Mathématiques — Seconde
Les droites du plan — Maths Seconde (chapitre 9)
Vecteur directeur, équation cartésienne et équation réduite, pente, droites parallèles ou sécantes, point d'intersection. Programme 2026 de seconde, avec…
Par ProfBot
Les droites du plan
Chapitre 9 — Géométrie · Seconde générale et technologique
Une droite peut se décrire de trois façons : par une figure (on la trace), par un vecteur (sa direction), ou par une équation (une condition sur les coordonnées). C'est la troisième qui permet de tout calculer — parallélisme, intersection, alignement — sans jamais rien dessiner. Ce passage de la figure au calcul est l'invention de Descartes, et c'est l'un des outils les plus rentables de toute la géométrie.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Vecteur directeur d'une droite. Équation de droite : équation cartésienne, équation réduite. Pente (ou coefficient directeur) d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. Déterminer une équation de droite à partir de deux points, d'un point et d'un vecteur directeur, ou d'un point et de la pente. Déterminer la pente ou un vecteur directeur d'une droite donnée par une équation ou une représentation graphique. Tracer une droite connaissant son équation. Établir que trois points sont alignés ou non. Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes ; déterminer le point d'intersection de deux droites sécantes.
Démonstration exigible : en utilisant le déterminant, établir la forme générale d'une équation de droite.
1. Vecteur directeur
Définition. Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul $\vec u$ tel que, pour deux points $A$ et $B$ de $d$, $\vec{AB}$ soit colinéaire à $\vec u$.
Autrement dit, $\vec u$ donne la direction de la droite. Une droite en possède une infinité : si $\vec u$ en est un, $2\vec u$, $-\vec u$, $\frac13\vec u$ aussi.
Un vecteur directeur n'est jamais unique — et ce n'est pas un défaut. On choisit celui qui rend les calculs simples : de préférence à coordonnées entières et petites. Pour la droite passant par $A(1\,;1)$ et $B(5\,;4)$, on prendra $\vec{AB}\,(4\,;3)$ plutôt que $\left(1\,;\frac34\right)$.
2. Équation réduite
Définition. Toute droite non verticale admet une équation réduite de la forme
$y = mx + p,$
où $m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $p$ l'ordonnée à l'origine.
Un vecteur directeur est alors $\vec u\,(1\,;m)$.
Calculer la pente à partir de deux points. Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ avec $x_A \neq x_B$ : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$
La pente se lit comme un escalier : quand on avance de $1$ vers la droite, on monte de $m$ (ou on descend, si $m<0$). Une pente de $0{,}75$ signifie « $3$ carreaux de montée pour $4$ d'avancée » — d'où le vecteur directeur $(4\,;3)$, plus commode que $(1\,;0{,}75)$.
Le cas des droites verticales
Une droite verticale n'a PAS d'équation réduite ni de pente. Son équation est $x = c$ : l'abscisse est constante, l'ordonnée est libre. Le calcul $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ y est d'ailleurs impossible, puisque $x_B - x_A = 0$. C'est le seul cas d'exception, et il faut y penser avant de diviser.
Un vecteur directeur d'une verticale est $\vec u\,(0\,;1)$.
3. Équation cartésienne
Théorème. Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme
$ax + by + c = 0, \qquad \text{avec } (a\,;b) \neq (0\,;0),$
et $\vec u\,(-b\,;a)$ en est un vecteur directeur.
Démonstration (par le déterminant). Soit $d$ la droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ et de vecteur directeur $\vec u\,(\alpha\,;\beta)$. Un point $M(x\,;y)$ appartient à $d$ si et seulement si $\vec{AM}$ est colinéaire à $\vec u$, c'est-à-dire si leur déterminant est nul : $\det\left(\vec{AM}, \vec u\right) = (x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0.$ En développant : $\beta x - \alpha y + \underbrace{(\alpha y_A - \beta x_A)}_{\text{un nombre fixe}} = 0,$ qui est bien de la forme $ax + by + c = 0$ avec $a = \beta$, $b = -\alpha$ et $c = \alpha y_A - \beta x_A$. Le couple $(a\,;b) = (\beta\,;-\alpha)$ n'est pas $(0\,;0)$ puisque $\vec u$ est non nul. Enfin, $(-b\,;a) = (\alpha\,;\beta) = \vec u$ : le vecteur annoncé est bien directeur. $\blacksquare$
L'équation cartésienne couvre TOUS les cas, la réduite non. Avec $b = 0$, l'équation $ax + c = 0$ décrit une verticale : la forme cartésienne inclut ce que la forme réduite laisse de côté. En revanche, elle n'est pas unique — $2x - 4y + 6 = 0$ et $x - 2y + 3 = 0$ décrivent la même droite.
Passer d'une forme à l'autre. Si $b \neq 0$ : $ax + by + c = 0 \iff y = -\frac ab x - \frac cb, \qquad \text{donc} \quad m = -\frac ab.$
4. Déterminer une équation
À partir d'un point et de la pente. Droite de pente $m = 2$ passant par $A(3\,;1)$ : on écrit $y = 2x + p$, puis on remplace : $1 = 2\times3 + p \quad\Longrightarrow\quad p = -5, \qquad \text{d'où } y = 2x - 5.$
À partir de deux points. $A(1\,;4)$ et $B(3\,;10)$ : $m = \frac{10-4}{3-1} = 3, \qquad 4 = 3\times1 + p \ \Rightarrow\ p = 1, \qquad y = 3x+1.$
À partir d'un point et d'un vecteur directeur. On utilise directement le déterminant, comme dans la démonstration.
def equation_par_deux_points(xa, ya, xb, yb):
"""Renvoie (m, p) pour y = mx + p, ou None si la droite est verticale."""
if xa == xb:
return None # droite verticale : x = xa
m = (yb - ya) / (xb - xa)
p = ya - m * xa
return m, p
equation_par_deux_points(1, 4, 3, 10) # (3.0, 1.0)
5. Positions relatives
Critères. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires — c'est-à-dire, pour deux droites non verticales, si elles ont la même pente. Sinon elles sont sécantes, et se coupent en un seul point.
Avec les équations cartésiennes $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ : parallèles $\iff ab' - a'b = 0$.
Trouver le point d'intersection, c'est résoudre le système des deux équations.
Exemple. $y = 2x - 1$ et $y = -x + 5$. On égalise : $2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2,$ puis $y = 2\times2 - 1 = 3$. Le point d'intersection est $(2\,;3)$.
Toujours vérifier avec la SECONDE équation. Ici $-2 + 5 = 3$ ✓. Ce contrôle coûte trois secondes et attrape la quasi-totalité des erreurs de calcul — c'est le réflexe à prendre.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Lire une équation
Pour chaque droite, donner la pente, l'ordonnée à l'origine et un vecteur directeur. a. $y = -3x + 2$ · b. $2x + 5y - 10 = 0$ · c. $x = 4$.
Correction. a. $m = -3$, $p = 2$, vecteur directeur $(1\,;-3)$. b. On isole $y$ : $5y = -2x + 10$, donc $y = -\frac25 x + 2$. Ainsi $m = -0{,}4$, $p = 2$, et un vecteur directeur est $(-b\,;a) = (-5\,;2)$ — ou plus lisiblement $(5\,;-2)$. c. Droite verticale : pas de pente, pas d'ordonnée à l'origine ; vecteur directeur $(0\,;1)$.
Exercice 2 — Déterminer une équation
a. Droite passant par $A(-2\,;3)$ de pente $\frac12$. b. Droite passant par $B(1\,;-1)$ et $C(4\,;5)$. c. Droite passant par $D(2\,;7)$ et $E(2\,;-3)$.
Correction. a. $y = \frac12 x + p$ avec $3 = \frac12(-2) + p = -1 + p$, donc $p = 4$ : $y = \frac12 x + 4$. b. $m = \dfrac{5-(-1)}{4-1} = \dfrac63 = 2$, puis $-1 = 2\times1 + p$ donne $p = -3$ : $y = 2x - 3$. Contrôle sur $C$ : $2\times4 - 3 = 5$ ✓. c. $D$ et $E$ ont la même abscisse : la droite est verticale, d'équation $x = 2$.
Exercice 3 — Alignement
Les points $A(-1\,;0)$, $B(2\,;6)$ et $C(5\,;12)$ sont-ils alignés ?
Correction. $\vec{AB}\,(3\,;6)$ et $\vec{AC}\,(6\,;12)$. Le déterminant vaut $3\times12 - 6\times6 = 36 - 36 = 0.$ Ils sont alignés. On peut d'ailleurs donner l'équation de la droite : $m = \frac{6}{3} = 2$ et $0 = 2\times(-1)+p$ donne $p = 2$, soit $y = 2x+2$ — et $C$ la vérifie : $2\times5+2 = 12$ ✓.
Exercice 4 — Parallèles ou sécantes ?
a. $d_1 : y = 3x - 1$ et $d_2 : y = 3x + 4$. b. $d_3 : 2x - y + 1 = 0$ et $d_4 : -6x + 3y + 5 = 0$. c. $d_5 : y = x + 2$ et $d_6 : y = -2x + 8$.
Correction. a. Même pente $3$, ordonnées à l'origine différentes : parallèles et distinctes. b. Déterminant : $2\times3 - (-6)\times(-1) = 6 - 6 = 0$ : parallèles. Sont-elles confondues ? En divisant la seconde par $-3$ : $2x - y - \frac53 = 0$, qui diffère de $2x-y+1=0$. Elles sont donc strictement parallèles. c. Pentes $1$ et $-2$, différentes : sécantes. Intersection : $x + 2 = -2x+8$ donne $3x = 6$, $x = 2$ et $y = 4$. Le point est $(2\,;4)$. Contrôle : $-2\times2 + 8 = 4$ ✓.
Exercice 5 — Un problème
Une entreprise loue des vélos : $8$ € de frais fixes plus $2$ € par heure. Une concurrente demande $20$ € forfaitaires, sans limite de durée. a. Exprimer chaque prix en fonction du nombre $t$ d'heures. b. Représenter la situation par deux droites et déterminer à partir de quelle durée la seconde offre devient plus intéressante.
Correction. a. $P_1(t) = 2t + 8$ (droite de pente $2$, ordonnée à l'origine $8$) et $P_2(t) = 20$ (droite horizontale). b. Les deux droites se coupent quand $2t + 8 = 20$, soit $t = 6$ heures. Comme $P_1$ est croissante, elle dépasse $20$ € après $6$ h : la seconde offre devient plus intéressante au-delà de $6$ heures de location.
À exactement $6$ h, les deux offres coûtent le même prix, $20$ €.
Exercice 6 — Retour au vecteur
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $A(3\,;-1)$ et de vecteur directeur $\vec u\,(2\,;5)$.
Correction. $M(x\,;y)$ appartient à la droite si et seulement si $\det(\vec{AM}, \vec u) = 0$, avec $\vec{AM}\,(x-3\,;y+1)$ : $(x-3)\times5 - (y+1)\times2 = 0 \iff 5x - 15 - 2y - 2 = 0 \iff 5x - 2y - 17 = 0.$
Contrôle : $A$ donne $15 + 2 - 17 = 0$ ✓, et le vecteur directeur $(-b\,;a) = (2\,;5)$ est bien celui de départ ✓.
À retenir
Équation réduite $y = mx+p$ (droites non verticales) : $m$ = pente, $p$ = ordonnée à l'origine, vecteur directeur $(1\,;m)$. $m = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
Droite verticale : $x = c$, pas de pente, vecteur directeur $(0\,;1)$. C'est le cas à ne pas oublier.
Équation cartésienne $ax+by+c=0$ : couvre toutes les droites, vecteur directeur $(-b\,;a)$, pente $-\frac ab$ si $b \neq 0$. Elle n'est pas unique.
Parallèles $\iff$ vecteurs directeurs colinéaires $\iff$ même pente $\iff ab'-a'b = 0$. Sécantes : on résout le système, et l'on vérifie dans la seconde équation.
Chapitre suivant : l'information chiffrée et les statistiques descriptives.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
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