Mathématiques — Seconde
Fonctions, généralités — Maths Seconde (chapitre 5)
Notion de fonction, image et antécédent, ensemble de définition, courbe représentative, résolution graphique de f(x)=k et f(x)<g(x). Programme 2026 de…
Par ProfBot
Fonctions : vocabulaire, courbes et lectures graphiques
Chapitre 5 — Fonctions · Seconde générale et technologique
Une fonction est une machine à un seul résultat : on entre un nombre, il en sort exactement un. Cette contrainte — un seul — est ce qui distingue une fonction d'une relation quelconque, et c'est elle qui donne un sens à la question « quelle est l'image de $4$ ? ». La question inverse, « quels sont les antécédents de $2$ ? », n'a en revanche aucune raison d'avoir une réponse unique.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ou une réunion finie d'intervalles de $\mathbb{R}$. Recherche du domaine d'étude (ensemble de définition). Courbe représentative : la courbe d'équation $y = f(x)$ est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées $(x\,;y)$ vérifient $y = f(x)$. Signe d'une fonction affine et des fonctions de référence ; tableau de signes pour une fonction produit ou quotient. Exploiter l'équation $y = f(x)$ (appartenance, calcul de coordonnées). Résoudre $f(x) = k$, $f(x) < k$, $f(x) = g(x)$, $f(x) < g(x)$ par une méthode adaptée : graphique, algébrique ou logicielle. Modéliser par des fonctions des situations issues des mathématiques, des autres disciplines ou de la vie courante.
1. Qu'est-ce qu'une fonction ?
Définition. Soit $\mathcal{D}$ une partie de $\mathbb{R}$. Une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}$ associe à chaque réel $x$ de $\mathcal{D}$ un seul réel, noté $f(x)$ et appelé image de $x$.
On note $f : x \mapsto f(x)$, qui se lit « $f$ qui à $x$ associe $f(x)$ ».
Vocabulaire. Si $f(a) = b$ :
- $b$ est l'image de $a$ par $f$ (il n'y en a qu'une) ;
- $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ (il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs).
Image et antécédent ne sont pas symétriques. Une image est unique : c'est la définition même d'une fonction. Un antécédent ne l'est pas : ici, $2$ a trois antécédents. Confondre les deux sens de lecture — vertical pour l'image, horizontal pour les antécédents — est l'erreur qui revient à chaque contrôle.
Les trois façons de donner une fonction.
| Mode | Exemple |
|---|---|
| une formule | $f(x) = 3x^2 - 1$ |
| un tableau de valeurs | $f(0) = -1$, $f(1) = 2$, $f(2) = 11$ |
| une courbe | le graphique ci-dessus |
2. L'ensemble de définition
Définition. L'ensemble de définition de $f$, noté $\mathcal{D}_f$, est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Deux interdits en seconde, et un seul principe : on écarte ce qui n'a pas de sens.
| Forme | Condition | Exemple |
|---|---|---|
| $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ | $B(x) \neq 0$ | $f(x) = \dfrac{1}{x-3}$ : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{3\}$ |
| $\sqrt{A(x)}$ | $A(x) \geqslant 0$ | $g(x) = \sqrt{x-2}$ : $\mathcal{D}_g = [2\,;+\infty[$ |
Un contexte peut aussi restreindre l'ensemble de définition : si $x$ désigne la longueur du côté d'un carré découpé dans une feuille de $10$ cm, alors $x \in [0\,;10]$, même si la formule aurait un sens ailleurs.
La formule ne dicte pas tout. Une aire, une durée, un effectif ne peuvent pas être négatifs. Donner l'ensemble de définition, c'est déjà interpréter le problème — pas seulement regarder les dénominateurs.
3. La courbe représentative
Définition. La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est l'ensemble des points $M(x\,;y)$ du plan tels que
$x \in \mathcal{D}_f \qquad \text{et} \qquad y = f(x).$
Tester l'appartenance d'un point. Le point $A(3\,;5)$ appartient-il à la courbe de $f : x \mapsto x^2 - 4$ ? On calcule $f(3) = 9 - 4 = 5$. Comme on trouve bien $5$, oui, $A \in \mathcal{C}_f$. Pour $B(-1\,;2)$ : $f(-1) = 1 - 4 = -3 \neq 2$, donc $B \notin \mathcal{C}_f$.
Une courbe de fonction ne peut pas « revenir en arrière ». Toute droite verticale coupe $\mathcal{C}_f$ en un point au plus — sinon un même $x$ aurait deux images, ce qui contredit la définition. C'est le test visuel qui permet de dire, en un coup d'œil, si un tracé peut représenter une fonction. Un cercle, par exemple, ne le peut pas.
4. Résoudre graphiquement
Méthode.
- Les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale d'équation $y = k$.
- Les solutions de $f(x) < k$ sont les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est strictement en dessous de cette droite.
Sur la figure, $f(x) = 3{,}5$ a trois solutions : $-1$, $0$ et $4$. Et $f(x) < 3{,}5$ sur $]-\infty\,;-1[ \,\cup\, ]0\,;4[$ — les zones vertes.
On répond par des ABSCISSES, jamais par des points. La solution est $x = 4$, pas « le point $(4\,;3{,}5)$ ». Une équation en $x$ a pour solutions des nombres.
Comparer deux fonctions
Même principe, mais la droite horizontale est remplacée par la seconde courbe :
- $f(x) = g(x)$ aux abscisses des points d'intersection ;
- $f(x) < g(x)$ là où $\mathcal{C}_f$ passe sous $\mathcal{C}_g$.
Une lecture graphique donne des valeurs APPROCHÉES. Sur la figure, deux des trois solutions valent environ $-2{,}07$ et $4{,}07$ : on ne peut pas les lire exactement. Seul le calcul algébrique donne des valeurs exactes — et seule la lecture graphique donne, d'un regard, le nombre de solutions. Les deux méthodes se complètent, elles ne se remplacent pas.
5. Signe d'une fonction
Étudier le signe de $f$, c'est déterminer les $x$ pour lesquels $f(x) > 0$, $f(x) = 0$, $f(x) < 0$. Graphiquement : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, le coupe, ou est en dessous.
Pour une fonction affine $f(x) = mx + p$ (avec $m \neq 0$), la racine est $x = -\frac pm$, et $f$ est du signe de $m$ après cette racine.
Pour un produit ou un quotient, on dresse un tableau de signes, comme au [chapitre 4].
Exemple. Signe de $h(x) = \dfrac{x-1}{x+3}$ :
| $x$ | $-\infty$ | $-3$ | $1$ | $+\infty$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x-1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||||
| $x+3$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | ||||
| $h(x)$ | $+$ | $\ | $ | $-$ | $0$ | $+$ |
6. Modéliser par une fonction
Problème. Dans une feuille carrée de $10$ cm de côté, on découpe un carré de côté $x$ à chaque coin, puis on relève les bords pour former une boîte. Exprimer le volume en fonction de $x$.
Mise en fonction. Après découpe, la base est un carré de côté $10 - 2x$ et la hauteur vaut $x$ : $V(x) = x(10-2x)^2.$
Ensemble de définition. Il faut $x > 0$ (sinon pas de hauteur) et $10 - 2x > 0$, c'est-à-dire $x < 5$. Donc $\mathcal{D}_V = \,]0\,;5[$.
Quelques valeurs :
| $x$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $2{,}5$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $V(x)$ | $64$ | $73{,}5$ | $72$ | $62{,}5$ | $48$ |
Le volume maximal se situe donc entre $1$ et $2$ ; on saura le trouver exactement au [chapitre 6].
La modélisation commence par un DESSIN et une lettre. Nommer l'inconnue, exprimer chaque longueur en fonction d'elle, puis seulement écrire la formule. Se jeter directement sur l'algèbre est le meilleur moyen d'oublier le facteur $2$ dans $10 - 2x$ — les coins sont découpés des deux côtés.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Images et antécédents
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. a. Calculer $f(0)$, $f(2)$ et $f(-1)$. b. Déterminer les antécédents de $0$. c. Le nombre $-2$ a-t-il un antécédent ?
Correction. a. $f(0) = 3$ · $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ · $f(-1) = 1 + 4 + 3 = 8$. b. On résout $x^2 - 4x + 3 = 0$. En factorisant ($1 + 3 = 4$ et $1 \times 3 = 3$) : $(x-1)(x-3) = 0$, d'où les antécédents $1$ et $3$. c. On résout $x^2 - 4x + 3 = -2$, soit $x^2 - 4x + 5 = 0$. Or $x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1 \geqslant 1 > 0.$ Cette équation n'a donc aucune solution : $-2$ n'a pas d'antécédent.
Exercice 2 — Ensembles de définition
Déterminer $\mathcal{D}_f$ pour : a. $f(x) = \dfrac{3x}{x+5}$ · b. $f(x) = \sqrt{7 - x}$ · c. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$.
Correction. a. $x + 5 \neq 0$, donc $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{-5\}$. b. $7 - x \geqslant 0$, c'est-à-dire $x \leqslant 7$ : $\mathcal{D}_f = \,]-\infty\,;7]$. c. Deux conditions à la fois : $x - 2 \geqslant 0$ pour la racine, et $\sqrt{x-2} \neq 0$ pour le quotient, ce qui exclut $x = 2$. Donc $\mathcal{D}_f = \,]2\,;+\infty[$.
Exercice 3 — Appartenance à une courbe
Soit $f(x) = 2x^2 - 3$. Les points $A(2\,;5)$, $B(-1\,;-1)$ et $C(0\,;3)$ appartiennent-ils à $\mathcal{C}_f$ ?
Correction. $f(2) = 8 - 3 = 5$ : $A \in \mathcal{C}_f$. $f(-1) = 2 - 3 = -1$ : $B \in \mathcal{C}_f$. $f(0) = -3 \neq 3$ : $C \notin \mathcal{C}_f$.
Exercice 4 — Lecture graphique
On reprend la courbe de la première figure, celle de $f$. Répondre par lecture : a. $f(4)$ · b. les antécédents de $2$ · c. le nombre de solutions de $f(x) = 3{,}5$.
Correction. a. $f(4) = 3{,}5$. b. Environ $-1{,}65$ ; $1$ ; $3{,}65$ — trois antécédents. c. La droite $y = 3{,}5$ coupe la courbe en trois points : trois solutions ($-1$, $0$ et $4$).
Exercice 5 — Résoudre algébriquement et graphiquement
Soit $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 2$. a. Résoudre $f(x) = g(x)$. b. En déduire les $x$ tels que $f(x) < g(x)$.
Correction. a. $x^2 = x + 2 \iff x^2 - x - 2 = 0$. Comme $-1 + 2 = 1$ et $(-1)\times2 = -2$, on factorise : $(x+1)(x-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \ \text{ ou } \ x = 2.$ b. L'expression $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ est négative entre ses racines, donc $f(x) < g(x) \iff x \in \,]-1\,;2[.$
Interprétation graphique : la parabole passe sous la droite exactement entre les deux points d'intersection.
Exercice 6 — Signe
Étudier le signe de $f(x) = \dfrac{3 - x}{x + 1}$ et résoudre $f(x) \geqslant 0$.
Correction. Valeur interdite : $x = -1$. Racine du numérateur : $x = 3$ — et attention, $3-x$ est positif avant $3$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | $+\infty$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $3-x$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||||
| $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | ||||
| $f(x)$ | $-$ | $\ | $ | $+$ | $0$ | $-$ |
Donc $f(x) \geqslant 0$ sur $\,]-1\,;3]$.
Exercice 7 — Modéliser
Un éleveur dispose de $60$ m de grillage pour délimiter un enclos rectangulaire contre un mur (le mur forme un côté, sans grillage). On note $x$ la largeur (perpendiculaire au mur). a. Exprimer la longueur, puis l'aire $A(x)$. b. Donner $\mathcal{D}_A$. c. Calculer $A(10)$, $A(15)$ et $A(20)$.
Correction. a. Le grillage couvre deux largeurs et une longueur : $2x + L = 60$, donc $L = 60 - 2x$ et $A(x) = x(60 - 2x).$ b. Il faut $x > 0$ et $60 - 2x > 0$, soit $x < 30$ : $\mathcal{D}_A = \,]0\,;30[$. c. $A(10) = 10 \times 40 = 400$ m² · $A(15) = 15 \times 30 = 450$ m² · $A(20) = 20 \times 20 = 400$ m².
Les valeurs $10$ et $20$ donnent la même aire, et $15$ fait mieux : l'aire maximale est atteinte au milieu, en $x = 15$. C'est le genre de symétrie qu'on expliquera au chapitre suivant.
À retenir
Une fonction associe à chaque $x$ une seule image. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
Ensemble de définition : dénominateur $\neq 0$, radicande $\geqslant 0$ — plus les contraintes du contexte.
Courbe : $M(x\,;y) \in \mathcal{C}_f \iff y = f(x)$. Toute verticale coupe la courbe d'une fonction en un point au plus.
Lectures graphiques : $f(x) = k$ → abscisses des intersections avec $y = k$ · $f(x) < k$ → là où la courbe est en dessous · $f(x) < g(x)$ → là où $\mathcal{C}_f$ est sous $\mathcal{C}_g$. Les réponses sont des abscisses, et les lectures sont approchées.
Signe : au-dessus de l'axe = positif. Produit ou quotient → tableau de signes.
Chapitre suivant : les variations d'une fonction, ses extrémums et les problèmes d'optimisation.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
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