Mathématiques — Première
Dérivation — Maths Première (chapitre 3)
Nombre dérivé, tangente, fonction dérivée et opérations en Première spé maths : taux de variation, équation de la tangente, dérivées usuelles, produit et…
Par ProfBot
Dérivation
Chapitre 3 — Analyse · Première, spécialité mathématiques
Une voiture parcourt 90 km en une heure : sa vitesse moyenne est de 90 km/h. Mais quelle est sa vitesse à l'instant précis où elle passe devant le radar ? La question paraît anodine ; elle a occupé les mathématiciens pendant des siècles, parce qu'une vitesse instantanée est un rapport calculé sur une durée nulle — donc une division par zéro. La dérivation est la réponse à ce paradoxe, et c'est sans doute l'outil le plus puissant de tout le lycée.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Point de vue local : taux de variation, sécantes, nombre dérivé comme limite du taux de variation, tangente et son équation, approximation linéaire. Point de vue global : fonction dérivable sur un intervalle, fonction dérivée, dérivées des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée ; opérations (somme, produit, inverse, quotient) ; dérivée de $x \mapsto x^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$ ; étude de la dérivabilité de la valeur absolue en 0.
Quatre démonstrations sont exigibles, toutes rédigées ci-dessous : l'équation de la tangente, la non-dérivabilité de la racine carrée en 0, les dérivées des fonctions carré et inverse, et la dérivée d'un produit.
1. Taux de variation
Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $a \in I$ et $h \neq 0$ tel que $a + h \in I$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$
Interprétation. C'est la pente de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses $a$ et $a+h$. C'est aussi une vitesse moyenne si $f$ décrit une position en fonction du temps.
Le taux de variation est le quotient « ce que $f$ a gagné » par « ce que $x$ a avancé ».
2. Nombre dérivé et tangente
Définition. La fonction $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\tau(h)$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$. Cette limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$
Pourquoi ne peut-on pas simplement poser $h = 0$ ? Parce que le quotient devient $\frac00$, qui n'a aucun sens. L'idée de la dérivation est précisément de contourner cet obstacle : on simplifie d'abord l'expression par $h$, ce qui est légitime tant que $h \neq 0$, et on regarde ensuite vers quoi elle tend. C'est ce geste en deux temps qui structure toutes les démonstrations du chapitre.
Définition. Lorsque $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe de $f$ au point $A(a\,;f(a))$ est la droite passant par $A$ et de pente $f'(a)$. C'est la position limite des sécantes quand $h$ tend vers $0$.
À mesure que $h$ diminue, le second point glisse vers $A$ et la sécante bascule vers la tangente.
### Démonstration exigible — équation de la tangente
Théorème. Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à sa courbe au point d'abscisse $a$ a pour équation
$y = f(a) + f'(a)(x - a).$
Démonstration. La tangente est une droite non verticale de pente $f'(a)$ : son équation est donc de la forme $y = f'(a)\,x + p,$ où $p$ reste à déterminer. Cette droite passe par le point $A\big(a\,;f(a)\big)$, donc les coordonnées de $A$ vérifient l'équation : $f(a) = f'(a)\,a + p, \qquad\text{d'où}\qquad p = f(a) - f'(a)\,a.$ En reportant : $y = f'(a)\,x + f(a) - f'(a)\,a = f(a) + f'(a)(x-a). \qquad \blacksquare$
Approximation linéaire. Près de $a$, la courbe est presque confondue avec sa tangente. On en déduit, pour $h$ petit : $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h.$
C'est l'idée qui fait fonctionner les calculatrices, les simulateurs et une bonne partie de la physique : remplacer localement une fonction compliquée par une fonction affine.
3. Les dérivées usuelles, démontrées
3.1 La fonction carré
### Démonstration exigible
Propriété. La fonction $f : x \mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 2x$.
Démonstration. Soit $a \in \mathbb{R}$ et $h \neq 0$. Le taux de variation vaut $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h}.$ Comme $h \neq 0$, on peut simplifier par $h$ : $\frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h.$ Quand $h$ tend vers $0$, cette expression tend vers $2a$. Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = 2a$. $\blacksquare$
3.2 La fonction inverse
### Démonstration exigible
Propriété. La fonction $g : x \mapsto \dfrac1x$ est dérivable sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$, et $g'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.
Démonstration. Soit $a \neq 0$ et $h \neq 0$ assez petit pour que $a + h \neq 0$. Alors $\frac{g(a+h) - g(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac1a}{h}.$ Réduisons le numérateur au même dénominateur : $\frac{1}{a+h} - \frac1a = \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-h}{a(a+h)}.$ Le taux de variation devient donc $\frac{1}{h} \times \frac{-h}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)},$ après simplification par $h \neq 0$. Quand $h$ tend vers $0$, le dénominateur tend vers $a^2$, donc $g'(a) = -\frac{1}{a^2}. \qquad \blacksquare$
3.3 La racine carrée n'est pas dérivable en 0
### Démonstration exigible
Propriété. La fonction $x \mapsto \sqrt x$, définie sur $[0\,;+\infty[$, n'est pas dérivable en $0$.
Démonstration. Pour $h > 0$, le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{\sqrt{0+h} - \sqrt 0}{h} = \frac{\sqrt h}{h} = \frac{\sqrt h}{\left(\sqrt h\right)^2} = \frac{1}{\sqrt h}.$
Quand $h$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\sqrt h$ tend vers $0$, donc $\dfrac{1}{\sqrt h}$ tend vers $+\infty$.
Le taux de variation n'admet pas de limite finie : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$. $\blacksquare$
Géométriquement, la courbe admet en $0$ une tangente verticale. Une droite verticale n'a pas de pente — c'est exactement ce que traduit l'absence de nombre dérivé.
Attention à ce qui est affirmé. La fonction racine carrée est bien définie et continue en $0$ ; c'est seulement sa dérivabilité qui fait défaut. Elle reste dérivable sur $]0\,;+\infty[$, avec $(\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x}$.
3.4 La valeur absolue
Même conclusion, pour une raison différente. Pour $f(x) = |x|$, le taux de variation en $0$ vaut $\frac{|h| - 0}{h} = \frac{|h|}{h} = \begin{cases} 1 & \text{si } h > 0 \\ -1 & \text{si } h < 0.\end{cases}$
Il tend vers $1$ à droite et vers $-1$ à gauche : les deux limites sont finies mais différentes, donc il n'y a pas de limite. La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Une courbe qui forme un angle n'a pas de tangente en ce point.
4. Tableau des dérivées
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Sur |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^2$ | $2x$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^3$ | $3x^2$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$, $n \in \mathbb{Z}$ | $n\,x^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^*$ si $n < 0$) |
| $\dfrac1x$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $\sqrt x$ | $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ | $]0\,;+\infty[$ |
La formule $x^n \to n x^{n-1}$ englobe presque tout le tableau. Avec $n = 2$ : $2x$. Avec $n = -1$ : $-1 \times x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ ✓. Elle vaut pour tout entier relatif $n$, ce qui évite d'apprendre les cas séparément.
5. Opérations sur les dérivées
Soient $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ un réel.
$(u+v)' = u' + v', \qquad (k\,u)' = k\,u',$ $(uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}, \qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2},$
les deux dernières sous réserve que $v$ ne s'annule pas sur $I$.
### Démonstration exigible — dérivée d'un produit
Théorème. Si $u$ et $v$ sont dérivables en $a$, alors $uv$ l'est aussi et
$(uv)'(a) = u'(a)\,v(a) + u(a)\,v'(a).$
Démonstration. Formons le taux de variation du produit : $\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}.$
L'astuce consiste à ajouter et retrancher un même terme au numérateur, afin de faire apparaître séparément la variation de $u$ et celle de $v$ : $u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a) = \underbrace{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a+h)}_{\text{seul } u \text{ varie}}
- \underbrace{u(a)v(a+h) - u(a)v(a)}_{\text{seul } v \text{ varie}}.$
En divisant par $h$ et en factorisant chaque groupe : $\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h)-u(a)}{h}\,v(a+h) \;+\; u(a)\,\frac{v(a+h)-v(a)}{h}.$
Faisons maintenant tendre $h$ vers $0$ :
- $\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h} \to u'(a)$ par définition ;
- $v(a+h) \to v(a)$, car $v$ est dérivable donc continue en $a$ ;
- $\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h} \to v'(a)$.
D'où $(uv)'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a). \qquad \blacksquare$
L'erreur qu'il faut avoir vue une fois. $(uv)' \neq u'v'$. Contre-exemple immédiat avec $u(x) = v(x) = x$ : le produit vaut $x^2$, de dérivée $2x$, alors que $u'v' = 1 \times 1 = 1$. La dérivation ne « traverse » pas un produit.
6. Méthodes
Méthode 1 — Écrire l'équation d'une tangente
Trois calculs, toujours les mêmes :
- calculer $f(a)$ ;
- calculer $f'(x)$, puis $f'(a)$ ;
- écrire $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ et développer.
Méthode 2 — Dériver une expression compliquée
Repérer la structure avant de se lancer : est-ce une somme ? un produit ? un quotient ? Puis appliquer la formule correspondante, en nommant explicitement $u$ et $v$ et en écrivant $u'$ et $v'$ à part. Les erreurs viennent presque toujours d'un calcul mené « en une fois ».
Méthode 3 — Interpréter un nombre dérivé
Selon le contexte, $f'(a)$ se lit :
| $f$ décrit | $f'(a)$ est |
|---|---|
| une position en fonction du temps | la vitesse instantanée |
| une vitesse en fonction du temps | l'accélération |
| un coût total pour $x$ objets | le coût marginal (coût du $x$-ième objet, approché) |
| une courbe | la pente de la tangente |
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Nombre dérivé par la définition
Soit $f(x) = 3x^2 - x$. Calculer $f'(2)$ en revenant à la définition.
Correction. Pour $h \neq 0$ : $f(2+h) = 3(2+h)^2 - (2+h) = 3(4 + 4h + h^2) - 2 - h = 12 + 12h + 3h^2 - 2 - h = 10 + 11h + 3h^2,$ et $f(2) = 12 - 2 = 10$. Le taux de variation vaut donc $\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{11h + 3h^2}{h} = 11 + 3h.$ Quand $h \to 0$, cette expression tend vers $11$. Donc $f'(2) = 11$.
Contrôle par les formules : $f'(x) = 6x - 1$, donc $f'(2) = 12 - 1 = 11$ ✓.
Exercice 2 — Calculs de dérivées
Dériver : a. $f(x) = 4x^3 - 2x + 7$ b. $g(x) = x^2\sqrt x$ c. $h(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$
Correction. a. Terme à terme : $f'(x) = 12x^2 - 2$.
b. Produit avec $u = x^2$ et $v = \sqrt x$, donc $u' = 2x$ et $v' = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ : $g'(x) = 2x\sqrt x + x^2 \times \frac{1}{2\sqrt x} = 2x\sqrt x + \frac{x^2}{2\sqrt x}.$ On peut simplifier en remarquant que $\dfrac{x^2}{2\sqrt x} = \dfrac{x\sqrt x}{2}$, d'où $g'(x) = 2x\sqrt x + \frac{x\sqrt x}{2} = \frac{5x\sqrt x}{2}, \qquad x > 0.$
c. Quotient avec $u = 2x+1$ et $v = x-3$, donc $u' = 2$ et $v' = 1$ : $h'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1)\times 1}{(x-3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}, \qquad x \neq 3.$
Remarque : $h'$ est toujours strictement négative — la fonction est décroissante sur chacun des deux intervalles.
Exercice 3 — Tangente
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ au point d'abscisse $a = 2$.
Correction.
- $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$.
- $f'(x) = 2x - 3$, donc $f'(2) = 1$.
- $y = f(2) + f'(2)(x-2) = -1 + 1 \times (x-2) = x - 3$.
La tangente a pour équation $y = x - 3$.
Vérification : en $x = 2$, la droite donne $y = -1$, ce qui est bien $f(2)$ ✓.
Exercice 4 — Approximation linéaire
À l'aide d'une approximation affine, donner une valeur approchée de $\sqrt{4{,}02}$.
Correction. Posons $f(x) = \sqrt x$, $a = 4$ et $h = 0{,}02$. On a $f(4) = 2$ et $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}, \qquad f'(4) = \frac{1}{4} = 0{,}25.$ D'où $\sqrt{4{,}02} \approx f(4) + f'(4) \times 0{,}02 = 2 + 0{,}25 \times 0{,}02 = 2{,}005.$
Contrôle : la valeur exacte est $2{,}0049937\ldots$ — l'approximation commet une erreur de $6{,}2 \times 10^{-6}$, soit moins de $10^{-5}$.
Exercice 5 — Tangente horizontale
Déterminer les points de la courbe de $f(x) = x^3 - 3x$ où la tangente est horizontale.
Correction. Une tangente est horizontale lorsque sa pente est nulle, c'est-à-dire $f'(x) = 0$. Or $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1),$ qui s'annule pour $x = 1$ et $x = -1$. Les ordonnées correspondantes sont $f(1) = 1 - 3 = -2, \qquad f(-1) = -1 + 3 = 2.$
Les points cherchés sont donc $(1\,;-2)$ et $(-1\,;2)$.
Exercice 6 — Coût marginal
Le coût de production, en euros, de $x$ objets est $C(x) = 0{,}02x^2 + 5x + 300$. a. Calculer le coût marginal pour $x = 100$. b. Comparer au coût réel du 101ᵉ objet.
Correction. a. $C'(x) = 0{,}04x + 5$, donc $C'(100) = 4 + 5 = 9$ €.
b. Le coût réel du 101ᵉ objet est $C(101) - C(100) = \big(0{,}02 \times 10201 + 505 + 300\big) - \big(0{,}02 \times 10000 + 500 + 300\big)$ $= (204{,}02 + 805) - (200 + 800) = 1009{,}02 - 1000 = 9{,}02 \text{ €}.$
Le coût marginal $C'(100) = 9$ € est une excellente approximation du coût réel $9{,}02$ € — c'est exactement le sens de l'approximation linéaire.
À retenir
Le nombre dérivé $f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ — pente de la tangente, vitesse instantanée, coût marginal, selon le contexte.
L'équation de la tangente $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ et l'approximation qui en découle : $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$.
Les opérations $(u+v)' = u'+v' \qquad (uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ Jamais $(uv)' = u'v'$.
Les deux fonctions non dérivables en 0 : $\sqrt x$ (tangente verticale) et $|x|$ (angle, deux pentes différentes). Dans les deux cas la fonction est pourtant définie et continue en $0$ : c'est bien la dérivabilité, et elle seule, qui manque.
Chapitre suivant : l'usage de la dérivée pour étudier les variations d'une fonction et tracer sa courbe.
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