Mathématiques — Seconde
Logique et vocabulaire ensembliste — Maths Seconde (chapitre 13)
Ensembles, appartenance et inclusion, réunion et intersection, propositions, connecteurs et ou, contre-exemple, implication, réciproque, contraposée,…
Par ProfBot
Logique, ensembles et raisonnements
Chapitre 13 — Partie transversale · Seconde générale et technologique
Ce chapitre ne fait presque rien découvrir : il nomme ce que vous avez utilisé douze chapitres durant. Mais nommer, ici, c'est cesser de se tromper. Savoir que « tout carré est un rectangle » n'entraîne pas « tout rectangle est un carré », savoir qu'un seul contre-exemple suffit à réfuter, savoir que le « ou » des mathématiques n'exclut rien : ce sont ces distinctions qui séparent un raisonnement juste d'un raisonnement qui lui ressemble.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Notions d'élément d'un ensemble, de sous-ensemble, d'ensemble vide, d'appartenance et d'inclusion, de réunion, d'intersection et de complémentaire ; symboles $\varnothing, \in, \subset, \cap, \cup, \{\dots\}$ ; notations des ensembles de nombres et des intervalles ; notion de couple et de produit cartésien ; notation $\operatorname{Card}(A)$. Reconnaître ce qu'est une proposition mathématique et utiliser des variables pour en écrire ; lire et écrire des propositions contenant les connecteurs « et », « ou » ; formuler la négation de propositions simples (sans implication ni quantificateurs) ; mobiliser un contre-exemple ; formuler une implication, une équivalence logique et les mobiliser dans un raisonnement simple ; formuler la réciproque et la contraposée d'une implication ; lire et écrire des propositions contenant une quantification universelle ou existentielle (les symboles $\forall$ et $\exists$ sont hors programme). Produire des raisonnements par disjonction des cas et par l'absurde.
1. Le vocabulaire des ensembles
Un ensemble est une collection d'objets, ses éléments. On le décrit :
- en extension, par la liste : $A = \{1\,;3\,;5\,;7\}$ ;
- en compréhension, par une propriété : $A = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ impair et } n < 8\}$.
| Symbole | Se lit | Exemple |
|---|---|---|
| $\in$ | appartient à | $3 \in A$ |
| $\notin$ | n'appartient pas à | $4 \notin A$ |
| $\subset$ | est inclus dans | $\{1\,;3\} \subset A$ |
| $\varnothing$ | l'ensemble vide | $\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 0\} = \varnothing$ |
| $\operatorname{Card}(A)$ | le nombre d'éléments | $\operatorname{Card}(A) = 4$ |
$\in$ relie un ÉLÉMENT à un ensemble ; $\subset$ relie deux ENSEMBLES. On écrit $3 \in A$, mais $\{3\} \subset A$. « $3 \subset A$ » et « $\{3\} \in A$ » sont des fautes, pas des variantes d'écriture. Et $\varnothing \subset A$ pour tout ensemble $A$ : l'ensemble vide n'a aucun élément qui pourrait manquer à $A$.
Réunion, intersection, complémentaire
- Réunion $A \cup B$ : les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ (ou dans les deux).
- Intersection $A \cap B$ : ceux qui sont dans $A$ et dans $B$.
- Complémentaire $\overline A$ (ou $E \setminus A$) : ceux de $E$ qui ne sont pas dans $A$.
Le « ou » des mathématiques est INCLUSIF. « $x \in A$ ou $x \in B$ » n'interdit pas d'être dans les deux, contrairement au « ou » de « fromage ou dessert ». Quand on veut exclure, on le dit : « ou bien… ou bien… ».
Formule du crible (ensembles finis) : $\operatorname{Card}(A\cup B) = \operatorname{Card}(A) + \operatorname{Card}(B) - \operatorname{Card}(A\cap B),$ car en additionnant les deux cardinaux on a compté l'intersection deux fois.
Couples et produit cartésien
Un couple $(x\,;y)$ est ordonné : $(1\,;2) \neq (2\,;1)$, alors que l'ensemble $\{1\,;2\}$ est égal à $\{2\,;1\}$. Le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble des couples dont le premier terme est dans $A$ et le second dans $B$ : $\{1\,;2\} \times \{a\,;b\} = \{(1\,;a),\,(1\,;b),\,(2\,;a),\,(2\,;b)\}, \qquad \operatorname{Card}(A\times B) = \operatorname{Card}(A)\times\operatorname{Card}(B).$ Le plan muni d'un repère s'identifie à $\mathbb{R}\times\mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ — c'est exactement ce qu'on a fait aux chapitres 8 et 9.
2. Propositions, connecteurs et négation
Définition. Une proposition mathématique est un énoncé dont on peut dire s'il est vrai ou faux.
« $7$ est premier » est une proposition (vraie). « $x > 2$ » n'en est une qu'une fois $x$ fixé : on parle alors de proposition dépendant d'une variable.
Les connecteurs.
- « $P$ et $Q$ » est vraie quand les deux le sont.
- « $P$ ou $Q$ » est vraie quand au moins une l'est.
La négation (des propositions simples) :
| Proposition | Sa négation |
|---|---|
| $x = 3$ | $x \neq 3$ |
| $x > 2$ | $x \leqslant 2$ |
| $P$ et $Q$ | non $P$ ou non $Q$ |
| $P$ ou $Q$ | non $P$ et non $Q$ |
La négation de $x > 2$ est $x \leqslant 2$, pas $x < 2$. L'égalité fait partie de la négation d'une inégalité stricte. Oublier ce cas limite est une erreur qui se paie ensuite dans les tableaux de signes et les ensembles de solutions.
Nier un « et » donne un « ou ». La négation de « il est grand et blond » est « il n'est pas grand ou il n'est pas blond » — il suffit qu'une seule condition échoue. On échange systématiquement les deux connecteurs.
3. Implication, réciproque, contraposée
Définition. L'implication « $P \Rightarrow Q$ » signifie : chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ l'est aussi.
À partir de $P \Rightarrow Q$ on forme :
- la réciproque $Q \Rightarrow P$, qui n'a aucune raison d'être vraie ;
- la contraposée $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$, qui est toujours vraie en même temps que l'implication de départ.
L'exemple à retenir. $x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$ est vraie ; sa réciproque est fausse ($x = -3$) ; sa contraposée $x^2 \neq 9 \Rightarrow x \neq 3$ est vraie.
Une implication et sa réciproque disent des choses différentes. « Tout carré est un rectangle » est vrai ; « tout rectangle est un carré » est faux. Confondre les deux est l'erreur de raisonnement la plus répandue — dans les copies comme dans la vie courante.
L'équivalence. Quand $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ sont vraies, on écrit $P \Leftrightarrow Q$ (« si et seulement si »). Par exemple : $x^2 = 9 \iff (x = 3 \text{ ou } x = -3).$
4. Le contre-exemple
Principe. Pour montrer qu'une proposition universelle (« pour tous… ») est fausse, il suffit d'exhiber un seul cas où elle échoue : un contre-exemple.
L'asymétrie est totale, et il faut la mesurer. Neuf exemples qui marchent ne prouvent rien — il reste une infinité de cas non testés. Un seul qui rate suffit à réfuter définitivement. Vérifier n'est pas démontrer ; réfuter, en revanche, ne demande qu'un exemple.
Les propositions se lisent aussi avec les mots de la quantification :
- universelle : « pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$ » ;
- existentielle : « il existe un réel $x$ tel que $x^2 = 2$ ».
Les symboles $\forall$ et $\exists$ sont hors programme en seconde : on écrit tout en français, ce qui est souvent plus clair.
Il y a des quantificateurs cachés partout. Quand on écrit « si $x > 2$ alors $x^2 > 4$ », le « pour tout réel $x$ » est sous-entendu ; de même l'identité $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ signifie « pour tous réels $a$ et $b$ ». Repérer ces quantificateurs, c'est comprendre ce qu'on affirme réellement.
5. Deux façons de démontrer
Par disjonction des cas. On sépare la situation en cas qui couvrent toutes les possibilités, et l'on traite chacun.
Exemple. Montrer que pour tout entier $n$, le produit $n(n+1)$ est pair. — Si $n$ est pair, le produit est un multiple d'un nombre pair, donc pair. — Si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair, et le produit l'est aussi. Ces deux cas épuisent les possibilités : la propriété est vraie pour tout $n$. $\blacksquare$
Par l'absurde. On suppose la proposition fausse, on en tire une contradiction ; c'est donc qu'elle est vraie.
Exemple. On a démontré ainsi au [chapitre 2] que $\sqrt2$ est irrationnel, et que $\frac13$ n'est pas décimal.
Une disjonction de cas n'est valable que si les cas COUVRENT tout. Traiter « $n$ pair » et « $n$ multiple de $3$ » ne démontre rien sur les autres entiers. Avant de conclure, la question est : ai-je bien envisagé toutes les possibilités ?
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Appartenance et inclusion
Soit $A = \{-2\,;0\,;1\,;5\}$. Vrai ou faux ? a. $0 \in A$ · b. $\{0\} \in A$ · c. $\{0\,;5\} \subset A$ · d. $\varnothing \subset A$ · e. $\operatorname{Card}(A) = 4$ · f. $-2 \subset A$
Correction. a. Vrai. b. Faux : $\{0\}$ est un ensemble, il faudrait écrire $\{0\} \subset A$. c. Vrai. d. Vrai : l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble. e. Vrai. f. Faux : $-2$ est un élément, on écrit $-2 \in A$.
Exercice 2 — Réunion et intersection
Soient $A = \{1\,;2\,;3\,;4\}$ et $B = \{3\,;4\,;5\}$ dans $E = \{1\,;\dots\,;6\}$. Déterminer $A \cup B$, $A\cap B$, $\overline A$ et $\operatorname{Card}(A\cup B)$.
Correction. $A\cup B = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\}$ · $A\cap B = \{3\,;4\}$ · $\overline A = \{5\,;6\}$. $\operatorname{Card}(A\cup B) = 4 + 3 - 2 = 5. \ \checkmark$
Exercice 3 — Le crible
Dans une classe de $30$ élèves, $18$ font de l'anglais, $14$ de l'espagnol et $6$ les deux. Combien font au moins une des deux langues ? Combien n'en font aucune ?
Correction. $\operatorname{Card}(A\cup E) = 18 + 14 - 6 = 26,$ donc $26$ élèves font au moins une langue et $30 - 26 = 4$ n'en font aucune.
Sans le crible on aurait écrit $18+14 = 32 > 30$ : les $6$ bilingues auraient été comptés deux fois.
Exercice 4 — Négations
Écrire la négation de chaque proposition. a. $x \geqslant 5$ · b. « le nombre est pair et positif » · c. « le triangle est isocèle ou rectangle ».
Correction. a. $x < 5$. b. « le nombre est impair ou négatif (ou nul) » — attention, la négation de « positif » est « strictement négatif » si l'on entend « positif » au sens de $\geqslant 0$. c. « le triangle n'est ni isocèle ni rectangle », c'est-à-dire « il n'est pas isocèle et il n'est pas rectangle ».
Exercice 5 — Réciproque et contraposée
Soit la proposition : « si $n$ est un multiple de $6$, alors $n$ est pair ». Écrire sa réciproque et sa contraposée, et dire si chacune est vraie.
Correction. Réciproque : « si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $6$ ». Fausse — $n = 4$ est un contre-exemple. Contraposée : « si $n$ n'est pas pair, alors $n$ n'est pas un multiple de $6$ ». Vraie, puisque l'implication de départ l'est.
Exercice 6 — Vrai ou faux, avec justification
a. Pour tout réel $x$, $x^2 > x$. b. Pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$. c. Il existe un entier dont le carré vaut $2$.
Correction. a. Faux : $x = 0{,}5$ donne $x^2 = 0{,}25 < 0{,}5$ (voir le [chapitre 7]). Un contre-exemple suffit. b. Vrai : un carré est toujours positif ou nul. c. Faux : $1^2 = 1$ et $2^2 = 4$, et le carré est croissant sur $\mathbb{N}$ — aucun entier ne peut donner $2$.
Exercice 7 — Disjonction de cas
Montrer que pour tout entier $n$, $n^2 + n + 1$ est impair.
Correction. On a $n^2 + n + 1 = n(n+1) + 1$. — Si $n$ est pair, $n(n+1)$ est pair (produit d'un pair par un entier). — Si $n$ est impair, $n+1$ est pair et $n(n+1)$ est encore pair. Dans tous les cas $n(n+1)$ est pair, donc $n(n+1) + 1$ est impair. $\blacksquare$
Les deux cas couvrent bien tous les entiers : un entier est pair ou impair, sans troisième possibilité.
Exercice 8 — Produit cartésien
Soient $A = \{1\,;2\,;3\}$ et $B = \{a\,;b\}$. a. Écrire tous les éléments de $A \times B$. b. Combien y en a-t-il ? c. $A\times B$ et $B \times A$ sont-ils égaux ?
Correction. a. $(1\,;a), (1\,;b), (2\,;a), (2\,;b), (3\,;a), (3\,;b)$. b. $3 \times 2 = 6$ couples. c. Non : $(1\,;a) \in A\times B$ mais $(1\,;a) \notin B\times A$, où les couples s'écrivent $(a\,;1)$. Ils ont le même cardinal, mais ce ne sont pas les mêmes objets.
À retenir
Ensembles : $\in$ pour un élément, $\subset$ pour un ensemble · $\varnothing \subset A$ toujours · le « ou » est inclusif. $\operatorname{Card}(A\cup B) = \operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)-\operatorname{Card}(A\cap B)$
Négations : $x > 2$ devient $x \leqslant 2$ · « et » devient « ou » et réciproquement.
Implication : la réciproque peut être fausse ; la contraposée est toujours vraie en même temps.
Un seul contre-exemple réfute un « pour tout ». Une infinité d'exemples ne démontre rien.
Deux raisonnements : par disjonction des cas (qui doivent tout couvrir) et par l'absurde.
Fin du programme de seconde. Les treize chapitres se répondent : le calcul littéral sert les équations, les équations servent les fonctions, les vecteurs servent les droites — et ce dernier chapitre donne à tous leur langage commun.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
← Chapitre 12 · Algorithmique et programmation en Python