Mathématiques — Seconde
Variations et extrémums — Maths Seconde (chapitre 6)
Sens de variation, tableau de variations, maximum et minimum sur un intervalle, fonctions affines et taux d'accroissement, problèmes d'optimisation.…
Par ProfBot
Variations, extrémums et fonctions affines
Chapitre 6 — Fonctions · Seconde générale et technologique
Savoir qu'une fonction est croissante sur un intervalle, c'est pouvoir comparer sans calculer : si $f$ croît sur $[0\,;10]$ et que $2 < 7$, alors $f(2) < f(7)$, quelles que soient les valeurs. Un tableau de variations résume ainsi, en trois flèches, tout ce qu'une infinité de calculs ne donnerait jamais.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Croissance, décroissance, monotonie d'une fonction définie sur un intervalle ; tableau de variations. Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle. Pour une fonction affine $f(x) = mx+p$, interprétation de $m$ comme taux d'accroissement et de $p$ comme ordonnée à l'origine ; variations selon le signe du coefficient directeur. Relier représentation graphique et tableau de variations ; déterminer graphiquement les extrémums ; comparer $f(a)$ et $f(b)$ ; traiter des problèmes d'optimisation.
Démonstration exigible : variations des fonctions affines.
Algorithmes : approximation numérique d'un extrémum (balayage, dichotomie).
1. Sens de variation
Définitions. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$.
- $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ : $a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)$.
- $f$ est décroissante sur $I$ si : $a \leqslant b \Rightarrow f(a) \geqslant f(b)$.
- $f$ est monotone sur $I$ si elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$.
Les versions strictes s'obtiennent avec
lt;$ à la place de $\leqslant$.
En français : une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante le renverse.
Le sens de variation se déclare TOUJOURS sur un intervalle. Dire « la fonction inverse est décroissante » est faux : elle est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$, mais $-1 < 1$ tandis que $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ — l'ordre est conservé d'un morceau à l'autre. On écrit donc les intervalles séparément, jamais leur réunion.
2. Le tableau de variations
Un tableau de variations résume l'allure de la courbe :
- la première ligne porte les valeurs de $x$ aux bornes et aux changements de sens ;
- la seconde porte des flèches — qui montent pour une fonction croissante, qui descendent pour une décroissante — et les valeurs de $f$ aux extrémités.
Pour $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2\,;2]$ : $f$ croît de $-2$ à $2$, puis décroît de $2$ à $-2$, puis croît à nouveau de $-2$ à $2$.
Une flèche n'est pas un segment. Elle dit le sens, pas la forme : entre deux nœuds, la courbe peut monter vite puis lentement, elle monte, c'est tout. Le tableau est un résumé, pas un dessin à l'échelle.
3. Maximum et minimum
Définitions. Soit $f$ définie sur $I$ et $c \in I$.
- $f(c)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si $f(x) \leqslant f(c)$ pour tout $x$ de $I$.
- $f(c)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si $f(x) \geqslant f(c)$ pour tout $x$ de $I$.
Un extrémum est un maximum ou un minimum.
![Une parabole sur [0;5] avec son maximum 5 en x = 2 et son minimum −4 atteint à la borne x = 5.](/plateforme/cours/maths-seconde/ch06-extremums.svg)
Un extrémum est une VALEUR ; il est ATTEINT en une abscisse. Sur la figure, le maximum vaut $5$ et il est atteint en $x = 2$. Répondre « le maximum est $2$ » confond la hauteur avec l'endroit. La formulation attendue est : « le maximum de $f$ sur $[0\,;5]$ est $5$, atteint en $x = 2$ ».
Un extrémum peut être atteint à une BORNE. Ici, le minimum $-4$ est atteint en $x = 5$, à l'extrémité de l'intervalle — la courbe n'y « retourne » pas, elle s'arrête. Changer l'intervalle change donc les extrémums : sur $[0\,;3]$, le minimum de la même fonction serait $f(0) = 1$.
Extrémum local. Sur la première figure, $f(-1) = 2$ n'est le maximum que dans les environs de $-1$. Si l'on prolongeait la courbe au-delà de $2$, on trouverait $f(3) = 27 - 9 = 18$, bien davantage. On parle donc de maximum local : le mot « local » rappelle que la comparaison ne vaut que sur un voisinage, pas partout.
4. Les fonctions affines
Définition. Une fonction affine est de la forme $f(x) = mx + p$ avec $m$ et $p$ réels. Le nombre $m$ est le coefficient directeur (ou pente), $p$ l'ordonnée à l'origine. Si $p = 0$, la fonction est linéaire ; si $m = 0$, elle est constante.
Sa représentation graphique est une droite.
Propriété (taux d'accroissement). Pour tous réels $a \neq b$ :
$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m.$
Ce quotient ne dépend ni de $a$ ni de $b$ : c'est ce qui caractérise les fonctions affines.
Démonstration. $f(b) - f(a) = (mb + p) - (ma + p) = m(b-a)$. En divisant par $b - a \neq 0$, on obtient $m$. $\blacksquare$
Variations d'une fonction affine
Propriété. $f(x) = mx+p$ est strictement croissante si $m > 0$, strictement décroissante si $m < 0$, constante si $m = 0$.
Démonstration. Soient $a < b$. D'après le calcul ci-dessus, $f(b) - f(a) = m(b-a).$ Comme $a < b$, le facteur $b - a$ est strictement positif. Le signe de $f(b) - f(a)$ est donc celui de $m$ :
- si $m > 0$, alors $f(b) - f(a) > 0$, c'est-à-dire $f(a) < f(b)$ : $f$ est strictement croissante ;
- si $m < 0$, alors $f(b) - f(a) < 0$ : $f$ est strictement décroissante ;
- si $m = 0$, alors $f(b) = f(a)$ : $f$ est constante. $\blacksquare$
Toute la démonstration tient dans le signe de $b-a$. C'est la méthode générale pour étudier des variations en seconde : prendre $a < b$, calculer la différence $f(b) - f(a)$, et en déterminer le signe. On la réutilisera au chapitre suivant pour les fonctions carré et inverse.
Signe d'une fonction affine ($m \neq 0$) : elle s'annule en $x = -\frac pm$ et prend ensuite le signe de $m$.
5. Problèmes d'optimisation
Problème. Reprenons l'enclos du [chapitre 5] : $60$ m de grillage contre un mur, une aire $A(x) = x(60-2x)$ pour $x \in\, ]0\,;30[$. Quelle largeur donne l'aire maximale ?
Par la forme canonique. On factorise puis on complète le carré : $A(x) = -2x^2 + 60x = -2\left(x^2 - 30x\right) = -2\left[(x-15)^2 - 225\right] = -2(x-15)^2 + 450.$ Le terme $-2(x-15)^2$ est négatif ou nul, et nul seulement pour $x = 15$. Donc $A(x) \leqslant 450 \quad \text{pour tout } x, \qquad \text{avec égalité si et seulement si } x = 15.$ Le maximum est donc $450$ m², atteint pour une largeur de $15$ m (et une longueur de $30$ m).
« Le tableur donne $450$ » n'est pas une démonstration. Un tableau de valeurs suggère le maximum ; l'écriture $-2(x-15)^2 + 450$ le prouve, pour tous les réels d'un coup — y compris ceux qu'aucun tableau ne contiendra jamais.
Par balayage (méthode numérique, quand le calcul exact n'est pas accessible) :
def maximum(f, a, b, pas):
"""Cherche le maximum de f sur [a ; b] en balayant par petits pas."""
x, meilleur_x = a, a
while x <= b:
if f(x) > f(meilleur_x):
meilleur_x = x
x = x + pas
return meilleur_x, f(meilleur_x)
maximum(lambda x: x*(60-2*x), 0, 30, 0.1) # (15.0, 450.0)
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Lire un tableau de variations
Une fonction $g$ définie sur $[-4\,;6]$ a le tableau suivant : décroissante de $7$ à $-2$ sur $[-4\,;1]$, puis croissante de $-2$ à $5$ sur $[1\,;6]$. a. Donner le minimum de $g$ et l'abscisse où il est atteint. b. Donner le maximum de $g$ sur $[-4\,;6]$. c. Comparer $g(-3)$ et $g(0)$, puis $g(2)$ et $g(5)$. d. Combien de solutions l'équation $g(x) = 0$ a-t-elle ?
Correction. a. Le minimum est $-2$, atteint en $x = 1$. b. Le maximum est $7$, atteint en $x = -4$ (à la borne) — car $7 > 5$. c. Sur $[-4\,;1]$, $g$ décroît : de $-3 < 0$ on tire $g(-3) > g(0)$. Sur $[1\,;6]$, $g$ croît : de $2 < 5$ on tire $g(2) < g(5)$. d. Sur $[-4\,;1]$, $g$ décroît continûment de $7$ à $-2$ : elle traverse $0$ une fois. Sur $[1\,;6]$, elle croît de $-2$ à $5$ : encore une fois. Total : deux solutions.
Exercice 2 — Comparer sans calculer
Soit $f$ croissante sur $[0\,;+\infty[$ avec $f(3) = 5$. a. Que peut-on dire de $f(2)$ ? de $f(10)$ ? b. L'équation $f(x) = 5$ peut-elle avoir deux solutions dans $[0\,;+\infty[$ si $f$ est strictement croissante ?
Correction. a. $2 < 3$ et $f$ croissante donnent $f(2) \leqslant 5$. De même $10 > 3$ donne $f(10) \geqslant 5$. b. Non. Si $a < b$ étaient deux solutions, la stricte croissance imposerait $f(a) < f(b)$, alors que les deux valent $5$. Contradiction : il y a au plus une solution.
Exercice 3 — Fonctions affines
Soit $f(x) = -3x + 7$. a. Donner $m$ et $p$, puis le sens de variation. b. Calculer le taux d'accroissement entre $1$ et $4$. c. Résoudre $f(x) = 0$ et étudier le signe de $f$.
Correction. a. $m = -3$ et $p = 7$. Comme $m < 0$, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. b. $f(1) = 4$ et $f(4) = -5$, d'où $\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{-5 - 4}{3} = \frac{-9}{3} = -3 = m. \ \checkmark$ c. $-3x + 7 = 0$ donne $x = \frac73$. Comme $m < 0$, $f$ est positive avant $\frac73$ et négative après.
Exercice 4 — Déterminer une fonction affine
Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(2) = 1$ et $f(5) = 7$.
Correction. Le coefficient directeur est le taux d'accroissement : $m = \frac{7 - 1}{5 - 2} = \frac63 = 2.$ Puis $f(2) = 1$ donne $2\times2 + p = 1$, soit $p = -3$. Donc $f(x) = 2x - 3$.
Vérification : $f(5) = 10 - 3 = 7$ ✓.
Exercice 5 — Variations par la différence
Montrer que $f(x) = 5 - 2x$ est décroissante sur $\mathbb{R}$, en revenant à la définition.
Correction. Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a < b$. Alors $f(b) - f(a) = (5 - 2b) - (5 - 2a) = -2(b - a).$ Comme $a < b$, on a $b - a > 0$, donc $-2(b-a) < 0$, c'est-à-dire $f(b) < f(a)$. Ainsi $a < b \Rightarrow f(a) > f(b)$ : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. $\blacksquare$
Exercice 6 — Optimisation
Un objet lancé verticalement atteint la hauteur $h(t) = -5t^2 + 20t$ mètres au bout de $t$ secondes ($t$ en secondes, $0 \leqslant t \leqslant 4$). a. Écrire $h(t)$ sous la forme $-5(t - \alpha)^2 + \beta$. b. En déduire la hauteur maximale et l'instant où elle est atteinte. c. À quel instant l'objet retombe-t-il au sol ?
Correction. a. $h(t) = -5(t^2 - 4t) = -5\left[(t-2)^2 - 4\right] = -5(t-2)^2 + 20$. b. Le terme $-5(t-2)^2$ est négatif ou nul, nul seulement en $t = 2$. La hauteur maximale est donc $20$ m, atteinte à $t = 2$ s. c. $h(t) = 0 \iff -5t(t - 4) = 0 \iff t = 0$ ou $t = 4$. L'objet retombe à $t = 4$ s.
Contrôle de cohérence : la trajectoire est symétrique, le sommet à $t=2$ tombe bien au milieu de $[0\,;4]$ ✓.
À retenir
Croissante : conserve l'ordre ($a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)$). Décroissante : renverse l'ordre. Toujours sur un intervalle.
Tableau de variations : flèches montantes ou descendantes, valeurs aux nœuds. C'est un résumé du sens, pas un tracé.
Extrémum : une valeur, atteinte en une abscisse — et qui peut l'être à une borne. Changer l'intervalle change les extrémums.
Affine $f(x) = mx+p$ : $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = m \quad (\text{constant}), \qquad m>0 \Rightarrow \text{croissante}, \quad m<0 \Rightarrow \text{décroissante}.$
Méthode générale pour les variations : prendre $a < b$, calculer $f(b) - f(a)$, en étudier le signe.
Optimiser : la forme $a(x-\alpha)^2 + \beta$ démontre l'extrémum, là où un tableau de valeurs ne fait que le suggérer.
Chapitre suivant : les fonctions de référence — carré, inverse, racine carrée, cube et valeur absolue.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
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