Mathématiques — Seconde
Calcul algébrique — Maths Seconde (chapitre 3)
Puissances entières relatives, racines carrées, racine de a au carré égale valeur absolue de a, identités remarquables, factorisation et changement de sujet…
Par ProfBot
Calcul algébrique : puissances, racines et transformations
Chapitre 3 — Nombres et calculs · Seconde générale et technologique
Une même quantité peut s'écrire de plusieurs façons : $x^2 - 9$, $(x-3)(x+3)$, $(x-3)x + 3(x-3)$. Ces trois écritures désignent le même nombre pour toute valeur de $x$ — mais elles ne servent pas à la même chose. La deuxième donne immédiatement les solutions de l'équation ; la première, la valeur en $x=0$. Savoir choisir la forme est l'essentiel du calcul littéral, bien plus que savoir développer mécaniquement.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Règles de calcul sur les puissances entières relatives, sur les racines carrées ; relation $\sqrt{a^2} = |a|$. Exemples simples de calcul sur des expressions algébriques, en particulier fractionnaires. Identités $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$ ; factorisation de $ax^2+bx$ et $ax+bx$. Exprimer une variable en fonction des autres ($U = RI$, $d = vt$, $S = \pi r^2$, $V = abc$, $V = \pi r^2 h$) ; cas d'une relation du premier degré $ax + by = c$. Choisir la forme la plus adaptée d'une expression.
Démonstration exigible : quels que soient les réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$.
Algorithme : déterminer la première puissance d'un nombre positif donné supérieure (ou inférieure) à une valeur donnée.
1. Les puissances
Définition. Pour $a$ réel et $n$ entier naturel non nul :
$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \ (a \neq 0).$
Les cinq règles, valables pour tous entiers relatifs $m$ et $n$ :
$a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn},$ $(ab)^n = a^n b^n, \qquad \left(\frac ab\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.$
On additionne les exposants, on ne les multiplie pas. $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$, et non $2^{12}$. Le contrôle mental : $8 \times 16 = 128$. Vérifier une règle sur un petit exemple numérique coûte cinq secondes et évite la moitié des erreurs.
Et surtout : $a^m + a^n$ ne se simplifie PAS. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, qui n'est aucune puissance de $2$. Les règles ci-dessus concernent les produits et les quotients, jamais les sommes.
Signe d'une puissance. $(-2)^4 = 16$ mais $(-2)^3 = -8$ : une puissance paire d'un négatif est positive, une puissance impaire est négative.
$(-3)^2$ et $-3^2$ ne sont pas la même chose. Le premier vaut $9$, le second vaut $-9$ : sans parenthèses, la puissance s'applique avant le signe. C'est une faute de calculatrice classique.
Les puissances de $10$ servent d'échelle universelle : chaque graduation multiplie la taille par $100$. L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant |a| < 10$ ; ainsi $0{,}00047 = 4{,}7 \times 10^{-4}$.
2. Les racines carrées
Définition. Pour $a \geqslant 0$, $\sqrt a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$.
$(\sqrt a)^2 = a \quad (a \geqslant 0), \qquad \sqrt{a^2} = |a| \quad (a \text{ quelconque}).$
La formule $\sqrt{a^2} = |a|$, et non $a$. Si $a = -5$, alors $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$. Une racine carrée est toujours positive : elle ne peut pas rendre un nombre négatif. C'est le seul endroit du programme où la valeur absolue est exigée — et l'oublier est l'erreur type.
Les deux règles (et celles qui n'existent pas) : $\sqrt{ab} = \sqrt a \times \sqrt b \quad (a, b \geqslant 0), \qquad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} \quad (a \geqslant 0,\ b > 0).$
Il n'y a PAS de règle pour la somme. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Un seul contre-exemple suffit à écarter définitivement la « règle » $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$.
Démonstration de $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$
Soient $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$. Le nombre $\sqrt a \sqrt b$ est positif, comme produit de deux nombres positifs. Calculons son carré : $\left(\sqrt a \sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2 = a \times b.$ Ainsi $\sqrt a \sqrt b$ est un nombre positif dont le carré vaut $ab$. Or, par définition, il n'y en a qu'un seul : c'est $\sqrt{ab}$. Donc $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$. $\blacksquare$
La démonstration repose sur l'UNICITÉ. On ne calcule pas $\sqrt{ab}$ directement : on montre que $\sqrt a\sqrt b$ possède les deux propriétés qui caractérisent $\sqrt{ab}$ — être positif, et avoir $ab$ pour carré. C'est un type de raisonnement très fréquent en mathématiques.
Simplifier une racine. On extrait les carrés parfaits : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt2 = 6\sqrt2.$
Rendre le dénominateur rationnel. On multiplie haut et bas par la même racine : $\frac{3}{\sqrt5} = \frac{3 \times \sqrt5}{\sqrt5 \times \sqrt5} = \frac{3\sqrt5}{5}.$
3. Développer et factoriser
Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est l'inverse.
$k(a+b) = ka + kb, \qquad (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.$
Les trois identités remarquables
$\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2} \qquad \boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2} \qquad \boxed{(a-b)(a+b) = a^2 - b^2}$
La première identité est une histoire d'aire : le grand carré de côté $a+b$ se découpe en un carré $a^2$, deux rectangles $ab$ et un carré $b^2$.
Le double produit s'oublie une fois sur deux. $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : avec $a = 3$ et $b = 4$, le membre de gauche vaut $49$ et celui de droite $25$. La figure explique la différence : ce sont les deux rectangles $ab$ qui manquent.
La troisième identité aussi : on retire du carré $a^2$ un carré $b^2$, on découpe la partie restante, on la recolle — et l'on obtient un rectangle de dimensions $(a-b)$ et $(a+b)$.
Factoriser : chercher le facteur commun
$5x^2 + 3x = x(5x + 3), \qquad 7x + 2x = 9x, \qquad (x-1)(x+4) + (x-1)(2x) = (x-1)(3x+4).$
Le facteur commun n'est pas toujours un simple $x$. Dans le troisième exemple, c'est la parenthèse $(x-1)$ tout entière. Repérer un facteur commun composé est le geste décisif — et celui qu'on manque le plus souvent, parce qu'on a le réflexe de tout développer d'abord.
Reconnaître une identité pour factoriser : $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5), \qquad 9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2).$
4. Choisir la bonne forme
Considérons $A(x) = (x-2)^2 - 9$.
| Question posée | Forme utile | Réponse |
|---|---|---|
| $A(2)$ ? | telle quelle | $0 - 9 = -9$ |
| $A(x) = 0$ ? | factorisée | $(x-2)^2 - 9 = (x-2-3)(x-2+3) = (x-5)(x+1)$, d'où $x=5$ ou $x=-1$ |
| $A(0)$ ? | développée | $x^2 - 4x + 4 - 9 = x^2 - 4x - 5$, donc $A(0) = -5$ |
Une équation se résout sur la forme FACTORISÉE. Le seul outil disponible est : un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est. Tant que l'expression reste une somme, il n'y a rien à en tirer. C'est pour cela qu'on factorise — pas pour faire joli.
5. Exprimer une variable en fonction des autres
Une formule relie plusieurs grandeurs ; selon le problème, on cherche l'une ou l'autre. Isoler une variable, c'est appliquer aux deux membres les mêmes opérations.
| Formule | Domaine | Isoler |
|---|---|---|
| $U = RI$ | électricité | $R = \dfrac UI$ · $I = \dfrac UR$ |
| $d = vt$ | mouvement | $v = \dfrac dt$ · $t = \dfrac dv$ |
| $S = \pi r^2$ | disque | $r = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}$ (car $r \geqslant 0$) |
| $V = abc$ | pavé droit | $c = \dfrac{V}{ab}$ |
| $V = \pi r^2 h$ | cylindre | $h = \dfrac{V}{\pi r^2}$ |
Cas du premier degré $ax + by = c$ (avec $b \neq 0$) : $by = c - ax \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{c - ax}{b} = -\frac ab x + \frac cb.$ On reconnaîtra au [chapitre 9] l'équation réduite d'une droite.
La racine ne s'introduit qu'avec une condition de signe. De $S = \pi r^2$ on tire $r^2 = \frac{S}{\pi}$, donc $r = \sqrt{S/\pi}$ ou $r = -\sqrt{S/\pi}$. C'est le contexte — un rayon est positif — qui élimine la seconde. Sans ce contexte, il faudrait garder les deux.
6. Un algorithme : dépasser un seuil
Problème. Un capital de $1\,000$ € placé à $5\,\%$ par an est multiplié par $1{,}05$ chaque année. Au bout de combien d'années dépasse-t-il $2\,000$ € ?
def seuil(depart, facteur, cible):
"""Nombre d'étapes pour que depart × facteur^n dépasse cible."""
valeur = depart
n = 0
while valeur <= cible:
valeur = valeur * facteur
n = n + 1
return n, valeur
seuil(1000, 1.05, 2000) # (15, 2078.93...)
La boucle while répète tant que le seuil n'est pas franchi ; le compteur n retient le nombre de tours. Ici la réponse est 15 ans.
Une boucle
whilepeut ne jamais s'arrêter. Si le facteur était $0{,}95$ au lieu de $1{,}05$, la valeur diminuerait et ne dépasserait jamais $2\,000$ : le programme tournerait indéfiniment. Vérifier qu'une boucle non bornée termine fait partie du travail, pas de la décoration.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Puissances
Calculer sans calculatrice : a. $2^5 \times 2^{-3}$ · b. $\dfrac{3^7}{3^4}$ · c. $(5^2)^3$ · d. $\left(\dfrac23\right)^{-2}$ · e. $10^{-3} \times 10^{6}$.
Correction. a. $2^{5-3} = 2^2 = 4$. b. $3^{7-4} = 3^3 = 27$. c. $5^{2\times3} = 5^6 = 15\,625$. d. $\left(\frac23\right)^{-2} = \left(\frac32\right)^2 = \frac94 = 2{,}25$. e. $10^{-3+6} = 10^3 = 1\,000$.
Exercice 2 — Écriture scientifique
Écrire en notation scientifique : a. $47\,000$ · b. $0{,}00062$ · c. $(3 \times 10^4) \times (5 \times 10^{-7})$.
Correction. a. $4{,}7 \times 10^4$. b. $6{,}2 \times 10^{-4}$. c. $3 \times 5 = 15$ et $10^{4-7} = 10^{-3}$, d'où $15 \times 10^{-3}$ — qui n'est pas en écriture scientifique car $15 \geqslant 10$. On corrige : $1{,}5 \times 10^{-2}$.
Exercice 3 — Racines carrées
Simplifier : a. $\sqrt{50}$ · b. $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ · c. $\sqrt{(-6)^2}$ · d. $\dfrac{2}{\sqrt3}$.
Correction. a. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$. b. $\sqrt{12} = 2\sqrt3$ et $\sqrt{27} = 3\sqrt3$, donc la somme vaut $5\sqrt3$. c. $\sqrt{(-6)^2} = |-6| = 6$ — et non $-6$. d. $\dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$.
Exercice 4 — Développer
Développer et réduire : a. $(x+5)^2$ · b. $(2x-3)^2$ · c. $(x-4)(x+4)$ · d. $(3x+1)(x-2)$.
Correction. a. $x^2 + 10x + 25$. b. $(2x)^2 - 2\times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$. c. $x^2 - 16$. d. $3x^2 - 6x + x - 2 = 3x^2 - 5x - 2$.
Exercice 5 — Factoriser
Factoriser : a. $x^2 - 49$ · b. $4x^2 + 6x$ · c. $(x+3)(2x-1) - (x+3)$ · d. $x^2 + 8x + 16$.
Correction. a. $x^2 - 7^2 = (x-7)(x+7)$. b. $2x(2x + 3)$. c. Facteur commun $(x+3)$ — en pensant à écrire le second terme $(x+3) \times 1$ : $(x+3)\big[(2x-1) - 1\big] = (x+3)(2x-2) = 2(x+3)(x-1).$ d. C'est $x^2 + 2\times x\times 4 + 4^2 = (x+4)^2$.
Exercice 6 — Choisir la forme
Soit $B(x) = (2x-1)^2 - 16$. a. Développer $B$. b. Factoriser $B$. c. Résoudre $B(x) = 0$. d. Calculer $B(0)$ et $B\!\left(\frac12\right)$.
Correction. a. $B(x) = 4x^2 - 4x + 1 - 16 = 4x^2 - 4x - 15$. b. Différence de deux carrés, avec $16 = 4^2$ : $B(x) = (2x-1-4)(2x-1+4) = (2x-5)(2x+3).$ c. Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : $2x - 5 = 0$ donne $x = \frac52$, et $2x+3 = 0$ donne $x = -\frac32$. Donc $\mathcal{S} = \left\{-\frac32\,;\frac52\right\}$. d. Avec la forme développée, $B(0) = -15$. Avec la forme de départ, $B\!\left(\frac12\right) = (1-1)^2 - 16 = -16$.
Chaque question a été traitée avec la forme qui la rendait immédiate : c'est tout l'objet de l'exercice.
Exercice 7 — Isoler une variable
a. La formule du volume d'un cylindre est $V = \pi r^2 h$. Exprimer $h$. b. Un cylindre de rayon $5$ cm a un volume de $1\,000$ cm³. Calculer sa hauteur au dixième près.
Correction. a. En divisant les deux membres par $\pi r^2$ (non nul) : $h = \dfrac{V}{\pi r^2}$. b. $h = \dfrac{1\,000}{\pi \times 25} = \dfrac{40}{\pi} \approx 12{,}7$ cm.
Contrôle de vraisemblance : un cylindre d'environ $5$ cm de rayon et $13$ cm de haut, c'est à peu près une grande boîte de conserve — l'ordre de grandeur est bon.
À retenir
Puissances : $a^m a^n = a^{m+n}$ · $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ · $(a^m)^n = a^{mn}$ · $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ · $a^0 = 1$. Aucune règle pour la somme $a^m + a^n$. Attention à $-3^2 = -9$ contre $(-3)^2 = 9$.
Racines : $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ et $\sqrt{a/b} = \sqrt a/\sqrt b$, mais jamais pour une somme. $\sqrt{a^2} = |a|$
Identités remarquables : $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \qquad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \qquad (a-b)(a+b) = a^2-b^2$
Factoriser sert à résoudre (produit nul) ; développer sert à calculer une valeur. On choisit la forme selon la question posée.
Isoler une variable : mêmes opérations sur les deux membres ; une racine carrée n'apparaît qu'avec une condition de signe.
Chapitre suivant : les équations, les inéquations et les tableaux de signes.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
← Chapitre 2 · Les nombres réels, intervalles et valeur absolue | Chapitre 4 · Équations, inéquations et tableaux de signes →