Mathématiques — Seconde
Équations, inéquations et signes — Maths Seconde (chapitre 4)
Règles sur les inégalités, équations et inéquations du premier degré, équation produit nul, équation quotient, tableaux de signes, résolution de x carré…
Par ProfBot
Équations, inéquations et tableaux de signes
Chapitre 4 — Nombres et calculs · Seconde générale et technologique
Une inégalité se manipule presque comme une égalité — presque. Multipliez $2 < 5$ par $-3$ : vous obtenez $-6$ et $-15$, et c'est bien $-6 > -15$. Le sens s'est retourné. Cette unique différence est la source de la majorité des erreurs de l'année, et c'est par là que commence ce chapitre.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Somme d'inégalités ; produit d'une inégalité par un réel positif, négatif. Comparaison additive (par différence), comparaison multiplicative (par rapport, pour deux nombres strictement positifs). Ensemble des solutions des équations $ax+b=0$ et des inéquations $ax+b>0$. Équation produit nul $A(x)B(x)=0$. Étude du signe des expressions $A(x)B(x)$ et $\frac{A(x)}{B(x)}$. Équation quotient $\frac{A(x)}{B(x)} = k$, en lien avec l'ensemble de définition. Modéliser un problème par une inéquation. Résoudre $x^2 = a$.
1. Comparer deux nombres
Deux méthodes, et il faut savoir choisir.
Comparaison additive (par différence). Pour tous réels $a$ et $b$ :
$a < b \iff b - a > 0.$
Comparaison multiplicative (par rapport). Pour $a$ et $b$ strictement positifs :
$a < b \iff \frac ba > 1.$
Exemple. Comparer $\dfrac{7}{9}$ et $\dfrac{8}{11}$. Par différence : $\frac79 - \frac8{11} = \frac{77 - 72}{99} = \frac{5}{99} > 0, \qquad \text{donc } \frac79 > \frac8{11}.$
Le rapport ne vaut QUE pour des nombres positifs. Avec $a = -2$ et $b = 1$, le rapport $\frac{b}{a} = -0{,}5$ est inférieur à $1$ alors que $a < b$ : la règle tombe en défaut. La comparaison par différence, elle, marche toujours.
2. Les règles sur les inégalités
Propriétés. Soient $a$, $b$, $c$ des réels avec $a \leqslant b$.
- Ajouter un même nombre conserve l'ordre : $a + c \leqslant b + c$.
- Multiplier par $c > 0$ conserve l'ordre : $ac \leqslant bc$.
- Multiplier par $c < 0$ RENVERSE l'ordre : $ac \geqslant bc$.
- On peut additionner deux inégalités de même sens : si $a \leqslant b$ et $c \leqslant d$, alors $a + c \leqslant b + d$.
On ne SOUSTRAIT jamais deux inégalités, et on ne les divise pas non plus. De $3 < 5$ et $1 < 10$, on ne peut rien conclure sur $3-1$ et $5-10$ : ici $2 > -5$, l'ordre est retourné. Seule l'addition membre à membre est licite.
3. Équations et inéquations du premier degré
Propriété. Pour $a \neq 0$, l'équation $ax + b = 0$ a une unique solution :
$x = -\frac ba.$
L'inéquation $ax + b > 0$ se résout de la même façon, en surveillant le signe de $a$ au moment de diviser :
$3x - 12 > 0 \iff 3x > 12 \iff x > 4, \qquad \mathcal{S} = ]4\,;+\infty[.$ $-2x + 6 > 0 \iff -2x > -6 \iff x < 3, \qquad \mathcal{S} = ]-\infty\,;3[.$
Dans le second exemple, le sens change parce qu'on divise par $-2$. L'erreur consiste à écrire mécaniquement $x > 3$. Contrôle en cinq secondes : $x = 0$ donne $-2(0) + 6 = 6 > 0$, donc $0$ est solution — et $0 < 3$ confirme le sens trouvé. Tester une valeur est le réflexe qui sauve.
Écrire l'ensemble des solutions. On répond par un intervalle : $\mathcal{S} = ]4\,;+\infty[ \quad \text{et non « } x > 4 \text{ » seulement.}$
4. L'équation produit nul
Propriété fondamentale. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
$A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0.$
Exemple. $(2x-6)(x+4) = 0 \iff 2x - 6 = 0$ ou $x + 4 = 0 \iff x = 3$ ou $x = -4$.
Cette propriété n'existe QUE pour le zéro. De $A \times B = 12$ on ne peut rien déduire sur $A$ et $B$ : $12 = 3\times4 = 2\times6 = 24 \times 0{,}5\dots$ Pour résoudre $(x-1)(x+2) = 4$, il faut d'abord tout ramener à $0$, puis factoriser à nouveau.
C'est pourquoi résoudre commence presque toujours par factoriser : $x^2 - 5x = 0 \iff x(x-5) = 0 \iff x = 0 \ \text{ ou } \ x = 5.$
Ne jamais diviser par une expression contenant $x$. Simplifier $x^2 = 5x$ par $x$ donnerait $x = 5$ et perdrait la solution $x = 0$. Si l'expression par laquelle on divise peut s'annuler, on perd des solutions sans s'en apercevoir.
5. Tableaux de signes
Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient, on étudie chaque facteur, puis on combine par la règle des signes.
Signe de $ax + b$ : la seule racine est $x = -\frac ba$ ; l'expression est du signe de $a$ après cette racine.
Le tableau pour $P(x) = (2x-6)(x+4)$, racines rangées dans l'ordre croissant $-4 < 3$ :
| $x$ | $-\infty$ | $-4$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $2x-6$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | |||
| $x+4$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | |||
| $P(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
On lit alors toutes les réponses :
- $P(x) = 0$ pour $x \in \{-4\,;3\}$ ;
- $P(x) > 0$ pour $x \in ]-\infty\,;-4[ \,\cup\, ]3\,;+\infty[$ ;
- $P(x) < 0$ pour $x \in ]-4\,;3[$.
Ranger les racines dans l'ordre croissant, toujours. Un tableau où $3$ précède $-4$ donne des signes justes ligne par ligne mais une conclusion fausse. C'est une erreur silencieuse : rien ne la signale.
Le cas du quotient
Pour $Q(x) = \dfrac{x-1}{x+2}$, la règle des signes est la même, mais la valeur interdite change tout : en $x = -2$ le dénominateur s'annule, donc $Q$ n'existe pas. On l'indique par une double barre.
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $1$ | $+\infty$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x - 1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||||
| $x + 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | ||||
| $Q(x)$ | $+$ | $\ | $ | $-$ | $0$ | $+$ |
Zéro au numérateur, valeur interdite au dénominateur. Un quotient est nul quand son numérateur l'est (et que le dénominateur ne l'est pas). Il n'est jamais nul « à cause du dénominateur » : là, il n'existe pas du tout. L'ensemble de définition est ici $\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
6. L'équation quotient
Pour résoudre $\dfrac{A(x)}{B(x)} = k$, on procède en trois temps :
- écarter les valeurs interdites — celles qui annulent $B(x)$ ;
- multiplier les deux membres par $B(x)$ (non nul) et résoudre ;
- vérifier que la solution trouvée n'est pas une valeur interdite.
Exemple. Résoudre $\dfrac{2x+1}{x-3} = 5$.
Valeur interdite : $x = 3$, donc $\mathcal{D} = \mathbb{R}\setminus\{3\}$. $\frac{2x+1}{x-3} = 5 \iff 2x + 1 = 5(x-3) \iff 2x+1 = 5x - 15 \iff 16 = 3x \iff x = \frac{16}{3}.$ Or $\frac{16}{3} \approx 5{,}33 \neq 3$ : la solution est acceptable, $\mathcal{S} = \left\{\frac{16}{3}\right\}$.
7. L'équation $x^2 = a$
Propriété. L'équation $x^2 = a$ a
- deux solutions $-\sqrt a$ et $\sqrt a$ si $a > 0$ ;
- une solution $x = 0$ si $a = 0$ ;
- aucune solution si $a < 0$.
$x^2 = 9$ n'a pas pour seule solution $3$. Le carré ne distingue pas un nombre de son opposé : $(-3)^2 = 9$ aussi. Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente du chapitre — et la figure explique pourquoi : la parabole coupe l'horizontale en deux points, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
On peut aussi retrouver le résultat par la factorisation, ce qui évite d'avoir à retenir la règle : $x^2 = 9 \iff x^2 - 9 = 0 \iff (x-3)(x+3) = 0 \iff x = 3 \ \text{ ou } \ x = -3.$
8. Modéliser par une inéquation
Problème. Un forfait A coûte $15$ € par mois plus $0{,}20$ € par SMS ; un forfait B coûte $25$ € par mois, SMS illimités. À partir de combien de SMS le forfait B est-il plus avantageux ?
Mise en équation. Soit $n$ le nombre de SMS. On cherche les $n$ tels que $15 + 0{,}20\,n > 25.$ $0{,}20\,n > 10 \iff n > \frac{10}{0{,}20} = 50.$
Comme $n$ est un entier, le forfait B devient avantageux à partir de $n = 51$ SMS.
La dernière étape est la plus oubliée : revenir au contexte. L'inéquation donne $n > 50$ ; le problème demande un nombre entier de SMS, donc $51$. Un résultat mathématique juste peut donner une réponse fausse à la question posée si on ne le retraduit pas.
9. Exercices corrigés
Exercice 1 — Comparer
Comparer sans calculatrice : a. $\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{7}{10}$ · b. $\sqrt{10}$ et $3{,}2$.
Correction. a. Par différence : $\dfrac57 - \dfrac7{10} = \dfrac{50 - 49}{70} = \dfrac{1}{70} > 0$, donc $\dfrac57 > \dfrac7{10}$. b. Les deux nombres sont positifs, on compare les carrés : $(\sqrt{10})^2 = 10$ et $3{,}2^2 = 10{,}24$. Comme $10 < 10{,}24$, on a $\sqrt{10} < 3{,}2$.
Exercice 2 — Inéquations du premier degré
Résoudre et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. a. $5x - 3 \leqslant 12$ · b. $-4x + 7 < 15$ · c. $2(x-1) \geqslant 3x + 4$.
Correction. a. $5x \leqslant 15$, donc $x \leqslant 3$ : $\mathcal{S} = ]-\infty\,;3]$. b. $-4x < 8$, et en divisant par $-4$ le sens s'inverse : $x > -2$, donc $\mathcal{S} = ]-2\,;+\infty[$. c. $2x - 2 \geqslant 3x + 4 \iff -6 \geqslant x$, donc $\mathcal{S} = ]-\infty\,;-6]$.
Vérification de c avec $x = -10$ : à gauche $2(-11) = -22$, à droite $-30+4 = -26$, et $-22 \geqslant -26$. C'est bien vérifié.
Exercice 3 — Équations produit
Résoudre : a. $(x-7)(2x+1) = 0$ · b. $x^2 = 3x$ · c. $4x^2 - 25 = 0$.
Correction. a. $x = 7$ ou $x = -\frac12$, soit $\mathcal{S} = \left\{-\frac12\,;7\right\}$. b. On ramène à zéro sans diviser par $x$ : $x^2 - 3x = 0 \iff x(x-3) = 0$, d'où $\mathcal{S} = \{0\,;3\}$. c. $(2x)^2 - 5^2 = (2x-5)(2x+5) = 0$, d'où $\mathcal{S} = \left\{-\frac52\,;\frac52\right\}$.
Exercice 4 — Tableau de signes
Étudier le signe de $f(x) = (3-x)(x+2)$ puis résoudre $f(x) \geqslant 0$.
Correction. Racines : $x = 3$ et $x = -2$. Attention au facteur $3-x$, dont le coefficient devant $x$ est $-1$ : il est positif avant $3$ et négatif après.
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $3-x$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | |||
| $x+2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | |||
| $f(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Donc $f(x) \geqslant 0$ pour $x \in [-2\,;3]$.
Contrôle : $f(0) = 3 \times 2 = 6 > 0$, et $0$ est bien dans $[-2\,;3]$.
Exercice 5 — Quotient
Soit $g(x) = \dfrac{2x - 8}{x + 1}$. a. Donner l'ensemble de définition. b. Étudier le signe de $g$. c. Résoudre $g(x) \leqslant 0$.
Correction. a. Le dénominateur s'annule pour $x = -1$ : $\mathcal{D} = \mathbb{R}\setminus\{-1\}$. b. $2x - 8$ s'annule en $4$ ; $x+1$ en $-1$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $4$ | $+\infty$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $2x-8$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||||
| $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | ||||
| $g(x)$ | $+$ | $\ | $ | $-$ | $0$ | $+$ |
c. $g(x) \leqslant 0$ sur $\,]-1\,;4]$ — borne $-1$ exclue (valeur interdite), borne $4$ incluse (le quotient y est nul).
Exercice 6 — Équation quotient
Résoudre $\dfrac{3x - 2}{x + 4} = 2$.
Correction. Valeur interdite : $x = -4$. $3x - 2 = 2(x+4) \iff 3x - 2 = 2x + 8 \iff x = 10.$ $10 \neq -4$ : la solution convient, $\mathcal{S} = \{10\}$.
Vérification : $\dfrac{3\times10 - 2}{10+4} = \dfrac{28}{14} = 2$. ✓
Exercice 7 — Un problème
Un rectangle a un périmètre de $40$ cm. On note $x$ sa largeur. a. Exprimer sa longueur en fonction de $x$. b. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire dépasse-t-elle $96$ cm² ?
Correction. a. Le demi-périmètre vaut $20$, donc la longueur est $20 - x$. Il faut de plus $0 < x < 20$ pour que le rectangle existe.
b. L'aire vaut $x(20-x)$ et l'on cherche $x(20-x) > 96$, soit $-x^2 + 20x - 96 > 0 \iff x^2 - 20x + 96 < 0.$ On factorise en remarquant que $8 + 12 = 20$ et $8 \times 12 = 96$ : $x^2 - 20x + 96 = (x-8)(x-12).$ Ce produit est négatif entre ses racines, donc $x \in \,]8\,;12[$ — ce qui est bien compatible avec $0 < x < 20$.
Contrôle : pour $x = 10$ (le carré), l'aire vaut $100 > 96$ ✓ ; pour $x = 8$, elle vaut exactement $96$, donc la stricte inégalité l'exclut ✓.
À retenir
Inégalités : ajouter conserve · multiplier par un positif conserve · multiplier par un négatif renverse · on additionne deux inégalités de même sens, on ne les soustrait jamais.
Produit nul : $A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ou} \ B = 0$ — valable pour le zéro uniquement. Ne jamais diviser par une expression qui contient $x$ : on perd des solutions.
Tableau de signes : racines dans l'ordre croissant ; $ax+b$ est du signe de $a$ après sa racine ; au dénominateur, une double barre pour la valeur interdite.
Équation quotient : écarter les valeurs interdites d'abord, vérifier la solution ensuite.
$x^2 = a \ \Rightarrow\ \begin{cases} x = \pm\sqrt a & \text{si } a > 0\\ x = 0 & \text{si } a = 0\\ \text{pas de solution} & \text{si } a < 0\end{cases}$
Modéliser : poser l'inconnue, écrire l'inéquation, résoudre — puis revenir au contexte.
Chapitre suivant : les fonctions, leur ensemble de définition et leur lecture graphique.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
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