Mathématiques — Seconde

Arithmétique — Maths Seconde (chapitre 1)

Multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs, fractions irréductibles. Programme 2026 de seconde générale et technologique, avec démonstrations et…

Par ProfBot

Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair

Chapitre 1 — Nombres et calculs · Seconde générale et technologique

Trois questions qui se ressemblent et qui n'ont pas la même difficulté : 145 est-il divisible par 5 ? (immédiat) ; 145 est-il divisible par 29 ? (un calcul) ; le carré d'un nombre impair est-il toujours impair ? (une démonstration). Ce premier chapitre installe le vocabulaire — multiple, diviseur, pair, impair — et surtout la manière de prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers, et pas seulement pour ceux qu'on a essayés.

Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Notations $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ; définition des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair : $a$ est multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = kb$. Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant ces notions ; présenter les fractions sous forme irréductible.

Démonstrations exigibles : pour une valeur numérique de $a$, la somme de deux multiples de $a$ est multiple de $a$ ; le carré d'un nombre impair est impair.

Algorithmes : déterminer si un entier naturel $a$ est multiple d'un entier naturel $b$ ; pour $a$ et $b$ donnés, déterminer le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$.

1. Les entiers : $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$

$\mathbb{N} = \{0\,;1\,;2\,;3\,;\dots\} \qquad \text{et} \qquad \mathbb{Z} = \{\dots\,;-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\,;\dots\}$

$\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels (ceux qui servent à compter, zéro compris), $\mathbb{Z}$ celui des entiers relatifs (les naturels et leurs opposés). Le $\mathbb{Z}$ vient de l'allemand Zahl, « nombre ».

Tout entier naturel est un entier relatif : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$. La réciproque est fausse, puisque $-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$.

2. Multiples et diviseurs

Définition. Soient $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $a$ est un multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que

$a = k \times b.$

On dit alors aussi que $b$ divise $a$, ou que $b$ est un diviseur de $a$.

Les deux phrases décrivent la même situation, vue des deux bouts : $35 = 5 \times 7$ signifie à la fois que $35$ est un multiple de $7$ et que $7$ divise $35$.

Les multiples de $7$ sont exactement les nombres $7k$ : ils se succèdent tous les $7$. Entre deux d'entre eux, aucun n'est multiple de $7$.

« Multiple » et « diviseur » sont des mots à ne PAS intervertir. Le multiple est le grand, le diviseur est le petit — au sens large : $0$ est multiple de tout entier ($0 = 0 \times b$), et tout entier est multiple de lui-même ($a = 1 \times a$). En revanche, on ne divise jamais par $0$ : $0$ n'est le diviseur de personne.

Trouver tous les diviseurs d'un nombre. On essaie $1, 2, 3, \dots$ et chaque diviseur trouvé en révèle un second.

Les diviseurs de $36$ sont $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ : neuf diviseurs. Ils vont par paires — sauf $6$, qui est apparié avec lui-même puisque $36 = 6 \times 6$.

Un nombre a un nombre IMPAIR de diviseurs si et seulement si c'est un carré parfait. C'est la conséquence directe de l'appariement : chaque diviseur $d$ appelle son associé $\frac{n}{d}$, et les deux ne coïncident que si $d^2 = n$. Il suffit donc de chercher les diviseurs jusqu'à $\sqrt{n}$ : au-delà, on ne trouve plus rien de nouveau.

Critères de divisibilité (à connaître par cœur) :

3. Pairs et impairs

Définition. Un entier $n$ est pair s'il est multiple de $2$, c'est-à-dire s'il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$. Il est impair sinon, et il s'écrit alors $n = 2k+1$.

L'écriture $n = 2k$ ou $n = 2k+1$ est l'outil de TOUTES les démonstrations de ce chapitre. Dire « $n$ est pair » ne permet aucun calcul ; écrire « $n = 2k$ avec $k$ entier » en permet immédiatement. Traduire l'hypothèse en écriture algébrique est le premier geste, systématiquement.

4. Deux démonstrations

La somme de deux multiples de $7$ est un multiple de $7$

Propriété. Si $a$ et $b$ sont deux multiples de $7$, alors $a + b$ est un multiple de $7$.

Démonstration. Par hypothèse, il existe deux entiers $k$ et $\ell$ tels que $a = 7k$ et $b = 7\ell$. Alors $a + b = 7k + 7\ell = 7(k + \ell).$ Or $k + \ell$ est un entier. Donc $a+b$ s'écrit $7 \times (\text{un entier})$ : c'est un multiple de $7$. $\blacksquare$

Le raisonnement n'utilise rien de particulier au nombre $7$ : il vaut pour n'importe quel entier $a$ à la place de $7$. C'est le propre du calcul littéral — une seule démonstration couvre une infinité de cas.

Attention : ce résultat ne se retourne pas. Si $a+b$ est un multiple de $7$, $a$ et $b$ n'ont aucune raison de l'être : $3 + 4 = 7$. La propriété est une implication, et sa réciproque est fausse.

Le carré d'un nombre impair est impair

Propriété. Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.

Démonstration. Si $n$ est impair, il existe un entier $k$ tel que $n = 2k+1$. Alors $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\underbrace{(2k^2 + 2k)}_{\text{entier}} + 1.$ $n^2$ s'écrit donc sous la forme $2 \times (\text{un entier}) + 1$ : il est impair. $\blacksquare$

La même idée en dessin : $7^2$ se découpe en un carré pair $6\times6 = 36$ et une équerre de $6+6+1 = 13$ cases, impaire. Pair $+$ impair $=$ impair.

Vérifier n'est pas démontrer. $1, 9, 25, 49, 81$ : cinq carrés d'impairs, tous impairs. Cela ne prouve rien — il reste une infinité de cas non testés. Seul le calcul sur $2k+1$ traite tous les impairs d'un coup. C'est exactement ce qui sépare une observation d'une preuve, et ce sera vrai toute l'année.

5. Fractions irréductibles

Définition. Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $a$ et $b$ n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$.

Méthode. On simplifie par les diviseurs communs jusqu'à ce qu'il n'en reste plus. $\frac{84}{126} = \frac{42 \times 2}{63 \times 2} = \frac{42}{63} = \frac{14 \times 3}{21 \times 3} = \frac{14}{21} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{2}{3}.$

On peut aussi décomposer en facteurs premiers, ce qui va plus vite : $\frac{84}{126} = \frac{2^2 \times 3 \times 7}{2 \times 3^2 \times 7} = \frac{2}{3}.$

Une fraction irréductible est une carte d'identité. Deux écritures différentes du même nombre ($\frac{84}{126}$ et $\frac{2}{3}$) se ramènent à une seule forme irréductible : c'est elle qui permet de reconnaître, du premier coup d'œil, que deux fractions sont égales.

6. Deux algorithmes

Tester si $a$ est un multiple de $b$. L'opérateur % donne le reste de la division euclidienne ; le reste est nul exactement quand la division tombe juste.

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

est_multiple(145, 29)     # True   car 145 = 29 × 5
est_multiple(145, 7)      # False  car 145 = 7 × 20 + 5

Le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$. On divise, on garde la partie entière du quotient, on remultiplie :

def plus_grand_multiple(a, b):
    """Le plus grand multiple de a qui ne dépasse pas b."""
    k = b // a            # division entière : la partie entière du quotient
    return k * a

plus_grand_multiple(7, 100)    # 98,  car 100 // 7 vaut 14 et 14 × 7 = 98

// et % vont ensemble. b // a est le quotient entier, b % a le reste, et l'on a toujours b = (b // a) * a + b % a. C'est la division euclidienne apprise à l'école primaire, écrite en Python.

7. Exercices corrigés

Exercice 1 — Multiples et diviseurs

a. Citer les cinq plus petits multiples positifs de $12$. b. Donner tous les diviseurs de $60$. c. $2\,024$ est-il un multiple de $8$ ? de $9$ ?

Correction. a. $12, 24, 36, 48, 60$ (ou $0, 12, 24, 36, 48$ si l'on accepte $0$, qui est bien multiple de $12$).

b. On teste $1, 2, 3, \dots$ jusqu'à $\sqrt{60} \approx 7{,}7$, chaque trouvaille en donnant deux : $1$ et $60$ · $2$ et $30$ · $3$ et $20$ · $4$ et $15$ · $5$ et $12$ · $6$ et $10$. Soit douze diviseurs : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$. Un nombre pair de diviseurs — $60$ n'est donc pas un carré parfait, ce qu'on savait déjà.

c. $2\,024 = 8 \times 253$, donc oui pour $8$. Pour $9$ : $2+0+2+4 = 8$, qui n'est pas divisible par $9$, donc non.

Exercice 2 — Vrai ou faux

a. Tout multiple de $6$ est un multiple de $3$. b. Tout multiple de $3$ est un multiple de $6$. c. Si un entier est divisible par $2$ et par $3$, il est divisible par $6$. d. Si un entier est divisible par $2$ et par $4$, il est divisible par $8$.

Correction. a. Vrai. Si $n = 6k$, alors $n = 3 \times (2k)$. b. Faux : $9$ est multiple de $3$, pas de $6$. c. Vrai (on l'admet ici : $2$ et $3$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$). d. Faux : $12$ est divisible par $2$ et par $4$, mais $12 = 8 \times 1{,}5$ n'est pas divisible par $8$. Le piège : $2$ et $4$ ont le diviseur commun $2$, on compterait deux fois le même facteur.

Exercice 3 — Une démonstration à imiter

Montrer que la somme de deux nombres pairs est paire, puis que la somme d'un pair et d'un impair est impaire.

Correction. Soient $m = 2k$ et $n = 2\ell$ deux entiers pairs. Alors $m + n = 2k + 2\ell = 2(k+\ell),$ qui est le double d'un entier : la somme est paire.

Soient maintenant $m = 2k$ pair et $n = 2\ell+1$ impair. Alors $m + n = 2k + 2\ell + 1 = 2(k + \ell) + 1,$ de la forme $2 \times (\text{entier}) + 1$ : la somme est impaire. $\blacksquare$

Exercice 4 — Deux impairs consécutifs

Montrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de $4$.

Correction. Deux impairs consécutifs s'écrivent $2k+1$ et $2k+3$. Leur somme vaut $(2k+1) + (2k+3) = 4k + 4 = 4(k+1),$ qui est bien un multiple de $4$. $\blacksquare$

Contrôle rapide : $5+7 = 12 = 4\times3$, $11+13 = 24 = 4\times6$. Cohérent.

Exercice 5 — Fractions

Rendre irréductibles : a. $\dfrac{45}{60}$ · b. $\dfrac{144}{180}$ · c. $\dfrac{91}{143}$.

Correction. a. $\dfrac{45}{60} = \dfrac{15\times3}{15\times4} = \dfrac{3}{4}$. b. $\dfrac{144}{180} = \dfrac{36\times4}{36\times5} = \dfrac{4}{5}$. c. Moins évident : $91 = 7 \times 13$ et $143 = 11 \times 13$, d'où $\dfrac{91}{143} = \dfrac{7}{11}$.

Quand aucun critère de divisibilité ne s'applique, on cherche les facteurs premiers : c'est le seul moyen sûr.

Exercice 6 — Un problème

Un pâtissier dispose de $84$ macarons et $126$ chocolats. Il veut composer des coffrets identiques, en utilisant tout. a. Peut-il faire $12$ coffrets ? b. Quel est le plus grand nombre de coffrets possible, et que contient alors chacun ?

Correction. a. Il faut que $12$ divise à la fois $84$ et $126$. Or $84 = 12 \times 7$ : d'accord. Mais $126 = 12 \times 10{,}5$ : non, $12$ ne divise pas $126$. Donc c'est impossible.

b. Il faut le plus grand diviseur commun de $84$ et $126$. En facteurs premiers : $84 = 2^2 \times 3 \times 7, \qquad 126 = 2 \times 3^2 \times 7.$ Les facteurs communs sont $2$, $3$ et $7$, d'où un PGCD de $2 \times 3 \times 7 = 42$. Il peut faire 42 coffrets, contenant chacun $\dfrac{84}{42} = 2$ macarons et $\dfrac{126}{42} = 3$ chocolats.

On retrouve la fraction irréductible du cours : $\frac{84}{126} = \frac{2}{3}$. Ce n'est pas un hasard — simplifier une fraction, c'est diviser par le PGCD.

À retenir

Définition : $a$ est multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = kb$. Dire « $b$ divise $a$ » est la même chose.

Écritures clés : $n$ pair $\iff n = 2k$ · $n$ impair $\iff n = 2k+1$, avec $k$ entier. Ce sont elles qui rendent les démonstrations possibles.

Les diviseurs vont par paires : il suffit de chercher jusqu'à $\sqrt n$. Un nombre de diviseurs impair signale un carré parfait.

Une démonstration se conduit toujours ainsi : traduire l'hypothèse en écriture algébrique, calculer, reconnaître la forme voulue. Essayer cinq exemples ne démontre rien ; un seul contre-exemple, en revanche, réfute définitivement.

Python : a % b == 0 teste la divisibilité · b // a donne le quotient entier.

Chapitre suivant : les nombres réels, les intervalles et la valeur absolue — comment mesurer une distance entre deux nombres.

Le programme complet de seconde

Nombres et calculs, algèbre

1. Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
2. Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
3. Calcul algébrique : puissances et racines
4. Équations, inéquations et tableaux de signes

Fonctions

1. Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
2. Variations, extrémums et fonctions affines
3. Les fonctions de référence

Géométrie

1. Les vecteurs du plan
2. Les droites du plan

Statistiques et probabilités

1. Information chiffrée et statistiques
2. Probabilités et tableaux croisés

Parties transversales

1. Algorithmique et programmation en Python
2. Logique, ensembles et raisonnements

Chapitre 2 · Les nombres réels, intervalles et valeur absolue →

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