est ici qu'apparaît la vraie nouveauté de l'espace.

Définition. Des vecteurs sont coplanaires s'il existe un plan dont ils dirigent des droites — autrement dit, si en les plaçant tous à partir d'un même point, leurs extrémités sont dans un même plan que ce point.

Caractérisation d'un plan. Soit $A$ un point et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ soit combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le plan passant par $A$ et dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $M \in \mathcal{P}(A, \vec{u}, \vec{v}) \iff \exists\, (s, t) \in \mathbb{R}^2, \quad \overrightarrow{AM} = s\,\vec{u} + t\,\vec{v}.$

L'hypothèse « non colinéaires » est indispensable : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ étaient colinéaires, toutes leurs combinaisons linéaires resteraient sur une même droite, et l'ensemble obtenu serait une droite, pas un plan.

Critère de coplanarité — le plus utilisé. Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $s$ et $t$ tels que $\overrightarrow{AD} = s\,\overrightarrow{AB} + t\,\overrightarrow{AC},$ à condition que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne soient pas colinéaires (sinon $A$, $B$, $C$ sont déjà alignés et le critère n'a plus de sens : par trois points alignés passent une infinité de plans).

Rappels de géométrie dans l'espace — admis, mais constamment utilisés :

• par trois points non alignés passe un plan et un seul ;
• si deux points d'une droite appartiennent à un plan, la droite entière est contenue dans ce plan ;
• si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite ;
• théorème du toit : si deux plans sécants contiennent chacun une droite, et que ces deux droites sont parallèles entre elles, alors leur droite d'intersection est parallèle à ces deux droites.

4. Bases et repères de l'espace

Définition. Trois vecteurs $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ forment une base de l'espace lorsqu'ils ne sont pas coplanaires. Un repère de l'espace est la donnée d'un point $O$ et d'une base : on le note $(O\,; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$.

Théorème (décomposition sur une base). Si $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ est une base de l'espace, alors tout vecteur $\vec{w}$ s'écrit d'une seule manière sous la forme $\vec{w} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k}.$ Les réels $x$, $y$, $z$ sont les coordonnées de $\vec{w}$ dans cette base. Dans le repère $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, les coordonnées d'un point $M$ sont celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$.

L'unicité de l'écriture se lit sur la figure : le pavé construit sur $\overrightarrow{OM}$ et les trois directions de la base est unique.

Calculs en coordonnées. Si $\vec{u}\,(x\,;y\,;z)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y'\,;z')$ et si $\lambda \in \mathbb{R}$ :

$\vec{u} + \vec{v} \;\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \\ z + z' \end{pmatrix} \qquad \lambda \vec{u} \;\begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y \\ \lambda z \end{pmatrix}$

Pour deux points $A\,(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B\,(x_B\,;y_B\,;z_B)$ : $\overrightarrow{AB} \;\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}, \qquad \text{milieu } I \text{ de } [AB] : \left( \frac{x_A + x_B}{2} \,;\, \frac{y_A + y_B}{2} \,;\, \frac{z_A + z_B}{2} \right).$

Le repère du cube. Sur un cube $ABCDEFGH$, le repère naturel est $(A\,; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$. Les huit sommets ont alors des coordonnées faites uniquement de 0 et de 1, ce qui rend tous les calculs immédiats. Prendre ce repère est le premier réflexe de tout exercice sur un cube ou un pavé.

Dans ce repère : $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, et par exemple $G(1;1;1)$.

5. Positions relatives

5.1 Deux droites

Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (il existe un plan les contenant toutes les deux), soit non coplanaires. C'est le cas nouveau par rapport au plan : deux droites peuvent n'avoir aucun point commun sans être parallèles.

Méthode. Pour trancher entre les quatre cas, on procède toujours dans cet ordre :

1. les vecteurs directeurs sont-ils colinéaires ? Si oui, les droites sont parallèles — reste à voir si un point de l'une appartient à l'autre (confondues) ou non (strictement parallèles) ;
2. sinon, ont-elles un point commun ? Si oui, elles sont sécantes ; si non, elles sont non coplanaires.

5.2 Une droite et un plan

Trois cas seulement : la droite est incluse dans le plan, sécante (un unique point commun), ou strictement parallèle (aucun point commun).

Critère de parallélisme. Une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle à un plan dirigé par $\vec{v}$ et $\vec{w}$ si et seulement si $\vec{u}$ est une combinaison linéaire de $\vec{v}$ et $\vec{w}$ — c'est-à-dire si $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires.

5.3 Deux plans

Trois cas : confondus, strictement parallèles (aucun point commun), ou sécants — et dans ce dernier cas leur intersection est une droite, jamais un point.

6. Méthodes

Méthode 1 — Montrer que trois points sont alignés

Calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis chercher un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}$. Il suffit de comparer les coordonnées une à une : si le même coefficient $k$ convient pour les trois, les points sont alignés.

Méthode 2 — Montrer que quatre points sont coplanaires

Chercher $s$ et $t$ tels que $\overrightarrow{AD} = s\,\overrightarrow{AB} + t\,\overrightarrow{AC}$. Cela conduit à un système de trois équations à deux inconnues : on résout avec deux d'entre elles, puis on vérifie impérativement la troisième. C'est cette vérification qui décide, et c'est elle que l'on oublie.

Méthode 3 — Décomposer un vecteur sur une base

Utiliser la relation de Chasles pour ramener le vecteur cherché à un chemin le long des arêtes de la figure, puis remplacer chaque arête par le vecteur de base correspondant.

Exemple sur le cube $ABCDEFGH$, base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ : $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE},$ en utilisant $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}$ (faces opposées d'un cube).

7. Erreurs classiques

Croire que deux droites sans point commun sont parallèles. C'est vrai dans le plan, faux dans l'espace. Il faut aussi que les vecteurs directeurs soient colinéaires.

Oublier de vérifier la troisième équation dans un problème de coplanarité. Deux équations suffisent à trouver $s$ et $t$, mais c'est la troisième qui dit si la solution convient réellement.

Confondre « non coplanaires » et « perpendiculaires ». Deux droites non coplanaires n'ont aucun rapport d'angle particulier ; l'orthogonalité est l'objet du chapitre suivant.

Prendre trois vecteurs coplanaires comme base. Trois vecteurs forment une base si et seulement s'ils ne sont pas coplanaires. Sur une figure, il suffit de vérifier qu'ils ne « s'aplatissent » pas dans un même plan — par exemple trois arêtes d'un cube issues d'un même sommet conviennent, trois arêtes d'une même face non.

Écrire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ pour un parallélogramme $ABCD$. Dans le parallélogramme $ABCD$, les côtés parallèles sont $[AB]$ et $[DC]$ : la bonne égalité est $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

8. Exercices corrigés

Exercice 1 — Lire une décomposition sur un cube

Sur le cube $ABCDEFGH$, muni du repère $(A\,; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$, donner les coordonnées de tous les sommets, puis celles du centre $I$ de la face $EFGH$.

Correction. Par construction : $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$, $H(0;1;1)$.

Le centre de la face $EFGH$ est le milieu de la diagonale $[EG]$ : $I\left( \frac{0+1}{2} \,;\, \frac{0+1}{2} \,;\, \frac{1+1}{2} \right) = I\left( \tfrac{1}{2} \,;\, \tfrac{1}{2} \,;\, 1 \right).$

Vérification. On peut recalculer $I$ comme milieu de l'autre diagonale $[FH]$, avec $F(1;0;1)$ et $H(0;1;1)$ : on retrouve $\left( \tfrac12 ; \tfrac12 ; 1 \right)$. Les diagonales d'un carré se coupent bien en leur milieu. ✓

Exercice 2 — Alignement

Dans un repère de l'espace, on donne $A(1\,;2\,;-1)$, $B(3\,;-2\,;5)$ et $C(0\,;4\,;-4)$. Ces trois points sont-ils alignés ?

Correction. $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3-1 \\ -2-2 \\ 5-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 0-1 \\ 4-2 \\ -4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}.$

On cherche $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}$. La première coordonnée impose $-1 = 2k$, donc $k = -\tfrac{1}{2}$. On vérifie sur les deux autres : $-\tfrac{1}{2} \times (-4) = 2 \;\checkmark \qquad\text{et}\qquad -\tfrac{1}{2} \times 6 = -3 \;\checkmark$ Les vecteurs sont colinéaires : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Exercice 3 — Coplanarité

On donne $A(1\,;0\,;2)$, $B(2\,;1\,;0)$, $C(0\,;3\,;1)$ et $D(2\,;7\,;-3)$. Ces quatre points sont-ils coplanaires ?

Correction. $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -5 \end{pmatrix}.$

D'abord, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (la première coordonnée imposerait $k = -1$, ce qui donnerait $-1$ pour la deuxième au lieu de $3$). Le critère s'applique donc. On cherche $s$ et $t$ tels que $\overrightarrow{AD} = s\,\overrightarrow{AB} + t\,\overrightarrow{AC}$, soit $\begin{cases} s - t = 1 \\ s + 3t = 7 \\ -2s - t = -5 \end{cases}$

De la première équation, $s = 1 + t$. En reportant dans la deuxième : $(1 + t) + 3t = 7$, donc $4t = 6$, d'où $t = \tfrac{3}{2}$ puis $s = \tfrac{5}{2}$.

Vérification dans la troisième équation, celle qui décide : $-2 \times \tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2} = -5 - \tfrac{3}{2} = -\tfrac{13}{2} \neq -5.$

La troisième équation n'est pas satisfaite : les quatre points ne sont pas coplanaires.

Exercice 4 — Position relative de deux droites

Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par $A(1\,;0\,;1)$ de vecteur directeur $\vec{u}\,(2\,;1\,;-1)$, et $\mathcal{D}'$ la droite passant par $B(0\,;1\,;3)$ de vecteur directeur $\vec{v}\,(-4\,;-2\,;2)$. Déterminer leur position relative.

Correction. On remarque que $\vec{v} = -2\,\vec{u}$ : les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles. Reste à savoir si elles sont confondues.

$B$ appartient-il à $\mathcal{D}$ ? Il faudrait $\overrightarrow{AB} = t\,\vec{u}$ avec $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.$ La première coordonnée impose $-1 = 2t$, soit $t = -\tfrac12$ ; la deuxième donnerait alors $-\tfrac12 \neq 1$. Donc $B \notin \mathcal{D}$.

Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont strictement parallèles.

Exercice 5 — Une combinaison linéaire sur le cube

Sur le cube $ABCDEFGH$, soit $I$ le milieu de $[BC]$. Exprimer $\overrightarrow{AI}$ puis $\overrightarrow{EI}$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$.

Correction. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}$. Or $I$ est le milieu de $[BC]$ et $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, donc $\overrightarrow{BI} = \tfrac12 \overrightarrow{BC} = \tfrac12 \overrightarrow{AD}$. D'où $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AD}, \qquad \text{soit } I\left(1\,;\tfrac12\,;0\right).$

Ensuite $\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AI} = -\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} + \tfrac12 \overrightarrow{AD}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{AB} + \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE}.$

Contrôle par les coordonnées : $E(0;0;1)$ et $I\left(1;\tfrac12;0\right)$, donc $\overrightarrow{EI}$ a pour coordonnées $\left(1\,;\tfrac12\,;-1\right)$ — ce qui correspond exactement à la décomposition obtenue. ✓

À retenir

Les trois caractérisations fondamentales

$\text{Droite : } \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} \qquad \text{Plan : } \overrightarrow{AM} = s\,\vec{u} + t\,\vec{v} \qquad \text{Base : } \vec{w} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k}$

Les critères

• Alignement de $A$, $B$, $C$ : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires.
• Coplanarité de $A$, $B$, $C$, $D$ : $\overrightarrow{AD} = s\,\overrightarrow{AB} + t\,\overrightarrow{AC}$ — avec vérification de la troisième équation.
• Base : trois vecteurs non coplanaires.

Le piège propre à l'espace. Sans point commun et sans directeurs colinéaires : les droites sont non coplanaires, pas parallèles. Ce cas n'existe pas dans le plan, et c'est celui que les énoncés testent le plus volontiers.

Chapitre suivant : l'orthogonalité et les distances dans l'espace, où le produit scalaire fait son retour — cette fois en trois dimensions.

Le programme complet de terminale

Algèbre et géométrie

1. Combinatoire et dénombrement
2. Vecteurs, droites et plans de l'espace
3. Orthogonalité et distances dans l'espace
4. Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Analyse

1. Suites et limites
2. Limites de fonctions
3. Dérivation et convexité
4. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
5. Fonction logarithme népérien
6. Fonctions sinus et cosinus
7. Primitives et équations différentielles
8. Calcul intégral

Probabilités

1. Schéma de Bernoulli et loi binomiale
2. Sommes de variables aléatoires
3. Concentration et loi des grands nombres

← Chapitre 1 · Combinatoire et dénombrement &nbsp;|&nbsp; Chapitre 3 · Orthogonalité et distances dans l'espace →

Tous les cours · coursDeLion · La chaîne YouTube