Mathématiques — Seconde
Probabilités et tableaux croisés — Maths Seconde (chapitre 11)
Loi des grands nombres, tableaux croisés, fréquences conditionnelles et marginales, probabilités conditionnelles, arbres pondérés et pièges des faux…
Par ProfBot
Probabilités, tableaux croisés et conditionnement
Chapitre 11 — Statistiques et probabilités · Seconde générale et technologique
Un test de dépistage détecte $95\,\%$ des malades et ne se trompe que dans $3\,\%$ des cas chez les gens sains. Votre test est positif. Quelle est la probabilité que vous soyez malade ? La réponse spontanée — « environ $95\,\%$ » — est très fausse : c'est environ $39\,\%$. Ce chapitre explique pourquoi, et donne les outils qui empêchent de se tromper : les tableaux croisés et les arbres pondérés.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Croisement de deux variables qualitatives : tableau croisé d'effectifs, fréquence conditionnelle, fréquence marginale. Probabilités : version vulgarisée de la loi des grands nombres — « lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité » ; probabilité conditionnelle $P_A(B)$ d'un événement $B$ sachant un événement $A$ de probabilité non nulle ; arbres de probabilité et calcul de probabilités. Faire le lien entre la définition des probabilités conditionnelles et la multiplication des probabilités le long d'un chemin. Distinguer $P_A(B)$ et $P_B(A)$, notamment dans les situations de type « faux positifs ».
Le calcul de la probabilité d'un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l'univers n'est pas un attendu du programme.
1. Rappels : le modèle probabiliste
Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles, qui forment l'univers $\Omega$. Un événement est un ensemble d'issues. Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre positif, la somme faisant $1$.
Propriété (équiprobabilité). Lorsque toutes les issues ont la même probabilité,
$P(A) = \frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)} = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.$
On a toujours $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$, et $P(\overline A) = 1 - P(A)$.
L'équiprobabilité est une HYPOTHÈSE, pas un théorème. Elle se justifie par la symétrie de l'objet (un dé équilibré, une pièce, un tirage au hasard) — ou par l'observation de fréquences. Elle ne se démontre jamais. Sur un dé pipé, la formule ci-dessus donne des résultats faux, et rien dans le calcul ne le signale.
La loi des grands nombres
Version vulgarisée. Lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée d'un événement est proche de sa probabilité.
C'est le pont entre les statistiques (ce qu'on observe) et les probabilités (ce qu'on modélise). Sur la figure, chaque courbe part de façon très irrégulière — avec $10$ lancers, tout peut arriver — puis se stabilise vers $0{,}5$.
La loi des grands nombres ne dit rien du prochain lancer. Après cinq « pile » d'affilée, la pièce n'a aucune « dette » : $P(\text{pile}) = 0{,}5$ encore et toujours. Ce n'est pas une force de rappel, c'est une simple dilution : les cinq premiers lancers pèsent de moins en moins dans la moyenne à mesure que $n$ grandit.
2. Tableau croisé, fréquences marginales et conditionnelles
Quand on croise deux caractères — sexe et pratique sportive, par exemple — on dresse un tableau croisé d'effectifs.
| aime le sport | n'aime pas | TOTAL | |
|---|---|---|---|
| filles | $48$ | $32$ | $\mathbf{80}$ |
| garçons | $54$ | $16$ | $\mathbf{70}$ |
| TOTAL | $\mathbf{102}$ | $\mathbf{48}$ | $\mathbf{150}$ |
Définitions.
- Une fréquence marginale se calcule sur l'ensemble du groupe : $\dfrac{102}{150} = 0{,}68$, soit $68\,\%$ des élèves aiment le sport.
- Une fréquence conditionnelle se calcule sur une sous-population : parmi les filles, $\dfrac{48}{80} = 0{,}60$, soit $60\,\%$.
Le dénominateur change tout. $\frac{48}{150}$ ($32\,\%$) est la proportion de « filles aimant le sport » dans tout le groupe ; $\frac{48}{80}$ ($60\,\%$) est la proportion de sportives parmi les filles ; $\frac{48}{102}$ ($47\,\%$) est la proportion de filles parmi ceux qui aiment le sport. Trois nombres différents pour la même case : la question à se poser est toujours « rapporté à quel effectif ? ».
3. Probabilité conditionnelle
Définition. Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$, est la probabilité de $B$ lorsqu'on sait déjà que $A$ est réalisé.
Dans une situation d'équiprobabilité :
$P_A(B) = \frac{\operatorname{Card}(A \cap B)}{\operatorname{Card}(A)}.$
C'est exactement la fréquence conditionnelle du paragraphe précédent, vue du côté probabiliste : on change d'univers, en se restreignant à $A$.
Exemple (tableau ci-dessus, tirage au sort d'un élève). Avec $F$ = « c'est une fille » et $S$ = « aime le sport » : $P(S) = \frac{102}{150} \approx 0{,}68, \qquad P_F(S) = \frac{48}{80} = 0{,}60, \qquad P_S(F) = \frac{48}{102} \approx 0{,}47.$
$P_A(B)$ et $P_B(A)$ n'ont RIEN à voir. « La probabilité qu'un footballeur soit un homme » est proche de $1$ ; « la probabilité qu'un homme soit footballeur » est minuscule. Confondre les deux s'appelle l'inversion du conditionnement, et c'est l'erreur de raisonnement la plus coûteuse de tout le programme — les tribunaux et la presse s'y trompent régulièrement.
4. Les arbres pondérés
Règles de lecture.
- Les branches issues d'un même nœud portent des probabilités dont la somme vaut $1$.
- À partir du deuxième niveau, une branche porte une probabilité conditionnelle.
- Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités.
Exemple. Une maladie touche $2\,\%$ de la population. Le test est positif chez $95\,\%$ des malades et chez $3\,\%$ des personnes saines. Alors $P(M \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019, \qquad P(\overline M \cap T) = 0{,}98 \times 0{,}03 = 0{,}0294.$
La multiplication le long d'un chemin est la définition même du conditionnement. $P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T)$ : d'abord la probabilité d'arriver au premier nœud, puis celle de continuer sachant qu'on y est. C'est pourquoi la deuxième branche porte une probabilité conditionnelle — et pourquoi il ne faut jamais multiplier deux probabilités « brutes » sans se demander si elles sont conditionnelles.
5. Le piège des faux positifs
Reprenons l'exemple sur une population de $10\,000$ personnes — la méthode la plus sûre est de raisonner en effectifs, pas en probabilités.
| test positif | test négatif | TOTAL | |
|---|---|---|---|
| malades | $190$ | $10$ | $200$ |
| sains | $294$ | $9\,506$ | $9\,800$ |
| TOTAL | $\mathbf{484}$ | $\mathbf{9\,516}$ | $\mathbf{10\,000}$ |
Détail : $2\,\%$ de $10\,000$ font $200$ malades, dont $95\,\%$ soit $190$ dépistés ; et $3\,\%$ des $9\,800$ personnes saines, soit $294$, sont positives à tort.
La probabilité cherchée est donc $P_T(M) = \frac{190}{484} \approx 0{,}39,$ alors que $P_M(T) = 0{,}95$. Deux nombres très différents pour la même expérience.
Pourquoi si peu ? Parce que les personnes saines sont beaucoup plus nombreuses. Même avec un taux d'erreur faible ($3\,\%$), $3\,\%$ de $9\,800$ font davantage que $95\,\%$ de $200$. C'est la rareté de la maladie qui écrase la performance du test — et c'est la raison pour laquelle on ne dépiste pas massivement une maladie rare, ou l'on confirme toujours par un second examen.
Le vocabulaire médical, à connaître :
| Terme | Définition |
|---|---|
| sensibilité | $P_M(T)$ : proportion de malades correctement détectés |
| spécificité | $P_{\overline M}(\overline T)$ : proportion de sains correctement rassurés |
| faux positif | test positif alors que la personne est saine |
| faux négatif | test négatif alors que la personne est malade |
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Tableau croisé
Dans un club de $200$ membres, $120$ sont des adultes ; $75$ des adultes et $30$ des jeunes pratiquent la compétition. a. Dresser le tableau croisé complet. b. Quelle proportion des membres pratique la compétition ? c. Quelle proportion des jeunes pratique la compétition ? d. Parmi les compétiteurs, quelle proportion sont des adultes ?
Correction. a. Il y a $200 - 120 = 80$ jeunes.
| compétition | loisir | TOTAL | |
|---|---|---|---|
| adultes | $75$ | $45$ | $120$ |
| jeunes | $30$ | $50$ | $80$ |
| TOTAL | $\mathbf{105}$ | $\mathbf{95}$ | $\mathbf{200}$ |
b. $\dfrac{105}{200} = 0{,}525$, soit $52{,}5\,\%$ (fréquence marginale). c. $\dfrac{30}{80} = 0{,}375$, soit $37{,}5\,\%$ (fréquence conditionnelle parmi les jeunes). d. $\dfrac{75}{105} \approx 0{,}714$, soit environ $71{,}4\,\%$.
Les questions c et d portent sur la même population croisée mais changent de dénominateur : ce sont bien deux nombres différents.
Exercice 2 — Probabilités conditionnelles
On tire au sort un membre du club précédent. On note $A$ = « c'est un adulte » et $C$ = « il pratique la compétition ». Calculer $P(A)$, $P(A \cap C)$, $P_A(C)$ et $P_C(A)$.
Correction. $P(A) = \frac{120}{200} = 0{,}6, \qquad P(A \cap C) = \frac{75}{200} = 0{,}375,$ $P_A(C) = \frac{75}{120} = 0{,}625, \qquad P_C(A) = \frac{75}{105} \approx 0{,}714.$
On vérifie au passage la règle du produit : $P(A) \times P_A(C) = 0{,}6 \times 0{,}625 = 0{,}375 = P(A\cap C)$ ✓.
Exercice 3 — Arbre
Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes. On tire deux boules sans remise. a. Construire l'arbre des probabilités. b. Calculer la probabilité d'obtenir deux rouges. c. Calculer la probabilité d'obtenir une rouge puis une verte.
Correction. a. Au premier tirage : $P(R_1) = \frac58$ et $P(V_1) = \frac38$. Au second, il ne reste que $7$ boules : $P_{R_1}(R_2) = \frac47, \quad P_{R_1}(V_2) = \frac37, \quad P_{V_1}(R_2) = \frac57, \quad P_{V_1}(V_2) = \frac27.$ b. $P(R_1 \cap R_2) = \dfrac58 \times \dfrac47 = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}357$. c. $P(R_1 \cap V_2) = \dfrac58 \times \dfrac37 = \dfrac{15}{56} \approx 0{,}268$.
Le « sans remise » se lit sur le dénominateur du second niveau : $7$ et non $8$. C'est là, et nulle part ailleurs, que la dépendance apparaît.
Exercice 4 — Le test, autrement
Une maladie touche $1$ personne sur $1\,000$. Un test la détecte dans $99\,\%$ des cas et donne $2\,\%$ de faux positifs. On teste $100\,000$ personnes. a. Combien de vrais positifs ? de faux positifs ? b. Quelle est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ?
Correction. a. Malades : $\frac{100\,000}{1\,000} = 100$, dont $99\,\%$ soit $99$ vrais positifs. Sains : $99\,900$, dont $2\,\%$ soit $1\,998$ faux positifs. b. $P_T(M) = \frac{99}{99 + 1\,998} = \frac{99}{2\,097} \approx 0{,}047.$
Moins de $5\,\%$ ! Plus la maladie est rare, plus le résultat est contre-intuitif — ici les faux positifs sont vingt fois plus nombreux que les vrais.
Exercice 5 — Distinguer les deux sens
Reformuler chaque phrase avec la notation adaptée, puis dire si les deux se confondent. a. « $80\,\%$ des accidents graves impliquent un conducteur ayant moins de deux ans de permis. » b. « $80\,\%$ des jeunes conducteurs ont un accident grave. »
Correction. a. $P_{\text{accident}}(\text{jeune conducteur}) = 0{,}80$. b. $P_{\text{jeune conducteur}}(\text{accident}) = 0{,}80$. Les deux affirmations sont totalement différentes : la première est une statistique plausible sur une population d'accidentés, la seconde serait délirante. Le glissement de l'une à l'autre est fréquent dans les commentaires de chiffres.
Exercice 6 — Équiprobabilité
On lance deux dés équilibrés à six faces et l'on note la somme. a. Combien y a-t-il d'issues équiprobables ? b. Calculer $P(\text{somme} = 7)$ et $P(\text{somme} = 2)$. c. Pourquoi ne peut-on pas dire que les $11$ sommes possibles sont équiprobables ?
Correction. a. $6 \times 6 = 36$ couples $(d_1\,;d_2)$, tous de probabilité $\frac1{36}$. b. La somme $7$ s'obtient de $6$ façons — $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — d'où $P = \frac{6}{36} = \frac16$. La somme $2$ ne s'obtient que par $(1,1)$ : $P = \frac{1}{36}$. c. Parce que les sommes ne correspondent pas au même nombre de couples. L'équiprobabilité vaut pour les $36$ couples, pas pour les $11$ sommes : c'est le choix du bon univers qui fait la validité du calcul.
À retenir
$P(A) = \frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)} \ \text{(équiprobabilité)}, \qquad P_A(B) = \frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(A)}$
Loi des grands nombres (version vulgarisée) : pour $n$ grand, la fréquence observée est proche de la probabilité — mais elle ne prédit pas le prochain tirage.
Fréquence marginale (sur tout le groupe) $\neq$ fréquence conditionnelle (sur une sous-population). Toujours se demander : rapporté à quel effectif ?
Arbre pondéré : somme $1$ à chaque nœud · probabilités conditionnelles dès le 2ᵉ niveau · on multiplie le long d'un chemin.
$P_A(B) \neq P_B(A)$
Faux positifs : quand la maladie est rare, un test positif est le plus souvent une erreur. La méthode sûre : raisonner sur des effectifs, dans un tableau.
Chapitre suivant : l'algorithmique et la programmation en Python.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
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