Mathématiques — Seconde
Information chiffrée et statistiques — Maths Seconde (chapitre 10)
Proportions, pourcentage de pourcentage, taux d'évolution successifs et réciproques, moyenne, écart type, séries regroupées en classes et médiane. Programme…
Par ProfBot
Information chiffrée et statistique descriptive
Chapitre 10 — Statistiques et probabilités · Seconde générale et technologique
« Les prix ont baissé de $20\,\%$ après avoir augmenté de $20\,\%$ : on est revenu au point de départ. » C'est faux, et pas d'un peu : il manque $4\,\%$. Les pourcentages sont la partie des mathématiques la plus utilisée hors de l'école, et celle où les erreurs de raisonnement passent le plus inaperçues. Ce chapitre en donne les règles exactes, et l'outil qui les rend infaillibles : le coefficient multiplicateur.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Proportions : ensembles de référence inclus les uns dans les autres, pourcentage de pourcentage. Évolution : variation absolue $V_2 - V_1$, coefficient multiplicateur $\frac{V_2}{V_1}$, taux d'évolution $\frac{V_2-V_1}{V_1}$ ; évolutions successives et réciproque (produit, inverse des coefficients). Statistiques à une variable : linéarité de la moyenne ; écart type ; influence sur la moyenne et la médiane de l'ajout ou de la suppression d'une valeur. Regroupement par classes : histogramme, polygone des fréquences cumulées ; moyenne pondérée ; classe médiane et estimation de la médiane. Décrire les différences entre deux séries à l'aide de couples d'indicateurs (moyenne–écart type, médiane–écart interquartile).
1. Proportions
Définition. La proportion d'une sous-population $A$ dans une population $E$ est
$p = \frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(E)},$
nombre compris entre $0$ et $1$, que l'on exprime aussi en pourcentage : $p \times 100\,\%$.
De la formule on tire les deux calculs réciproques : $\text{partie} = p \times \text{tout}, \qquad \text{tout} = \frac{\text{partie}}{p}.$
Pourcentage de pourcentage
Propriété. Les proportions se multiplient quand les ensembles sont emboîtés :
$p_{\text{global}} = p_1 \times p_2.$
Exemple. Dans un lycée de $2\,000$ élèves, $60\,\%$ sont demi-pensionnaires et, parmi eux, $35\,\%$ mangent bio. La proportion d'élèves du lycée qui mangent bio est $0{,}60 \times 0{,}35 = 0{,}21, \qquad \text{soit } 21\,\% \text{ du lycée, c'est-à-dire } 420 \text{ élèves.}$
Les pourcentages ne s'additionnent QUE sur le même ensemble de référence. Ajouter $60\,\%$ et $35\,\%$ n'a ici aucun sens : le premier se rapporte au lycée, le second aux seuls demi-pensionnaires. Avant tout calcul, la question à se poser est : pourcentage de quoi ?
2. Évolutions
Définitions. Une grandeur passe de $V_1$ à $V_2$ (avec $V_1 \neq 0$).
- La variation absolue est $V_2 - V_1$ (dans l'unité de la grandeur).
- Le coefficient multiplicateur est $CM = \dfrac{V_2}{V_1}$.
- Le taux d'évolution est $t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$, et l'on a
$\boxed{CM = 1 + t} \qquad\text{et}\qquad V_2 = V_1 \times (1+t).$
| Évolution | Coefficient |
|---|---|
| $+20\,\%$ | $1{,}20$ |
| $-20\,\%$ | $0{,}80$ |
| $+3\,\%$ | $1{,}03$ |
| $-100\,\%$ | $0$ |
| $\times 3$ | $3$, soit $+200\,\%$ |
Une hausse de $200\,\%$ ne triple pas : elle... si. $CM = 1 + 2 = 3$. En revanche « multiplier par $2$ » correspond à $+100\,\%$, pas à $+200\,\%$. Passer systématiquement par $CM = 1+t$ évite toute hésitation.
Évolutions successives et réciproque
Propriétés.
- Successives : les coefficients se multiplient — $CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2$.
- Réciproque (celle qui ramène à la valeur de départ) : le coefficient est l'inverse — $CM' = \dfrac{1}{CM}$.
Exemple. $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ : $CM = 1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96, \qquad \text{soit } t = -0{,}04 = -4\,\%.$ Pour revenir au prix initial, il faudrait $\dfrac{1}{0{,}96} \approx 1{,}0417$, soit une hausse d'environ $+4{,}17\,\%$.
Les TAUX ne s'additionnent jamais, les COEFFICIENTS se multiplient. $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ ne fait pas $0\,\%$, et $+10\,\%$ deux fois de suite ne fait pas $+20\,\%$ mais $1{,}1^2 = 1{,}21$, soit $+21\,\%$. La règle est sans exception ; la seule discipline à avoir, c'est de convertir chaque taux en coefficient avant de calculer.
3. Indicateurs statistiques
Moyenne. Pour une série de valeurs $x_1, \dots, x_n$ d'effectifs $n_1, \dots, n_p$ :
$\bar x = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{n_1 + n_2 + \cdots + n_p}.$
Propriété (linéarité). Si l'on transforme toutes les valeurs par $y_i = a x_i + b$, alors
$\bar y = a\bar x + b.$
C'est ce qui permet, par exemple, de convertir une moyenne de degrés Celsius en Fahrenheit sans reprendre toute la série.
Médiane. C'est la valeur qui partage la série en deux moitiés de même effectif, une fois les valeurs rangées dans l'ordre croissant.
Quartiles : $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\,\%$ des données lui soient inférieures ou égales ; $Q_3$ de même avec $75\,\%$. L'écart interquartile est $Q_3 - Q_1$.
Écart type. $\sigma$ mesure la dispersion autour de la moyenne :
$\sigma = \sqrt{\frac{n_1(x_1-\bar x)^2 + \cdots + n_p(x_p-\bar x)^2}{n_1 + \cdots + n_p}}.$
La moyenne seule ne décrit rien. Les deux séries de la figure ont la même moyenne $10$, mais l'une est concentrée ($\sigma \approx 0{,}63$) et l'autre très étalée ($\sigma \approx 5{,}66$). On donne donc toujours un couple : moyenne–écart type, ou médiane–écart interquartile.
Moyenne ou médiane ? La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non. Sur les salaires $1\,500$, $1\,600$, $1\,700$, $1\,800$ et $50\,000$ €, la moyenne vaut $11\,320$ € — un chiffre que personne ne gagne — alors que la médiane vaut $1\,700$ €, qui décrit bien la situation.
4. Séries regroupées en classes
Quand les données sont continues (tailles, durées, salaires), on les regroupe en classes de même amplitude.
Moyenne pondérée. On suppose la répartition uniforme dans chaque classe : chaque classe est alors représentée par son centre.
Pour la série de la figure ($60$ valeurs) :
| Classe | $[0\,;10[$ | $[10\,;20[$ | $[20\,;30[$ | $[30\,;40[$ | $[40\,;50]$ |
|---|---|---|---|---|---|
| centre | $5$ | $15$ | $25$ | $35$ | $45$ |
| effectif | $6$ | $14$ | $22$ | $12$ | $6$ |
$\bar x = \frac{6\times5 + 14\times15 + 22\times25 + 12\times35 + 6\times45}{60} = \frac{1\,480}{60} \approx 24{,}7.$
Classe médiane et estimation. Les fréquences cumulées croissantes valent $10\,\%$, $33{,}3\,\%$, $70\,\%$, $90\,\%$, $100\,\%$. Le seuil de $50\,\%$ est franchi dans la classe $[20\,;30[$ : c'est la classe médiane. En supposant la répartition uniforme dans cette classe, on lit la médiane sur le polygone : $\text{médiane} \approx 20 + \frac{50 - 33{,}3}{70 - 33{,}3} \times 10 \approx 24{,}5.$
Ce sont des ESTIMATIONS, pas des valeurs exactes. Le regroupement en classes a détruit l'information individuelle ; on la remplace par une hypothèse — la répartition uniforme — qui est commode mais fausse en général. Annoncer « la moyenne vaut exactement $24{,}666\ldots$ » serait un abus : on écrit $\approx 24{,}7$.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Proportions
Dans une ville de $80\,000$ habitants, $45\,\%$ ont moins de $30$ ans, et parmi ceux-ci $20\,\%$ sont scolarisés au lycée. a. Combien d'habitants ont moins de $30$ ans ? b. Quelle proportion de la ville représentent les lycéens ? Combien sont-ils ?
Correction. a. $0{,}45 \times 80\,000 = 36\,000$ habitants. b. $0{,}45 \times 0{,}20 = 0{,}09$, soit $9\,\%$ de la ville, c'est-à-dire $0{,}09 \times 80\,000 = 7\,200$ lycéens. Contrôle : $0{,}20 \times 36\,000 = 7\,200$ ✓.
Exercice 2 — Taux d'évolution
Un loyer passe de $650$ € à $702$ €. a. Calculer la variation absolue, le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution. b. Quel serait le loyer après une nouvelle hausse du même taux ?
Correction. a. Variation absolue : $702 - 650 = 52$ €. Coefficient : $\frac{702}{650} = 1{,}08$. Taux : $+8\,\%$. b. $702 \times 1{,}08 = 758{,}16$ €. Ou directement : $650 \times 1{,}08^2 = 650 \times 1{,}1664 = 758{,}16$ € ✓.
Exercice 3 — Évolutions successives
Une action perd $30\,\%$ une année, puis gagne $30\,\%$ l'année suivante. a. Quel est le taux d'évolution global ? b. Quel taux, la troisième année, ramènerait au cours initial ?
Correction. a. $CM = 0{,}70 \times 1{,}30 = 0{,}91$, soit un taux global de $-9\,\%$. b. Il faut le coefficient réciproque : $\dfrac{1}{0{,}91} \approx 1{,}0989$, soit environ $+9{,}89\,\%$.
Perdre $30\,\%$ puis gagner $30\,\%$ ne ramène pas au départ : la hausse s'applique à une base amputée. Et plus le taux est grand, plus l'écart se creuse — avec $\pm50\,\%$, il resterait $75\,\%$ du capital.
Exercice 4 — Retrouver la valeur initiale
Après une remise de $15\,\%$, un article coûte $102$ €. Quel était son prix avant remise ?
Correction. Le coefficient est $0{,}85$, donc $102 = P \times 0{,}85$, d'où $P = \frac{102}{0{,}85} = 120 \text{ €}.$ Contrôle : $120 \times 0{,}85 = 102$ ✓. Retrancher $15\,\%$ de $102$ aurait donné $86{,}70$ €, ce qui est faux — la remise porte sur le prix initial, pas sur le prix soldé.
Exercice 5 — Indicateurs
Voici les notes de deux élèves sur cinq devoirs : Alice : $10\ ;\ 11\ ;\ 12\ ;\ 13\ ;\ 14$ — Bruno : $4\ ;\ 8\ ;\ 12\ ;\ 16\ ;\ 20$. a. Calculer les deux moyennes. b. Calculer les deux écarts types. c. Que peut-on dire de ces deux élèves ?
Correction. a. Alice : $\frac{10+11+12+13+14}{5} = \frac{60}{5} = 12$. Bruno : $\frac{4+8+12+16+20}{5} = \frac{60}{5} = 12$. Même moyenne. b. Pour Alice, les écarts à la moyenne sont $-2,-1,0,1,2$ : $\sigma_A = \sqrt{\frac{4+1+0+1+4}{5}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41.$ Pour Bruno, les écarts sont $-8,-4,0,4,8$ : $\sigma_B = \sqrt{\frac{64+16+0+16+64}{5}} = \sqrt{32} \approx 5{,}66.$ c. Même niveau moyen, mais Alice est régulière et Bruno très irrégulier. Le couple moyenne–écart type distingue ce que la moyenne seule confondait.
Exercice 6 — Ajouter une valeur
La moyenne de $12$ valeurs vaut $15$. On ajoute une $13^{\text{e}}$ valeur égale à $28$. a. Quelle est la nouvelle moyenne ? b. Cette valeur change-t-elle nécessairement la médiane ?
Correction. a. La somme des $12$ premières valeurs vaut $12 \times 15 = 180$. La nouvelle somme est $180 + 28 = 208$, d'où $\bar x = \frac{208}{13} = 16.$ b. Non, pas nécessairement. La médiane ne dépend que du rang des valeurs, pas de leur taille. Ajouter une valeur très grande décale la médiane d'un demi-rang au plus — c'est précisément la raison pour laquelle on lui fait confiance quand la série contient des valeurs extrêmes.
Exercice 7 — Série en classes
Les durées (en minutes) de $50$ trajets sont réparties ainsi :
| Classe | $[0\,;20[$ | $[20\,;40[$ | $[40\,;60[$ | $[60\,;80]$ |
|---|---|---|---|---|
| effectif | $8$ | $20$ | $15$ | $7$ |
a. Estimer la durée moyenne. b. Déterminer la classe médiane, puis estimer la médiane.
Correction. a. Centres : $10$, $30$, $50$, $70$. $\bar x = \frac{8\times10 + 20\times30 + 15\times50 + 7\times70}{50} = \frac{80+600+750+490}{50} = \frac{1\,920}{50} = 38{,}4 \text{ min}.$ b. Effectifs cumulés : $8$ ; $28$ ; $43$ ; $50$. Le seuil de $25$ (la moitié de $50$) est franchi dans $[20\,;40[$ : c'est la classe médiane. Par interpolation : $\text{médiane} \approx 20 + \frac{25 - 8}{28 - 8} \times 20 = 20 + \frac{17}{20}\times20 = 37 \text{ min}.$
La moyenne ($38{,}4$) dépasse légèrement la médiane ($37$) : la série est un peu étirée vers les longues durées.
À retenir
Proportions emboîtées : elles se multiplient. Toujours se demander « pourcentage de quoi ? ».
Évolution : $t = \frac{V_2-V_1}{V_1}, \qquad CM = 1+t, \qquad V_2 = V_1 \times CM.$ Successives : $CM_1 \times CM_2$. Réciproque : $\dfrac{1}{CM}$. Les taux ne s'additionnent jamais.
Retrouver une valeur initiale : on divise par le coefficient, jamais on ne retranche le pourcentage.
Indicateurs par couples : moyenne–écart type, ou médiane–écart interquartile. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non.
Classes : centre de classe pour la moyenne, interpolation dans la classe médiane pour la médiane — ce sont des estimations.
Chapitre suivant : les probabilités, les tableaux croisés et les probabilités conditionnelles.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
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