Mathématiques — Seconde
Les vecteurs du plan — Maths Seconde (chapitre 8)
Vecteurs, représentants, somme et relation de Chasles, coordonnées, norme, milieu, colinéarité et déterminant, alignement et parallélisme. Programme 2026 de…
Par ProfBot
Les vecteurs du plan
Chapitre 8 — Géométrie · Seconde générale et technologique
Un vecteur, c'est un déplacement : « trois carreaux à droite, deux vers le haut ». Peu importe d'où l'on part — le déplacement est le même. C'est cette indépendance du point de départ qui fait toute la puissance de l'outil : elle permet de démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles, par un simple calcul de coordonnées.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Égalité de deux vecteurs, notation $\vec u$, vecteur nul. Représentants d'un vecteur. Produit d'un vecteur par un nombre réel ; colinéarité de deux vecteurs. Représentation d'un vecteur comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires. Base orthonormée, coordonnées d'un vecteur, expression de la norme. Coordonnées de $\vec{AB}$ en fonction de celles de $A$ et $B$. Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité, application à l'alignement et au parallélisme. Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment. Calculer la distance entre deux points et les coordonnées d'un milieu.
Démonstration exigible : caractérisations de la colinéarité de deux vecteurs non nuls — nullité du déterminant, proportionnalité des coordonnées.
1. Vecteur et représentants
Définition. Le vecteur $\vec{AB}$ est caractérisé par trois données :
- sa direction (celle de la droite $(AB)$) ;
- son sens (de $A$ vers $B$) ;
- sa norme $\|\vec{AB}\| = AB$, la longueur du segment.
Deux vecteurs sont égaux lorsque ces trois données coïncident. Chaque flèche qui les représente est appelée un représentant.
Propriété (caractérisation du parallélogramme). $\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Attention à l'ordre des lettres : c'est $ABDC$, et non $ABCD$. Le quadrilatère se parcourt en faisant le tour ; en allant de $A$ à $B$, puis de $B$ à $D$, puis de $D$ à $C$, puis de $C$ à $A$.
Le vecteur nul $\vec 0 = \vec{AA}$ a une norme nulle et pas de direction propre. Enfin, $\vec{BA} = -\vec{AB}$ : même direction, même longueur, sens opposé.
Un vecteur n'a pas de position. $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ peuvent être égaux tout en étant dessinés à deux endroits différents de la feuille. C'est ce qui distingue un vecteur d'un segment ou d'un point — et c'est pourquoi on peut « déplacer » une flèche pour la mettre bout à bout avec une autre.
2. Somme de deux vecteurs
Relation de Chasles. Pour tous points $A$, $B$, $C$ :
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.$
C'est l'enchaînement de deux déplacements. En pratique, on l'utilise dans les deux sens : pour regrouper deux vecteurs en un seul, ou pour découper un vecteur en passant par un point intermédiaire bien choisi.
Règle du parallélogramme. Si les deux vecteurs partent du même point, leur somme est la diagonale du parallélogramme qu'ils construisent. C'est la même somme, vue autrement.
Le point de « raccord » doit être le même. Dans $\vec{AB} + \vec{BC}$, le $B$ d'arrivée du premier est le $B$ de départ du second : il « s'élimine ». Écrire $\vec{AB} + \vec{CD}$ ne se simplifie pas — il faut d'abord introduire un point commun, par exemple en découpant $\vec{CD} = \vec{CB} + \vec{BD}$.
Produit par un réel. Pour $k$ réel, $k\vec u$ a la même direction que $\vec u$ ; son sens est celui de $\vec u$ si $k>0$, l'opposé si $k<0$ ; sa norme est $|k| \times \|\vec u\|$.
3. Coordonnées
On travaille dans un repère orthonormé $(O\,;\vec i,\vec j)$ : axes perpendiculaires, même unité sur les deux.
Propriétés. Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, alors
$\vec{AB}\ \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}, \qquad
\|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2},$
et le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées
$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right).$
« Arrivée moins départ », dans cet ordre. $\vec{AB}$ se calcule avec $B$ en premier. Inverser donne le vecteur opposé — et une erreur de signe qui se propage jusqu'au bout du problème. Contrôle instantané : sur la figure, on va vers la droite et vers le haut, donc les deux coordonnées doivent être positives.
La formule de la norme n'est autre que le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dessiné en pointillés.
Opérations en coordonnées. Si $\vec u\,(x\,;y)$ et $\vec v\,(x'\,;y')$ : $\vec u + \vec v\ \ (x+x'\,;\,y+y'), \qquad k\vec u\ \ (kx\,;ky).$ Et deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales deux à deux.
Caractérisation vectorielle du milieu. $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\vec{AI} = \vec{IB} \qquad \text{(ou encore } \vec{AI} = \tfrac12 \vec{AB}\text{)}.$
4. Colinéarité et déterminant
Définition. Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec v = k\vec u$ (ou $\vec u = k \vec v$). Géométriquement : ils ont la même direction.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Définition. Le déterminant de $\vec u\,(x\,;y)$ et $\vec v\,(x'\,;y')$ est le nombre
$\det(\vec u,\vec v) = xy' - yx'.$
Théorème. $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec u,\vec v) = 0$, c'est-à-dire $xy' = yx'$ — les coordonnées sont proportionnelles.
Démonstration (sens direct). Supposons $\vec u$ et $\vec v$ colinéaires, avec $\vec u$ non nul. Il existe alors $k$ tel que $\vec v = k \vec u$, c'est-à-dire $x' = kx$ et $y' = ky$. Donc $\det(\vec u,\vec v) = x y' - y x' = x(ky) - y(kx) = kxy - kxy = 0.$
Réciproque. Supposons $xy' - yx' = 0$, avec $\vec u\,(x\,;y)$ non nul — disons $x \neq 0$ (le cas $y \neq 0$ se traite de même). Posons $k = \dfrac{x'}{x}$. Alors $kx = x'$, et l'égalité $xy' = yx'$ donne $y' = \frac{yx'}{x} = y \times \frac{x'}{x} = ky.$ Les deux coordonnées de $\vec v$ sont donc celles de $k\vec u$ : $\vec v = k\vec u$, les vecteurs sont colinéaires. $\blacksquare$
Le déterminant remplace le dessin. Trois points alignés « à l'œil » peuvent ne pas l'être ; un déterminant nul, lui, ne se discute pas. C'est tout l'intérêt de la géométrie repérée : elle transforme une question de figure en un calcul que l'on peut vérifier.
Les deux applications
| Question | Traduction vectorielle |
|---|---|
| $A$, $B$, $C$ alignés ? | $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ colinéaires |
| $(AB)$ et $(CD)$ parallèles ? | $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ colinéaires |
Attention à la nuance : pour l'alignement, les deux vecteurs partent du même point $A$. Pour le parallélisme, ils partent de points différents — et si de plus $A$, $B$, $C$, $D$ sont alignés, les droites sont confondues, pas seulement parallèles.
5. Exercices corrigés
Dans tous les exercices, le plan est muni d'un repère orthonormé.
Exercice 1 — Coordonnées et norme
Soient $A(-1\,;2)$, $B(3\,;5)$ et $C(5\,;-1)$. a. Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$. b. Calculer $AB$ et $BC$. c. Déterminer le milieu $I$ de $[AC]$.
Correction. a. $\vec{AB}\,(3-(-1)\,;\,5-2) = (4\,;3)$ et $\vec{BC}\,(5-3\,;\,-1-5) = (2\,;-6)$. b. $AB = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$ et $BC = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32$. c. $I\left(\dfrac{-1+5}{2}\,;\,\dfrac{2+(-1)}{2}\right) = I(2\,;0{,}5)$.
Exercice 2 — Somme de vecteurs
Simplifier : a. $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$ · b. $\vec{AB} - \vec{AC}$ · c. $\vec{AB} + \vec{BA}$.
Correction. a. Deux applications de Chasles : $\vec{AB}+\vec{BC} = \vec{AC}$, puis $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$. b. $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$. c. $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec 0$.
Le point b mérite d'être retenu comme une formule : $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$, la « soustraction des deux origines communes ».
Exercice 3 — Alignement
Les points $A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$ et $C(10\,;5)$ sont-ils alignés ?
Correction. $\vec{AB}\,(3\,;1)$ et $\vec{AC}\,(9\,;3)$. Le déterminant vaut $3 \times 3 - 1 \times 9 = 9 - 9 = 0.$ Il est nul : les vecteurs sont colinéaires, donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
On voit d'ailleurs directement que $\vec{AC} = 3\,\vec{AB}$.
Exercice 4 — Parallélisme
Soient $A(0\,;1)$, $B(2\,;5)$, $C(3\,;0)$ et $D(6\,;7)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Correction. $\vec{AB}\,(2\,;4)$ et $\vec{CD}\,(3\,;7)$. Le déterminant vaut $2\times7 - 4\times3 = 14 - 12 = 2 \neq 0.$ Les vecteurs ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles, elles sont sécantes.
Le déterminant vaut $2$, un petit nombre : les droites sont presque parallèles, ce qu'un dessin à main levée aurait pu faire croire. Le calcul tranche.
Exercice 5 — Parallélogramme
Soient $A(-2\,;1)$, $B(1\,;3)$ et $C(4\,;2)$. Déterminer le point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Correction. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$. On a $\vec{AB}\,(3\,;2)$. En notant $D(x\,;y)$, $\vec{DC}\,(4-x\,;2-y)$. L'égalité donne $\begin{cases} 4 - x = 3 \\ 2 - y = 2 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x = 1 \\ y = 0.\end{cases}$ Donc $D(1\,;0)$.
Contrôle par les diagonales : le milieu de $[AC]$ est $\left(\frac{-2+4}{2}\,;\frac{1+2}{2}\right) = (1\,;1{,}5)$, et celui de $[BD]$ est $\left(\frac{1+1}{2}\,;\frac{3+0}{2}\right) = (1\,;1{,}5)$. Les diagonales se coupent en leur milieu ✓.
Exercice 6 — Nature d'un triangle
Soient $A(1\,;1)$, $B(5\,;3)$ et $C(3\,;7)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$.
Correction. On calcule les trois longueurs : $AB = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}, \quad AC = \sqrt{2^2+6^2} = \sqrt{40}, \quad BC = \sqrt{(-2)^2+4^2} = \sqrt{20}.$ Donc $AB = BC = \sqrt{20}$ : le triangle est isocèle en $B$, et non en $A$. Vérifions la réciproque de Pythagore : $AB^2 + BC^2 = 20 + 20 = 40$ et $AC^2 = 40$. L'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle en $B$.
Conclusion : $ABC$ est rectangle et isocèle en $B$. L'énoncé annonçait $A$ : il faut savoir contredire une affirmation quand le calcul l'exige — le sommet de l'angle droit est celui qui est commun aux deux côtés égaux.
À retenir
Un vecteur = direction + sens + norme. Il n'a pas de position ; ses représentants sont des flèches.
$\vec{AB} = \vec{CD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme}$
Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ · $\vec{BA} = -\vec{AB}$ · $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
Coordonnées ($B$ moins $A$, dans cet ordre) : $\vec{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A), \qquad AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}, \qquad I\left(\tfrac{x_A+x_B}{2}\,;\tfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
Colinéarité : $\det(\vec u,\vec v) = xy' - yx' = 0 \iff \vec u \text{ et } \vec v \text{ colinéaires.}$ Alignement de $A$, $B$, $C$ → $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Parallélisme de $(AB)$ et $(CD)$ → $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$.
Chapitre suivant : les droites du plan — équations, pente et intersections.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
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