Mathématiques — Première
Probabilités conditionnelles et indépendance — Maths Première (chapitre 9)
Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, formule des probabilités totales, indépendance et répétition d'épreuves de Bernoulli en Première spé maths.…
Par ProfBot
Probabilités conditionnelles et indépendance
Chapitre 9 — Probabilités · Première, spécialité mathématiques
Un test médical est fiable à $99\,\%$ et votre résultat est positif : quelle est la probabilité que vous soyez réellement malade ? La réponse surprend presque tout le monde — elle peut être inférieure à $10\,\%$. Ce chapitre donne les outils pour trancher ce genre de question, où l'intuition se trompe systématiquement : conditionner, c'est réviser une probabilité à la lumière d'une information nouvelle.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Indépendance de deux événements ; partition de l'univers (systèmes complets d'événements) et formule des probabilités totales ; succession de deux épreuves indépendantes, représentation par un arbre ou un tableau ; pour $n \leqslant 4$, répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.
Aucune démonstration n'est exigible. La probabilité conditionnelle elle-même n'est pas listée comme un contenu à part : elle intervient comme l'outil qu'exigent la formule des probabilités totales et les arbres pondérés, et c'est à ce titre qu'elle est présentée ici.
1. Probabilité conditionnelle
Définition. Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.$
Interprétation. On sait que $A$ est réalisé : l'univers se rétrécit à $A$, et l'on mesure la part de $B$ dans ce nouvel univers. C'est exactement une proportion à l'intérieur de $A$.
Le sens du conditionnement n'est pas symétrique. $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont deux nombres différents, et les confondre est l'erreur la plus coûteuse de tout le chapitre. « La probabilité qu'un malade soit testé positif » n'est pas « la probabilité qu'un testé positif soit malade » — c'est précisément le piège de l'exemple d'ouverture.
Formule des probabilités composées. En multipliant par $P(A)$ : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$
C'est cette égalité qui justifie la règle de multiplication le long d'un chemin dans un arbre.
2. Arbres pondérés
Un arbre pondéré représente une expérience en deux temps. Trois règles suffisent, et elles ne souffrent pas d'exception :
- la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ;
- la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées ;
- la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
Ce que portent les branches du second niveau. Ce sont des probabilités conditionnelles : la branche allant de $A$ vers $B$ porte $P_A(B)$, et non $P(B)$. C'est ce qui rend la règle du produit correcte, puisque $P(A) \times P_A(B) = P(A\cap B)$.
3. Partition et probabilités totales
Définition. Les événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers (ou système complet d'événements) s'ils sont deux à deux incompatibles, tous de probabilité non nulle, et si leur réunion est l'univers entier.
Le cas le plus fréquent est la partition à deux éléments $\{A\,;\overline A\}$.
Théorème (formule des probabilités totales). Si $A_1, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers, alors pour tout événement $B$ :
$P(B) = P(A_1 \cap B) + \cdots + P(A_n \cap B)
= P(A_1)P_{A_1}(B) + \cdots + P(A_n)P_{A_n}(B).$
L'événement $B$ est découpé par la partition en morceaux disjoints : il suffit de les additionner.
Le cas à deux branches, à connaître par cœur : $P(B) = P(A)P_A(B) + P(\overline A)P_{\overline A}(B).$
4. Indépendance
Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$
Interprétation équivalente. Si $P(A) \neq 0$, l'indépendance équivaut à $P_A(B) = P(B) :$ savoir que $A$ s'est produit ne change rien à la probabilité de $B$.
Indépendant n'est pas incompatible — c'est même presque le contraire. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si $A \cap B = \varnothing$, alors $P(A\cap B) = 0$, tandis que $P(A)P(B) > 0$. Savoir que $A$ s'est produit apporte au contraire une information maximale sur $B$ — cela le rend impossible.
Propriété. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline A$ et $B$ le sont aussi, de même que $A$ et $\overline B$, et $\overline A$ et $\overline B$.
L'indépendance ne se devine pas : elle se vérifie ou se justifie. Ou bien l'énoncé la garantit par le protocole (tirages avec remise, lancers successifs d'un dé, pièces prélevées dans une production très importante), ou bien il faut la démontrer en comparant $P(A\cap B)$ et $P(A)\times P(B)$.
5. Répétition d'épreuves de Bernoulli
Définition. Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité $p$) et échec (probabilité $1-p$).
Le programme demande de traiter la répétition de $n$ épreuves identiques et indépendantes, pour $n \leqslant 4$, à l'aide d'un arbre.
Ce que l'arbre montre. Pour $n$ épreuves, il y a $2^n$ chemins. Un chemin comportant $k$ succès a pour probabilité $p^k(1-p)^{\,n-k},$ quelle que soit la position des succès — puisque le produit ne dépend que du nombre de facteurs de chaque sorte. Pour obtenir la probabilité d'avoir exactement $k$ succès, il suffit donc de compter les chemins sur l'arbre et de multiplier.
Exemple pour $n = 3$ : trois chemins contiennent exactement deux succès (SSE, SES, ESS), donc $P(\text{exactement 2 succès}) = 3\,p^2(1-p).$
Pourquoi $n \leqslant 4$ ? Parce qu'au-delà, dessiner l'arbre devient impraticable — 32 chemins pour $n=5$. Le dénombrement des chemins sera automatisé en terminale par le coefficient binomial $\binom nk$, qui donnera la loi binomiale. Ici, on compte à la main sur la figure, et c'est justement ce qui permet de comprendre d'où viendra la formule.
6. Méthodes
Méthode 1 — Choisir sa représentation
| Situation | Outil |
|---|---|
| deux épreuves successives, la seconde dépendant de la première | arbre pondéré |
| deux caractères croisés sur une population | tableau à double entrée |
| $n \leqslant 4$ épreuves identiques et indépendantes | arbre de Bernoulli |
Avec un tableau, les probabilités conditionnelles se lisent comme des proportions en ligne ou en colonne ; avec un arbre, elles sont écrites sur les branches.
Méthode 2 — Calculer une probabilité conditionnelle « à l'envers »
Pour obtenir $P_B(A)$ alors que l'arbre donne $P_A(B)$ :
- calculer $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ (un chemin) ;
- calculer $P(B)$ par la formule des probabilités totales (tous les chemins menant à $B$) ;
- diviser : $P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
C'est le raisonnement qui résout l'énigme du test médical.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Lire un arbre
Une urne contient 3 boules rouges et 2 noires. On tire une boule, sans la remettre, puis une seconde. a. Construire l'arbre. b. Calculer la probabilité d'obtenir deux rouges. c. Calculer la probabilité que la seconde soit rouge.
Correction. a. Au premier tirage, $P(R_1) = \tfrac35$ et $P(N_1) = \tfrac25$. Au second, il ne reste que 4 boules, et leur composition dépend du premier tirage : $P_{R_1}(R_2) = \tfrac24 = \tfrac12, \qquad P_{N_1}(R_2) = \tfrac34.$
b. C'est un chemin, donc un produit : $P(R_1 \cap R_2) = \frac35 \times \frac12 = \frac{3}{10}.$
c. Deux chemins mènent à $R_2$. Par la formule des probabilités totales : $P(R_2) = P(R_1)P_{R_1}(R_2) + P(N_1)P_{N_1}(R_2) = \frac35\times\frac12 + \frac25\times\frac34 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}.$
Un résultat qui mérite qu'on s'arrête. $P(R_2) = \tfrac35 = P(R_1)$ : la seconde boule a exactement la même probabilité d'être rouge que la première, alors même que les tirages ne sont pas indépendants. Tant qu'on ne regarde pas le premier tirage, l'ordre n'apporte aucune information.
Exercice 2 — Indépendance
On lance deux dés équilibrés. Soit $A$ : « le premier dé donne un nombre pair » et $B$ : « la somme vaut $7$ ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Correction. $P(A) = \tfrac12$. Pour $B$, les couples de somme $7$ sont $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ : six cas sur $36$, donc $P(B) = \tfrac{6}{36} = \tfrac16$.
$A \cap B$ : parmi ces six couples, ceux dont le premier dé est pair sont $(2,5), (4,3), (6,1)$, soit trois cas : $P(A\cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}.$
Comparons : $P(A) \times P(B) = \frac12 \times \frac16 = \frac{1}{12} = P(A\cap B).$
Les événements sont indépendants. C'est un résultat contre-intuitif — la somme semble « dépendre » du premier dé — mais le calcul tranche.
Exercice 3 — Le test médical
Une maladie touche $1\,\%$ de la population. Un test donne un résultat positif chez $99\,\%$ des malades, mais aussi chez $2\,\%$ des personnes saines. Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ?
Correction. Notons $M$ « être malade » et $T$ « être testé positif ». L'énoncé donne $P(M) = 0{,}01, \qquad P_M(T) = 0{,}99, \qquad P_{\overline M}(T) = 0{,}02.$
Étape 1 — le chemin favorable : $P(M \cap T) = 0{,}01 \times 0{,}99 = 0{,}0099.$
Étape 2 — tous les chemins menant à $T$ : $P(T) = P(M)P_M(T) + P(\overline M)P_{\overline M}(T) = 0{,}0099 + 0{,}99 \times 0{,}02 = 0{,}0099 + 0{,}0198 = 0{,}0297.$
Étape 3 — on divise : $P_T(M) = \frac{0{,}0099}{0{,}0297} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%.$
Le paradoxe expliqué. Un test « fiable à $99\,\%$ » ne donne qu'une chance sur trois d'être réellement malade. La raison est que les personnes saines sont bien plus nombreuses : $2\,\%$ de $99\,\%$ de la population, cela fait deux fois plus de faux positifs que de vrais positifs. La rareté de la maladie l'emporte sur la qualité du test.
Exercice 4 — Tableau à double entrée
Dans un lycée de $800$ élèves, $480$ sont des filles. Parmi les filles, $180$ font de l'allemand ; parmi les garçons, $80$. On choisit un élève au hasard. a. Quelle est la probabilité qu'il fasse de l'allemand ? b. Sachant qu'il fait de l'allemand, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
Correction. Dressons le tableau :
| Allemand | Autre | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | $180$ | $300$ | $480$ |
| Garçons | $80$ | $240$ | $320$ |
| Total | $260$ | $540$ | $800$ |
a. $P(\text{allemand}) = \dfrac{260}{800} = 0{,}325$.
b. On se restreint à la colonne « Allemand » : $P_{\text{allemand}}(\text{fille}) = \frac{180}{260} = \frac{9}{13} \approx 0{,}692.$
Remarque : $P(\text{fille}) = \tfrac{480}{800} = 0{,}6 \neq 0{,}692$. Les deux caractères ne sont donc pas indépendants : savoir qu'un élève fait de l'allemand rend un peu plus probable que ce soit une fille.
Exercice 5 — Répétition d'épreuves de Bernoulli
Un joueur de basket réussit chaque lancer franc avec la probabilité $0{,}8$, indépendamment des autres. Il tire $3$ fois. a. Probabilité de réussir les trois. b. Probabilité de réussir exactement deux fois. c. Probabilité d'en réussir au moins un.
Correction. Ici $p = 0{,}8$ et $n = 3$.
a. Un seul chemin (SSS) : $P = 0{,}8^3 = 0{,}512.$
b. Trois chemins comportent exactement deux succès (SSE, SES, ESS), chacun de probabilité $0{,}8^2 \times 0{,}2$ : $P = 3 \times 0{,}64 \times 0{,}2 = 0{,}384.$
c. Passons par l'événement contraire — « aucun succès », un seul chemin (EEE) : $P(\text{au moins un}) = 1 - 0{,}2^3 = 1 - 0{,}008 = 0{,}992.$
Contrôle : les quatre cas possibles (0, 1, 2 ou 3 succès) ont pour probabilités $0{,}008$ ; $3\times0{,}8\times0{,}04 = 0{,}096$ ; $0{,}384$ ; $0{,}512$. Leur somme vaut $1{,}000$ ✓.
À retenir
Probabilité conditionnelle $P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}, \qquad\text{donc}\qquad P(A \cap B) = P(A)\,P_A(B).$ $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont différents.
Les trois règles de l'arbre : somme des branches d'un nœud $= 1$ · un chemin se multiplie · plusieurs chemins s'additionnent.
Probabilités totales (cas à deux branches, le plus utilisé) : $P(B) = P(A)P_A(B) + P(\overline A)P_{\overline A}(B).$
Indépendance : $P(A\cap B) = P(A)P(B)$, ce qui équivaut à $P_A(B) = P(B)$. Indépendant ≠ incompatible : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Bernoulli : un chemin à $k$ succès sur $n$ vaut $p^k(1-p)^{n-k}$ ; on compte les chemins sur l'arbre.
Chapitre suivant : les variables aléatoires, pour mettre des nombres — et une moyenne — sur le hasard.
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