Mathématiques — Première
Logique, ensembles et automatismes — Maths Première (chapitre 12)
Vocabulaire ensembliste, implication, réciproque, contraposée, quantificateurs et négation, raisonnements par l'absurde et par disjonction de cas, taux…
Par ProfBot
Logique, ensembles et automatismes
Chapitre 12 — Partie transversale · Première, spécialité mathématiques
Ce chapitre n'apporte presque aucune notion nouvelle : il nomme ce que vous utilisez depuis onze chapitres. Savoir que « $x=3$ entraîne $x^2=9$ » mais que la réciproque est fausse, savoir écrire la négation de « tous les élèves sont présents », savoir qu'une baisse de $20\,\%$ ne s'annule pas par une hausse de $20\,\%$ : voilà ce qui sépare un raisonnement juste d'un raisonnement qui ressemble à un raisonnement juste.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Vocabulaire ensembliste et logique : élément, sous-ensemble, ensemble vide, appartenance, inclusion, réunion, intersection, complémentaire, symboles $\varnothing, \in, \subset, \cap, \cup, \{\dots\}$, notations des ensembles de nombres et des intervalles, couple et produit cartésien, $\operatorname{Card}(A)$ ; connecteurs « et » / « ou » ; contre-exemple ; implication, équivalence, réciproque, contraposée ; conditions nécessaire et suffisante ; statut des égalités et des lettres ; quantificateurs (les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles) et quantifications implicites ; négation d'une proposition quantifiée ; raisonnements par disjonction des cas, par l'absurde, par contraposée. Automatismes : taux d'évolution (direct, réciproque, successifs), équation produit nul, signe d'une expression du premier degré ou d'une expression factorisée du second degré, développer/factoriser/réduire.
1. Le vocabulaire des ensembles
Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. On peut le décrire :
- en extension, en donnant la liste : $A = \{1\,;3\,;5\,;7\}$ ;
- en compréhension, par une propriété : $A = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ est impair et } n < 8\}$.
| Symbole | Se lit | Exemple |
|---|---|---|
| $\in$ | appartient à | $3 \in A$ |
| $\notin$ | n'appartient pas à | $4 \notin A$ |
| $\subset$ | est inclus dans | $\{1\,;3\} \subset A$ |
| $\varnothing$ | l'ensemble vide | $\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 0\} = \varnothing$ |
| $\operatorname{Card}(A)$ | le nombre d'éléments | $\operatorname{Card}(A) = 4$ |
$\in$ relie un élément à un ensemble ; $\subset$ relie deux ensembles. On écrit $3 \in A$ (l'élément $3$), mais $\{3\} \subset A$ (l'ensemble contenant $3$). Écrire « $3 \subset A$ » ou « $\{3\} \in A$ » est une faute, pas une variante d'écriture.
Les opérations
- Réunion $A \cup B$ : les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ (ou dans les deux).
- Intersection $A \cap B$ : les éléments qui sont dans $A$ et dans $B$.
- Complémentaire $\overline{A}$ (ou $E \setminus A$) : les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.
Le « ou » des mathématiques est INCLUSIF. « $x \in A$ ou $x \in B$ » n'exclut pas que $x$ soit dans les deux, contrairement au « ou » du langage courant (« fromage ou dessert »). Quand on veut exclure, on le dit : « ou bien… ou bien… », ou l'on parle d'événements incompatibles.
Formule du crible (pour des ensembles finis) : $\operatorname{Card}(A \cup B) = \operatorname{Card}(A) + \operatorname{Card}(B) - \operatorname{Card}(A \cap B).$ On retranche l'intersection parce qu'en additionnant les deux cardinaux, on l'a comptée deux fois.
Les ensembles de nombres
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
| Ensemble | Nom | Exemple d'élément… | …qui n'est pas dans le précédent |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | entiers naturels | $0,\ 7$ | — |
| $\mathbb{Z}$ | entiers relatifs | $-5$ | $-5 \notin \mathbb{N}$ |
| $\mathbb{D}$ | décimaux | $0{,}25$ | $0{,}25 \notin \mathbb{Z}$ |
| $\mathbb{Q}$ | rationnels | $\frac13$ | $\frac13 \notin \mathbb{D}$ |
| $\mathbb{R}$ | réels | $\sqrt2,\ \pi$ | $\sqrt2 \notin \mathbb{Q}$ |
On note $\mathbb{R}^*$ l'ensemble des réels non nuls, $\mathbb{R}^+$ celui des réels positifs ou nuls.
Les intervalles
$[a\,;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leqslant x \leqslant b\}, \qquad ]a\,;b[ \ = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}.$
Du côté de l'infini, le crochet est TOUJOURS ouvert : on écrit $]-\infty\,;5]$ et jamais $[-\infty\,;5]$, parce que $-\infty$ n'est pas un nombre et ne peut donc pas appartenir à l'intervalle.
Attention à l'intersection vide. $[1\,;2] \cap [3\,;4] = \varnothing$, et $[1\,;2] \cup [3\,;4]$ n'est pas un intervalle : c'est une réunion de deux intervalles, qu'on laisse écrite telle quelle.
Couples et produit cartésien
Un couple $(x\,;y)$ est une paire ordonnée : $(1\,;2) \neq (2\,;1)$, alors que l'ensemble $\{1\,;2\}$ est égal à $\{2\,;1\}$. Le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble de tous les couples dont le premier terme est dans $A$ et le second dans $B$. Ainsi $\{1\,;2\} \times \{a\,;b\} = \{(1\,;a),\,(1\,;b),\,(2\,;a),\,(2\,;b)\}, \qquad \operatorname{Card}(A \times B) = \operatorname{Card}(A) \times \operatorname{Card}(B).$ Le plan muni d'un repère s'identifie à $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ : c'est exactement ce qu'on fait depuis le chapitre 8.
2. Implication, réciproque, contraposée
Définition. L'implication « $P \Rightarrow Q$ » signifie : chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ l'est aussi. On dit alors que $P$ est une condition suffisante pour $Q$, et que $Q$ est une condition nécessaire pour $P$.
À partir de $P \Rightarrow Q$ on forme :
- la réciproque $Q \Rightarrow P$ — qui n'a aucune raison d'être vraie ;
- la contraposée $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$ — qui est toujours vraie en même temps que l'implication de départ.
L'exemple à retenir. $x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$ est vraie. Sa réciproque $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ est fausse : $x = -3$ est un contre-exemple. Sa contraposée $x^2 \neq 9 \Rightarrow x \neq 3$ est vraie.
Une implication et sa réciproque disent des choses différentes. « Tout carré est un rectangle » est vrai ; « tout rectangle est un carré » est faux. La confusion des deux est l'erreur de raisonnement la plus fréquente — dans les copies comme dans les journaux.
L'équivalence. Quand $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ sont toutes deux vraies, on écrit $P \Leftrightarrow Q$ et l'on dit « $P$ si et seulement si $Q$ ». $P$ est alors une condition nécessaire et suffisante. Exemple correct : $x^2 = 9 \iff (x = 3 \text{ ou } x = -3).$
3. Quantificateurs et négation
Deux façons de quantifier une proposition dépendant de $x$ :
- universelle : « pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$ » ;
- existentielle : « il existe un réel $x$ tel que $x^2 = 2$ ».
Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles : on peut tout écrire en français, ce qui est souvent plus clair.
Les quantifications implicites. Quand on écrit « si $x > 2$ alors $x^2 > 4$ », le « pour tout réel $x$ » est sous-entendu. De même, l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ signifie « pour tous réels $a$ et $b$ ». Repérer ces quantificateurs cachés, c'est comprendre ce qu'on est réellement en train d'affirmer.
Les négations
| Proposition | Sa négation |
|---|---|
| Pour tout $x$, $P(x)$ | Il existe au moins un $x$ tel que non $P(x)$ |
| Il existe $x$ tel que $P(x)$ | Pour tout $x$, non $P(x)$ |
| $P$ et $Q$ | non $P$ ou non $Q$ |
| $P$ ou $Q$ | non $P$ et non $Q$ |
Nier « pour tout », ce n'est pas « pour aucun ». La négation de « tous les élèves sont présents » est « au moins un élève est absent », et non « tous les élèves sont absents ». Un seul contre-exemple suffit à détruire une proposition universelle — c'est précisément à cela que sert un contre-exemple.
Attention aussi à la négation d'une inégalité : la négation de $x > 2$ est $x \leqslant 2$ (et non $x < 2$).
Le statut des lettres et des égalités
Le programme insiste sur ce point, car une même lettre ne joue pas toujours le même rôle :
| Statut | Ce que c'est | Exemple |
|---|---|---|
| identité | une égalité vraie pour toutes les valeurs | $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ |
| équation | une égalité vraie pour certaines valeurs, qu'on cherche | $x^2 - 5x + 6 = 0$ |
| variable | une lettre qui parcourt un ensemble | le $x$ de $f(x) = x^2$ |
| inconnue | une lettre dont on cherche la valeur | le $x$ d'une équation |
| paramètre | une lettre fixée, mais quelconque | le $m$ de $f(x) = x^2 + mx$ |
4. Trois façons de démontrer
Par disjonction des cas. On sépare la situation en cas qui couvrent toutes les possibilités, et on traite chacun.
Exemple. Montrer que pour tout entier $n$, le produit $n(n+1)$ est pair. — Si $n$ est pair, $n(n+1)$ est un multiple d'un nombre pair, donc pair. — Si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair, et le produit l'est aussi. Ces deux cas épuisent les possibilités : la propriété est donc vraie pour tout $n$.
Par contraposée. Pour établir $P \Rightarrow Q$, on démontre $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$, ce qui revient au même et est parfois bien plus commode.
Exemple. Montrer que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair. Par contraposée : si $n$ est pair, alors $n = 2k$ et $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ est pair. C'est démontré.
Par l'absurde. On suppose la proposition fausse et on en tire une contradiction ; c'est donc qu'elle est vraie.
Exemple (Euclide). Supposons $\sqrt2$ rationnel : $\sqrt2 = \frac{p}{q}$ avec la fraction irréductible. Alors $p^2 = 2q^2$, donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (par la contraposée qu'on vient d'établir !), disons $p = 2k$. Il vient $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$ : $q$ est pair lui aussi. Mais $p$ et $q$ tous deux pairs contredit l'irréductibilité. Donc $\sqrt2$ est irrationnel.
5. Les automatismes du programme
Taux d'évolution
Passer d'une valeur $V_i$ à une valeur $V_f$ : $t = \frac{V_f - V_i}{V_i}, \qquad V_f = V_i \times (1 + t), \qquad \boxed{CM = 1+t}$ où $CM$ est le coefficient multiplicateur.
| Évolution | Coefficient multiplicateur |
|---|---|
| $+20\,\%$ | $1{,}20$ |
| $-20\,\%$ | $0{,}80$ |
| $+3\,\%$ | $1{,}03$ |
| $\times 3$ | $3$, soit $+200\,\%$ |
Évolutions successives : les coefficients se multiplient (les pourcentages, eux, ne s'additionnent pas). $CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2.$
Évolution réciproque : celle qui ramène à la valeur de départ ; son coefficient est l'inverse. $CM' = \frac{1}{CM}.$
$+20\,\%$ puis $-20\,\%$ ne rend PAS la valeur de départ. Le coefficient global vaut $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$, soit une baisse de $4\,\%$. La raison : la baisse s'applique à une base déjà augmentée. C'est le piège de pourcentage le plus courant, et il coûte cher hors des mathématiques aussi.
Équation produit nul et signes
$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0.$
Signe de $ax + b$ ($a \neq 0$) : la seule racine est $x = -\dfrac{b}{a}$ ; l'expression est du signe de $a$ après cette racine, du signe contraire avant.
Signe d'un produit factorisé $a(x - x_1)(x - x_2)$ : on fait un tableau de signes. Pour $a > 0$ et $x_1 < x_2$, l'expression est positive à l'extérieur des racines et négative entre les deux — ce qui redonne, sans aucun calcul de discriminant, le résultat du chapitre 2.
Identités remarquables
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \quad a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).$
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Appartenance et inclusion
Soit $A = \{-2\,;0\,;1\,;5\}$. Vrai ou faux ? a. $0 \in A$ · b. $\{0\} \in A$ · c. $\{0\,;5\} \subset A$ · d. $\varnothing \subset A$ · e. $\operatorname{Card}(A) = 4$
Correction. a. Vrai. b. Faux : $\{0\}$ est un ensemble, pas un élément de $A$ ; il faudrait écrire $\{0\} \subset A$. c. Vrai. d. Vrai : l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble (il n'a aucun élément qui pourrait manquer à $A$). e. Vrai.
Exercice 2 — Réunion, intersection, crible
Dans une classe de $30$ élèves, $18$ font de l'anglais, $14$ de l'espagnol et $6$ font les deux. Combien d'élèves font au moins une des deux langues ? Combien n'en font aucune ?
Correction. Avec la formule du crible : $\operatorname{Card}(A \cup E) = 18 + 14 - 6 = 26.$ Il y a donc $26$ élèves faisant au moins une langue, et $30 - 26 = 4$ n'en faisant aucune.
Sans le crible, on aurait écrit $18 + 14 = 32 > 30$ : les $6$ bilingues auraient été comptés deux fois.
Exercice 3 — Réciproque et contraposée
Soit la proposition : « si $n$ est un multiple de $4$, alors $n$ est pair ». Écrire sa réciproque et sa contraposée, et dire si chacune est vraie.
Correction. Réciproque : « si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $4$ ». Fausse : $n = 6$ est un contre-exemple. Contraposée : « si $n$ n'est pas pair, alors $n$ n'est pas un multiple de $4$ ». Vraie, puisque l'implication de départ l'est.
Exercice 4 — Négations
Écrire la négation de chaque proposition. a. Tous les nombres premiers sont impairs. b. Il existe un réel $x$ tel que $x^2 + 1 = 0$. c. Pour tout réel $x$, $x > 2$ et $x < 5$.
Correction. a. « Il existe au moins un nombre premier qui est pair. » (Et cette négation est vraie : $2$.) b. « Pour tout réel $x$, $x^2 + 1 \neq 0$. » (Vraie : $x^2+1 \geqslant 1 > 0$.) c. « Il existe un réel $x$ tel que $x \leqslant 2$ ou $x \geqslant 5$. » — noter le double retournement : le « pour tout » devient « il existe », et le « et » devient « ou ».
Exercice 5 — Intervalles
Écrire sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles : a. $[-3\,;4] \cap [0\,;7]$ · b. $]-\infty\,;2[ \,\cup\, [1\,;+\infty[$ · c. $[0\,;3] \cap [5\,;8]$ · d. l'ensemble des réels $x$ tels que $x \leqslant -1$ ou $x > 3$.
Correction. a. $[0\,;4]$ — on prend la plus grande borne de gauche et la plus petite de droite. b. $\mathbb{R}$ : les deux intervalles se chevauchent sur $[1\,;2[$ et couvrent toute la droite. c. $\varnothing$. d. $]-\infty\,;-1] \,\cup\, ]3\,;+\infty[$ — bien noter le crochet fermé en $-1$ et ouvert en $3$.
Exercice 6 — Taux d'évolution
Un article coûte $80$ €. Son prix augmente de $25\,\%$, puis baisse de $25\,\%$. a. Quel est le prix final ? b. Quel est le taux d'évolution global ? c. Quel taux ramènerait exactement au prix de départ ?
Correction. a. $80 \times 1{,}25 = 100$, puis $100 \times 0{,}75 = 75$ €. b. $CM = 1{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}9375$, soit un taux global de $-6{,}25\,\%$. c. Il faut le coefficient réciproque : $\dfrac{1}{0{,}9375} \approx 1{,}0667$, soit une hausse d'environ $+6{,}67\,\%$. (Vérification : $75 \times 1{,}0667 \approx 80$.)
On voit une fois de plus que $-6{,}25\,\%$ ne se compense pas par $+6{,}25\,\%$.
Exercice 7 — Produit nul et signes
a. Résoudre $(2x - 6)(x + 4) = 0$. b. Étudier le signe de $(2x-6)(x+4)$ selon $x$.
Correction. a. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $2x - 6 = 0$ donne $x = 3$, et $x + 4 = 0$ donne $x = -4$. Les solutions sont $\mathcal{S} = \{-4\,;3\}$.
b. Tableau de signes, racines rangées dans l'ordre $-4 < 3$ :
| $x$ | $-\infty$ | $-4$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $2x-6$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | |||
| $x+4$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | |||
| produit | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Le produit est donc positif sur $]-\infty\,;-4]$ et sur $[3\,;+\infty[$, négatif sur $[-4\,;3]$ : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles, comme annoncé.
Exercice 8 — Une démonstration
Montrer que la somme de deux entiers impairs est paire.
Correction. Soient $m$ et $n$ impairs. Par définition, il existe des entiers $k$ et $\ell$ tels que $m = 2k+1$ et $n = 2\ell+1$. Alors $m + n = 2k + 1 + 2\ell + 1 = 2(k + \ell + 1),$ qui est le double d'un entier : la somme est paire. $\blacksquare$
Noter la structure : on traduit l'hypothèse en écriture algébrique, on calcule, on reconnaît la forme voulue. C'est le squelette de la plupart des démonstrations d'arithmétique.
À retenir
Ensembles : $\in$ pour un élément, $\subset$ pour un ensemble. Le « ou » est inclusif. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert. $\operatorname{Card}(A \cup B) = \operatorname{Card}(A) + \operatorname{Card}(B) - \operatorname{Card}(A \cap B)$
Logique : la réciproque d'une implication vraie peut être fausse ; sa contraposée est toujours vraie. Un seul contre-exemple suffit à réfuter un « pour tout ».
Négations : « pour tout » ↔ « il existe » · « et » ↔ « ou » · la négation de $x > 2$ est $x \leqslant 2$.
Trois raisonnements : disjonction des cas · contraposée · absurde.
Pourcentages : les coefficients se multiplient, jamais les taux. $CM = 1+t$, réciproque $= \dfrac1{CM}$, et $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ donne $0{,}96$.
Produit nul : $AB = 0 \iff A=0$ ou $B=0$.
Fin du programme de Première. Les douze chapitres se répondent : les suites préparent l'exponentielle, la dérivation éclaire le second degré, le produit scalaire équipe la géométrie repérée, et ce dernier chapitre donne à tous leur langage commun.
Le programme complet de première
Algèbre
Analyse
Géométrie
Probabilités et statistiques
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