Mathématiques — Seconde

Les nombres réels — Maths Seconde (chapitre 2)

Ensembles de nombres N, Z, D, Q, R, intervalles, valeur absolue et distance, encadrements décimaux, irrationalité de racine de 2. Programme 2026 de seconde,…

Par ProfBot

Les nombres réels, les intervalles et la valeur absolue

Chapitre 2 — Nombres et calculs · Seconde générale et technologique

Votre calculatrice affiche $\sqrt2 = 1{,}414213562$. C'est faux : cette écriture désigne un nombre décimal dont le carré vaut $1{,}9999999989\ldots$, et non $2$. Le vrai $\sqrt2$ n'a aucune écriture décimale qui s'arrête, ni aucune écriture en fraction. Comprendre pourquoi, c'est comprendre ce qu'est un nombre réel — et pourquoi une machine ne peut en manipuler que des approximations.

Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, droite numérique. Intervalles de $\mathbb{R}$, représentation graphique, notations $[a\,;+\infty[$, $]-\infty\,;a]$, $[a\,;b]$. Notation $|a|$ pour la distance de $a$ à $0$ ; distance entre deux nombres réels. Inéquation du type $|x-a| \leqslant r$ et intervalle $[a-r\,;a+r]$. Ensemble $\mathbb{D}$ des décimaux, encadrement à $10^{-n}$ près. Ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels ; nombres irrationnels ($\sqrt2$, $\pi$).

Démonstrations exigibles : le rationnel $\frac13$ n'est pas décimal ; le réel $\sqrt2$ est irrationnel.

Algorithme : déterminer par balayage un encadrement de $\sqrt2$ d'amplitude inférieure ou égale à $10^{-n}$.

1. Les ensembles de nombres

Chaque ensemble contient le précédent : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$

Un décimal est un nombre dont l'écriture décimale s'arrête : $0{,}25$, $-3{,}7$, $12$. Un rationnel est un quotient de deux entiers, ce qui est bien plus large : $\frac13 = 0{,}3333\dots$ ne s'arrête jamais, et pourtant $\frac13$ est un rationnel parfaitement légitime.

Ne pas confondre « décimal » et « à virgule ». $\frac13$ s'écrit avec une virgule et n'est PAS décimal ; $12$ s'écrit sans virgule et l'est ($12 = \frac{12}{10^0}$). Le critère est : l'écriture s'arrête-t-elle ?

Reconnaître un décimal. Un rationnel sous forme irréductible est décimal si et seulement si son dénominateur ne contient d'autres facteurs premiers que $2$ et $5$. $\frac{7}{8} = \frac{7}{2^3} = 0{,}875 \ \text{ (décimal)}, \qquad \frac{5}{12} = \frac{5}{2^2 \times 3} = 0{,}41666\dots \ \text{ (non décimal)}.$

2. Le nombre $\frac13$ n'est pas décimal

Propriété. $\dfrac13 \notin \mathbb{D}$.

Démonstration (par l'absurde). Supposons que $\frac13$ soit décimal. Il s'écrirait alors $\frac13 = \frac{a}{10^n}$ pour un certain entier $a$ et un certain entier naturel $n$. En multipliant les deux membres par $3 \times 10^n$ : $10^n = 3a.$ Ainsi $10^n$ serait un multiple de $3$. Or la somme des chiffres de $10^n$ vaut $1$, qui n'est pas divisible par $3$ : $10^n$ n'est donc pas multiple de $3$. Contradiction. L'hypothèse de départ est fausse : $\frac13$ n'est pas décimal. $\blacksquare$

Le raisonnement par l'absurde en trois temps. On suppose le contraire de ce qu'on veut prouver ; on en déduit une affirmation manifestement fausse ; on conclut que la supposition était fausse. C'est le même schéma que pour $\sqrt2$ ci-dessous — et il sert dans toutes les branches des mathématiques.

3. Les nombres irrationnels

Définition. Un réel qui n'est pas rationnel — c'est-à-dire qui ne peut s'écrire comme quotient de deux entiers — est dit irrationnel.

Les deux exemples à connaître sont $\sqrt2$ et $\pi$.

Propriété. $\sqrt2$ est irrationnel.

Démonstration (par l'absurde). Supposons $\sqrt2$ rationnel : on pourrait écrire $\sqrt2 = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers, $q \neq 0$, et la fraction irréductible (on simplifie au maximum, c'est toujours possible). En élevant au carré : $2 = \frac{p^2}{q^2}, \qquad \text{donc} \qquad p^2 = 2q^2.$ Ainsi $p^2$ est pair. Or le carré d'un impair est impair (démontré au [chapitre 1]) : si $p$ était impair, $p^2$ le serait aussi. Donc $p$ est pair, et l'on peut écrire $p = 2k$. En reportant : $(2k)^2 = 2q^2 \quad\Longrightarrow\quad 4k^2 = 2q^2 \quad\Longrightarrow\quad q^2 = 2k^2.$ Le même argument montre alors que $q$ est pair. Mais $p$ et $q$ tous deux pairs contredit l'hypothèse « fraction irréductible » — on pourrait encore simplifier par $2$. Contradiction. Donc $\sqrt2$ est irrationnel. $\blacksquare$

C'est l'une des plus vieilles démonstrations connues (école de Pythagore, Ve siècle av. J.-C.). Elle a fait scandale : elle prouve que la diagonale d'un carré de côté $1$ n'est commensurable avec aucun fragment du côté, aussi petit soit-il. Autrement dit, les fractions ne suffisent pas à mesurer les longueurs — il faut inventer $\mathbb{R}$.

4. Les intervalles

Définition. Un intervalle est l'ensemble des réels compris entre deux bornes.

Du côté de l'infini, le crochet est TOUJOURS ouvert. On écrit $[2\,;+\infty[$ et jamais $[2\,;+\infty]$ : $+\infty$ n'est pas un nombre, il ne peut donc appartenir à l'intervalle. Et le crochet tourné vers l'extérieur signifie « exclu » : $]$ à gauche, $[$ à droite.

Réunion et intersection. $[1\,;5] \cap [3\,;8] = [3\,;5], \qquad [1\,;5] \cup [3\,;8] = [1\,;8], \qquad [1\,;2] \cap [4\,;7] = \varnothing.$

Une réunion d'intervalles n'est pas toujours un intervalle. $[1\,;2] \cup [4\,;7]$ ne peut pas s'écrire d'un seul tenant : il y a un trou entre $2$ et $4$. On laisse alors l'écriture avec le symbole $\cup$.

5. La valeur absolue

Définition. La valeur absolue d'un réel $x$, notée $|x|$, est sa distance à zéro :

$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0, \\ -x & \text{si } x < 0.\end{cases}$

Ainsi $|7| = 7$ et $|-7| = 7$. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Propriété (distance entre deux nombres). Pour tous réels $a$ et $b$, la distance entre $a$ et $b$ vaut

$d(a\,;b) = |a - b| = |b - a|.$

La distance entre $-3$ et $5$ vaut $|-3 - 5| = |-8| = 8$ — et l'on retrouve bien les $8$ graduations qui les séparent.

Attention à $|-x|$. L'écriture $-x$ ne désigne pas un nombre négatif : si $x = -4$, alors $-x = 4$. C'est pourquoi la définition dit « $-x$ si $x<0$ » et produit bien un résultat positif.

L'inéquation $|x - a| \leqslant r$

Propriété. Pour $r \geqslant 0$,

$|x - a| \leqslant r \quad\Longleftrightarrow\quad a - r \leqslant x \leqslant a + r \quad\Longleftrightarrow\quad x \in [a-r\,;a+r].$

Il suffit de lire l'inéquation en français : « la distance de $x$ à $a$ ne dépasse pas $r$ », c'est-à-dire « $x$ est dans le segment de centre $a$ et de rayon $r$ ».

Exemple. $|x - 3| \leqslant 2$ décrit les réels à distance au plus $2$ de $3$, soit $x \in [1\,;5]$.

Le centre est ce qu'on RETRANCHE, pas ce qu'on ajoute. $|x + 4| \leqslant 1$ s'écrit $|x - (-4)| \leqslant 1$ : le centre est $-4$, et l'intervalle est $[-5\,;-3]$. Se tromper de signe ici est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

6. Encadrements et valeurs approchées

Définition. Encadrer un réel $x$ à $10^{-n}$ près, c'est trouver deux décimaux $d$ et $d'$ tels que

$d \leqslant x \leqslant d' \qquad \text{avec} \qquad d' - d = 10^{-n}.$

Le nombre $d' - d$ s'appelle l'amplitude de l'encadrement.

Ainsi $1{,}41 \leqslant \sqrt2 \leqslant 1{,}42$ est un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.

Troncature et arrondi. Pour $\pi = 3{,}14159\dots$ :

• la troncature au centième est $3{,}14$ (on coupe) ;
• l'arrondi au centième est $3{,}14$ (on prend le décimal le plus proche) ;
• au millième, la troncature est $3{,}141$ mais l'arrondi est $3{,}142$.

Un arrondi n'est pas une égalité. Écrire « $\pi = 3{,}14$ » est faux ; on écrit $\pi \approx 3{,}14$. Cela paraît tatillon, mais c'est exactement la différence entre le nombre et l'image que la machine en donne.

L'algorithme de balayage

Pour encadrer $\sqrt2$, on balaie l'intervalle par pas de plus en plus fins en comparant les carrés à $2$.

def balayage(pas):
    """Encadre racine de 2 avec l'amplitude donnée."""
    x = 1
    while x * x <= 2:
        x = x + pas
    return x - pas, x        # le dernier dont le carré est ⩽ 2, et le suivant

balayage(0.1)      # (1.4,  1.5)
balayage(0.01)     # (1.41, 1.42)

Chaque division du pas par $10$ gagne une décimale — et il en faudrait une infinité pour atteindre $\sqrt2$, ce qui est une autre façon de voir son irrationalité.

7. Exercices corrigés

Exercice 1 — Appartenance

Pour chacun des nombres $-7$ ; $\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{2}{7}$ ; $\sqrt{9}$ ; $\sqrt{5}$ ; $\dfrac{15}{3}$, indiquer le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ auquel il appartient.

Correction.

Les deux pièges : $\sqrt9$ et $\frac{15}{3}$ sont des entiers déguisés. Toujours simplifier avant de conclure.

Exercice 2 — Intervalles

Traduire par un intervalle : a. $x > -2$ · b. $-1 \leqslant x < 4$ · c. $x \leqslant 0$. Puis calculer : d. $]-3\,;2] \cap [0\,;5[$ · e. $]-\infty\,;1] \cup [-2\,;+\infty[$.

Correction. a. $]-2\,;+\infty[$ · b. $[-1\,;4[$ · c. $]-\infty\,;0]$. d. $[0\,;2]$ : on garde la plus grande borne de gauche ($0$, incluse) et la plus petite de droite ($2$, incluse). e. $\mathbb{R}$ : les deux intervalles se recouvrent sur $[-2\,;1]$ et couvrent toute la droite.

Exercice 3 — Valeurs absolues

Calculer $|{-5}|$, $|3 - 8|$, $|{-2}| \times |{-3}|$, puis la distance entre $-4$ et $9$.

Correction. $|-5| = 5$ · $|3-8| = |-5| = 5$ · $|-2| \times |-3| = 2 \times 3 = 6$. Distance : $|-4 - 9| = |-13| = 13$.

Exercice 4 — Traduire en intervalle

Écrire sous forme d'intervalle : a. $|x - 5| \leqslant 3$ · b. $|x + 2| < 1$ · c. $|x| \geqslant 4$.

Correction. a. Centre $5$, rayon $3$ : $x \in [2\,;8]$. b. On récrit $|x - (-2)| < 1$ : centre $-2$, rayon $1$, et l'inégalité est stricte donc l'intervalle est ouvert : $x \in ]-3\,;-1[$. c. Ici la distance à $0$ est au moins $4$ : c'est le complémentaire de $]-4\,;4[$, soit $x \in ]-\infty\,;-4] \cup [4\,;+\infty[.$

Exercice 5 — Traduire en valeur absolue

Écrire à l'aide d'une valeur absolue : a. $x \in [7\,;13]$ · b. $x \in [-6\,;2]$.

Correction. On cherche le centre (la moyenne des bornes) et le rayon (la demi-longueur). a. Centre $\dfrac{7+13}{2} = 10$, rayon $\dfrac{13-7}{2} = 3$, d'où $|x - 10| \leqslant 3$. b. Centre $\dfrac{-6+2}{2} = -2$, rayon $\dfrac{2-(-6)}{2} = 4$, d'où $|x + 2| \leqslant 4$.

Exercice 6 — Décimal ou non

Les nombres suivants sont-ils décimaux ? a. $\dfrac{3}{8}$ · b. $\dfrac{7}{15}$ · c. $\dfrac{9}{40}$ · d. $\dfrac{22}{7}$.

Correction. On simplifie, puis on regarde les facteurs premiers du dénominateur. a. $8 = 2^3$ : décimal, $\frac38 = 0{,}375$. b. $15 = 3 \times 5$ : le facteur $3$ interdit, non décimal ($0{,}4666\dots$). c. $40 = 2^3 \times 5$ : décimal, $\frac{9}{40} = 0{,}225$. d. $7$ : non décimal ($3{,}142857142857\dots$, avec la période $142857$ qui se répète).

Remarque : $\frac{22}{7}$ est une célèbre valeur approchée de $\pi$, mais c'est un rationnel, alors que $\pi$ ne l'est pas.

Exercice 7 — Encadrement

Sachant que $2{,}236 \leqslant \sqrt5 \leqslant 2{,}237$, encadrer $3\sqrt5$ puis $\sqrt5 - 1$.

Correction. On multiplie l'encadrement par $3$ (un nombre positif, donc l'ordre est conservé) : $6{,}708 \leqslant 3\sqrt5 \leqslant 6{,}711.$ On retranche $1$ à chaque membre : $1{,}236 \leqslant \sqrt5 - 1 \leqslant 1{,}237.$

L'amplitude a été multipliée par $3$ dans le premier cas, et conservée dans le second : une multiplication dégrade la précision, une translation non.

À retenir

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Décimal = l'écriture s'arrête (dénominateur irréductible sans autre facteur que $2$ et $5$). Rationnel = quotient d'entiers. Irrationnel : $\sqrt2$, $\pi$.

Deux démonstrations par l'absurde au programme : $\frac13$ n'est pas décimal, $\sqrt2$ n'est pas rationnel.

Intervalles : crochet tourné vers l'extérieur = borne exclue ; du côté de $\infty$, toujours ouvert.

Valeur absolue = distance : $|x - a| \leqslant r \iff x \in [a - r\,;a + r].$ Le centre est ce qu'on retranche : $|x+4| \leqslant 1$ a pour centre $-4$.

Encadrer, c'est donner deux décimaux et l'amplitude qui les sépare. Un arrondi s'écrit avec $\approx$, jamais avec $=$.

Chapitre suivant : le calcul algébrique — puissances, racines carrées et transformations d'expressions.

Le programme complet de seconde

Nombres et calculs, algèbre

1. Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
2. Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
3. Calcul algébrique : puissances et racines
4. Équations, inéquations et tableaux de signes

Fonctions

1. Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
2. Variations, extrémums et fonctions affines
3. Les fonctions de référence

Géométrie

1. Les vecteurs du plan
2. Les droites du plan

Statistiques et probabilités

1. Information chiffrée et statistiques
2. Probabilités et tableaux croisés

Parties transversales

1. Algorithmique et programmation en Python
2. Logique, ensembles et raisonnements

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