Mathématiques — Seconde
Fonctions de référence — Maths Seconde (chapitre 7)
Fonctions carré, inverse, valeur absolue, racine carrée et cube : courbes, variations, signes, résolution d'équations et position relative de y = x et y =…
Par ProfBot
Les fonctions de référence
Chapitre 7 — Fonctions · Seconde générale et technologique
Cinq courbes à connaître par cœur, comme on connaît ses tables de multiplication. Elles servent de points de comparaison : devant une fonction inconnue, la première question est toujours « à laquelle des cinq ressemble-t-elle ? ». Et l'une d'elles réserve une surprise : entre $0$ et $1$, élever au carré diminue le nombre.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Fonctions valeur absolue, carré, inverse : définitions et courbes représentatives. Fonctions valeur absolue, carré : signe et variations. Pour les fonctions affines, valeur absolue, carré, inverse, racine carrée et cube : résoudre graphiquement ou algébriquement une équation ou une inéquation du type $f(x) = k$, $f(x) < k$. Comparer $f(a)$ et $f(b)$ numériquement ou graphiquement.
Démonstrations exigibles : variations des fonctions carré et inverse ; position relative des courbes d'équation $y = x$ et $y = x^2$ pour $x \geqslant 0$.
1. La galerie
| Fonction | Définie sur | Courbe | Variations | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $x \mapsto mx+p$ | $\mathbb{R}$ | droite | selon le signe de $m$ | ||
| $x \mapsto x^2$ | $\mathbb{R}$ | parabole | décroît puis croît | ||
| $x \mapsto \ | x\ | $ | $\mathbb{R}$ | courbe en V | décroît puis croît |
| $x \mapsto \dfrac1x$ | $\mathbb{R}^* $ | hyperbole | décroît sur chaque branche | ||
| $x \mapsto \sqrt x$ | $[0\,;+\infty[$ | demi-branche | croissante | ||
| $x \mapsto x^3$ | $\mathbb{R}$ | courbe « en S » | croissante |
2. La fonction carré
Définition et propriétés. $f(x) = x^2$ est définie sur $\mathbb{R}$. Sa courbe est une parabole de sommet $O$, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées — car $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$. Elle est positive ou nulle partout, et ne s'annule qu'en $0$.
Démonstration des variations
Sur $[0\,;+\infty[$. Soient $a$ et $b$ tels que $0 \leqslant a < b$. Alors $f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a).$ Le facteur $b - a$ est strictement positif (car $a<b$) et le facteur $b+a$ est strictement positif (somme de deux nombres positifs dont l'un au moins est non nul). Le produit est donc strictement positif : $f(a) < f(b)$, et $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.
Sur $]-\infty\,;0]$. Soient $a < b \leqslant 0$. Le même calcul donne $f(b) - f(a) = (b-a)(b+a)$ avec cette fois $b - a > 0$ et $b + a < 0$ (somme de deux nombres négatifs). Le produit est strictement négatif : $f(b) < f(a)$, et $f$ est strictement décroissante. $\blacksquare$
La méthode est toujours la même — celle du [chapitre 6] : prendre $a < b$, calculer la différence $f(b) - f(a)$, la factoriser, puis lire le signe de chaque facteur. Ce qui change d'une fonction à l'autre, c'est seulement la factorisation.
La position relative de $y = x$ et $y = x^2$
Propriété. Pour $x \geqslant 0$ :
$0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow x^2 \leqslant x, \qquad x \geqslant 1 \Rightarrow x^2 \geqslant x.$
Démonstration. On étudie le signe de la différence : $x^2 - x = x(x-1).$ Pour $x \in [0\,;1]$ : $x \geqslant 0$ et $x - 1 \leqslant 0$, donc le produit est négatif ou nul, c'est-à-dire $x^2 \leqslant x$. Pour $x \geqslant 1$ : les deux facteurs sont positifs ou nuls, donc $x^2 \geqslant x$. Les deux courbes se coupent exactement là où la différence s'annule, en $x = 0$ et $x = 1$. $\blacksquare$
Élever au carré n'agrandit pas toujours. $0{,}5^2 = 0{,}25$, plus petit que $0{,}5$ ; $0{,}1^2 = 0{,}01$, dix fois plus petit. C'est contre-intuitif parce qu'on ne pense qu'aux nombres plus grands que $1$. Même retournement pour la racine : $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ est plus grand que $0{,}25$.
3. La fonction inverse
Définition et propriétés. $f(x) = \dfrac1x$ est définie sur $\mathbb{R}^* = \,]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[$. Sa courbe est une hyperbole en deux branches, symétrique par rapport à l'origine — car $f(-x) = -f(x)$.
$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$. Elle a le signe de $x$ et ne s'annule jamais.
Démonstration des variations. Soient $a$ et $b$ de même signe, avec $a < b$. Alors $f(b) - f(a) = \frac1b - \frac1a = \frac{a - b}{ab}.$ Le numérateur $a - b$ est strictement négatif (car $a<b$). Le dénominateur $ab$ est strictement positif, puisque $a$ et $b$ sont de même signe. Le quotient est donc strictement négatif : $f(b) < f(a)$. La fonction est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles. $\blacksquare$
**« Décroissante sur $]-\infty\,;0[$ ET sur $]0\,;+\infty[$ » n'est pas « décroissante sur $\mathbb{R}^*$ ». Le contre-exemple est sur la figure : $-1 < 1$ et pourtant $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$ — l'ordre est conservé d'une branche à l'autre. La démonstration montre bien pourquoi : elle exige que $a$ et $b$ soient de même signe**, sans quoi $ab$ serait négatif.
4. Valeur absolue, racine carrée, cube
Valeur absolue $f(x) = |x|$ : définie sur $\mathbb{R}$, courbe en V de sommet $O$, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$, toujours positive ou nulle. Sur $[0\,;+\infty[$ sa courbe est confondue avec la droite $y = x$.
Racine carrée $f(x) = \sqrt x$ : définie sur $[0\,;+\infty[$ seulement, croissante, positive ou nulle. Sa courbe est la moitié d'une parabole « couchée ».
Cube $f(x) = x^3$ : définie sur $\mathbb{R}$, croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier (contrairement au carré !), du signe de $x$, symétrique par rapport à l'origine.
Le carré et le cube n'ont pas du tout le même comportement. $x^2$ écrase les négatifs vers le haut (une parabole), $x^3$ les envoie vers le bas (une courbe en S). D'où : $x^2 = 4$ a deux solutions, mais $x^3 = 8$ n'en a qu'une, $x = 2$. La parité de l'exposant change tout.
5. Résoudre avec les fonctions de référence
| Équation | Solutions | ||
|---|---|---|---|
| $x^2 = k$ | $\pm\sqrt k$ si $k>0$ · $0$ si $k=0$ · aucune si $k<0$ | ||
| $x^3 = k$ | une seule, pour tout $k$ | ||
| $\dfrac1x = k$ | $x = \dfrac1k$ si $k \neq 0$ · aucune si $k = 0$ | ||
| $\sqrt x = k$ | $x = k^2$ si $k \geqslant 0$ · aucune si $k<0$ | ||
| $\ | x\ | = k$ | $\pm k$ si $k>0$ · $0$ si $k=0$ · aucune si $k<0$ |
Les inéquations, elles, se lisent sur les variations. Par exemple, pour $k > 0$ : $x^2 < k \iff -\sqrt k < x < \sqrt k, \qquad |x| < k \iff -k < x < k.$
Ne jamais « multiplier en croix » par $x$ sans discuter son signe. Pour $\frac1x < 2$, multiplier par $x$ donne $1 < 2x$ si $x>0$, mais $1 > 2x$ si $x<0$ — l'inégalité se retourne. La solution complète est $x < 0$ ou $x > \frac12$, ce qu'un tableau de signes de $\frac1x - 2 = \frac{1-2x}{x}$ donne sans risque.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Comparer sans calculer
Comparer, en justifiant par les variations : a. $3{,}2^2$ et $3{,}5^2$ · b. $(-4)^2$ et $(-2)^2$ · c. $\dfrac{1}{7}$ et $\dfrac{1}{9}$ · d. $\dfrac{1}{-3}$ et $\dfrac{1}{-8}$.
Correction. a. Les deux nombres sont positifs et le carré croît sur $[0\,;+\infty[$ : de $3{,}2 < 3{,}5$ on tire $3{,}2^2 < 3{,}5^2$. b. Les deux sont négatifs et le carré décroît sur $]-\infty\,;0]$ : de $-4 < -2$ on tire $(-4)^2 > (-2)^2$, soit $16 > 4$. ✓ c. L'inverse décroît sur $]0\,;+\infty[$ : de $7 < 9$ on tire $\frac17 > \frac19$. d. Les deux sont négatifs, donc sur la même branche, où l'inverse décroît aussi : de $-8 < -3$ on tire $\frac{1}{-8} > \frac{1}{-3}$, soit $-0{,}125 > -0{,}333$. ✓
Exercice 2 — Équations
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a. $x^2 = 7$ · b. $x^2 = -4$ · c. $x^3 = -27$ · d. $\dfrac1x = -5$ · e. $\sqrt x = 3$ · f. $|x| = 6$.
Correction. a. $\mathcal{S} = \{-\sqrt7\,;\sqrt7\}$. b. Un carré n'est jamais négatif : $\mathcal{S} = \varnothing$. c. $\mathcal{S} = \{-3\}$ — une seule solution, car $(-3)^3 = -27$ et le cube est strictement croissant. d. $x = -\frac15 = -0{,}2$. e. $x = 9$. f. $\mathcal{S} = \{-6\,;6\}$.
Exercice 3 — Inéquations
Résoudre : a. $x^2 \leqslant 9$ · b. $x^2 > 5$ · c. $|x| < 3$ · d. $\sqrt x \leqslant 2$.
Correction. a. $x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \leqslant 0$, donc $\mathcal{S} = [-3\,;3]$. b. À l'extérieur des racines : $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;-\sqrt5[\;\cup\;]\sqrt5\,;+\infty[$. c. $\mathcal{S} = \,]-3\,;3[$. d. La racine n'existe que pour $x \geqslant 0$, et elle est croissante : $\sqrt x \leqslant 2 \iff x \leqslant 4$. En tenant compte du domaine, $\mathcal{S} = [0\,;4]$.
Dans d, oublier la condition $x \geqslant 0$ ferait écrire $]-\infty\,;4]$ — un ensemble où la fonction n'existe même pas.
Exercice 4 — Position relative
Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant : $0{,}3$ ; $0{,}3^2$ ; $\sqrt{0{,}3}$ ; $0{,}3^3$.
Correction. Pour $x$ compris entre $0$ et $1$, élever à une puissance diminue le nombre, et plus l'exposant est grand, plus il diminue ; la racine, elle, l'augmente. D'où $0{,}3^3 < 0{,}3^2 < 0{,}3 < \sqrt{0{,}3}.$ Contrôle numérique : $0{,}027 < 0{,}09 < 0{,}3 < 0{,}5477\dots$ ✓
Exercice 5 — Une équation avec quotient
Résoudre $\dfrac1x \geqslant 4$.
Correction. On ne multiplie pas par $x$. On étudie le signe de la différence : $\frac1x - 4 = \frac{1 - 4x}{x}.$ Le numérateur s'annule en $x = \frac14$, le dénominateur en $x = 0$ (valeur interdite).
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $\frac14$ | $+\infty$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $1-4x$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||||
| $x$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | ||||
| quotient | $-$ | $\ | $ | $+$ | $0$ | $-$ |
L'inéquation $\frac1x - 4 \geqslant 0$ est donc vérifiée sur $\left]0\,;\frac14\right]$.
Contrôle : $x = 0{,}1$ donne $\frac{1}{0{,}1} = 10 \geqslant 4$ ✓ ; $x = -1$ donne $-1 \geqslant 4$, faux ✓ ; $x = 1$ donne $1 \geqslant 4$, faux ✓.
Exercice 6 — Lecture graphique
Sur la galerie, combien de solutions ont les équations suivantes ? a. $x^2 = 3$ · b. $|x| = -1$ · c. $x^3 = 5$ · d. $\frac1x = 0$.
Correction. a. La droite $y = 3$ coupe la parabole en deux points. b. La droite $y = -1$ passe sous le V : aucune solution. c. La courbe du cube monte de $-\infty$ à $+\infty$ sans jamais redescendre : elle coupe $y = 5$ en un point. d. L'axe des abscisses n'est jamais atteint par l'hyperbole : aucune solution.
À retenir
Carré : parabole, symétrique par rapport à $Oy$, décroît puis croît en $0$, toujours $\geqslant 0$. Inverse : hyperbole, symétrique par rapport à $O$, décroît sur chaque branche (jamais sur $\mathbb{R}^*$), du signe de $x$. Valeur absolue : V, toujours $\geqslant 0$. Racine : définie sur $[0\,;+\infty[$, croissante. Cube : croissante sur $\mathbb{R}$.
La position relative : $0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow x^2 \leqslant x, \qquad x \geqslant 1 \Rightarrow x^2 \geqslant x.$
Méthode des variations : $a<b$, on calcule $f(b)-f(a)$, on factorise, on lit les signes.
Jamais de multiplication en croix par $x$ sans connaître son signe : on passe par un tableau de signes.
Chapitre suivant : les vecteurs du plan — coordonnées, colinéarité et alignement.
Le programme complet de seconde
Nombres et calculs, algèbre
- Arithmétique : multiples, diviseurs, pair et impair
- Les nombres réels, intervalles et valeur absolue
- Calcul algébrique : puissances et racines
- Équations, inéquations et tableaux de signes
Fonctions
- Fonctions : vocabulaire et lectures graphiques
- Variations, extrémums et fonctions affines
- Les fonctions de référence
Géométrie
Statistiques et probabilités
Parties transversales
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