Mathématiques — Première
Variables aléatoires réelles — Maths Première (chapitre 10)
Variable aléatoire, loi de probabilité, espérance, variance, écart type, linéarité de l'espérance et formule de König-Huygens en Première spé maths.…
Par ProfBot
Variables aléatoires réelles
Chapitre 10 — Probabilités · Première, spécialité mathématiques
Jusqu'ici, le hasard produisait des événements : « obtenir pile », « tirer une boule rouge ». On va maintenant lui faire produire des nombres — un gain, une durée, un effectif — et l'on pourra alors en calculer une moyenne. C'est ce qui permet de répondre à la seule question qui vaille devant un jeu d'argent : à long terme, gagne-t-on ou perd-on ?
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Variable aléatoire réelle : modélisation du résultat numérique d'une expérience aléatoire, formalisation comme fonction définie sur l'univers et à valeurs réelles ; loi d'une variable aléatoire ; espérance, variance, écart type ; linéarité de l'espérance ; formule de König-Huygens.
Aucune démonstration n'est exigible. Le programme ne considère que des univers finis.
1. Variable aléatoire et loi
Définition. Une variable aléatoire réelle $X$ sur un univers fini $\Omega$ est une fonction de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ : à chaque issue de l'expérience, elle associe un nombre.
Pour deux lancers de pièce, $X$ = « nombre de piles » envoie PP sur 2, PF et FP sur 1, FF sur 0.
Une variable aléatoire n'est ni une variable ni aléatoire — c'est une fonction. Le nom est historique et trompeur. Ce qui est aléatoire, c'est l'issue ; $X$, elle, est une règle parfaitement déterminée qui transforme cette issue en nombre.
Notations. L'écriture $\{X = a\}$ désigne l'événement « $X$ prend la valeur $a$ », c'est-à-dire l'ensemble des issues dont l'image est $a$. On note $P(X = a)$ sa probabilité, et de même $P(X \leqslant a)$.
Définition. La loi de probabilité de $X$ est la donnée de toutes les valeurs $x_1, \dots, x_r$ que peut prendre $X$, avec leurs probabilités $p_i = P(X = x_i)$. On la présente en tableau :
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_r$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_r$ |
La vérification qui doit devenir automatique : $p_1 + p_2 + \cdots + p_r = 1$. Les événements $\{X = x_i\}$ forment une partition de l'univers. Une loi dont les probabilités ne somment pas à 1 est fausse, et ce contrôle prend cinq secondes.
2. Espérance
Définition. L'espérance de $X$ est le nombre $E(X) = p_1x_1 + p_2x_2 + \cdots + p_rx_r = \sum_{i=1}^{r} p_i x_i.$
Interprétation. C'est la moyenne des valeurs, pondérées par leurs probabilités : la valeur moyenne que l'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois. Physiquement, c'est le point d'équilibre de la distribution.
L'espérance n'est pas une valeur possible. L'espérance d'un dé équilibré vaut $3{,}5$, un résultat qu'aucun lancer ne donnera jamais. Ce n'est pas une contradiction : c'est une moyenne, pas une prédiction.
Linéarité de l'espérance. Pour tous réels $a$ et $b$ : $E(aX + b) = a\,E(X) + b.$
Cette propriété est d'une commodité redoutable : elle évite de recalculer toute la loi de $aX+b$.
3. Variance et écart type
L'espérance ne dit pas tout. Deux jeux peuvent avoir le même gain moyen et pourtant n'avoir rien à voir : l'un régulier, l'autre très risqué. C'est la dispersion qui les distingue.
Définition. La variance de $X$ est $V(X) = \sum_{i=1}^{r} p_i\big(x_i - E(X)\big)^2,$ et l'écart type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
Même espérance, variances très différentes : c'est la variance qui mesure le risque.
Formule de König-Huygens. Elle donne un calcul bien plus rapide :
$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = \sum_i p_i x_i^2 - \left(\sum_i p_i x_i\right)^2.$
En clair : la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. C'est cette version qu'on utilise en pratique, car elle évite de calculer les écarts $x_i - E(X)$ un par un.
Propriétés. Pour tous réels $a$ et $b$ : $V(aX+b) = a^2\,V(X), \qquad \sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X).$
Deux points à ne pas rater. Le carré sur le $a$ : la variance s'exprime dans le carré de l'unité de $X$, ce qui est aussi la raison d'être de l'écart type. Et l'absence de $b$ : ajouter une constante translate toutes les valeurs sans changer leurs écarts, donc ne modifie pas la dispersion.
Enfin, une variance est toujours positive — c'est une somme de carrés pondérés par des probabilités. Un résultat négatif signale une erreur de calcul, le plus souvent un oubli du carré dans König-Huygens.
4. Application : un jeu est-il équitable ?
Définition. Un jeu est dit équitable si l'espérance du gain algébrique est nulle : $E(X) = 0$.
- $E(X) > 0$ : le jeu est favorable au joueur ;
- $E(X) < 0$ : il est défavorable — c'est le cas de tous les jeux de casino et de loterie.
Le gain doit être ALGÉBRIQUE. Il faut retrancher la mise. Un joueur qui mise 2 € et remporte 5 € gagne en réalité 3 €. Oublier la mise fausse tout le calcul, et c'est l'erreur la plus fréquente de ces exercices.
5. Méthodes
Méthode 1 — Déterminer une loi de probabilité
- Identifier toutes les valeurs possibles de $X$.
- Pour chacune, calculer $P(X = x_i)$ — souvent à l'aide d'un arbre ou d'un dénombrement.
- Dresser le tableau.
- Vérifier que la somme vaut 1.
Méthode 2 — Calculer espérance et variance
Le plus efficace est d'ajouter deux lignes au tableau de la loi : une ligne $p_ix_i$ et une ligne $p_ix_i^2$. La somme de la première donne $E(X)$, celle de la seconde donne $E(X^2)$, et König-Huygens conclut.
Méthode 3 — Un algorithme
def esperance_variance(valeurs, probas):
"""Renvoie (E, V, sigma) pour une loi donnée par deux listes."""
E = sum(p * x for x, p in zip(valeurs, probas))
E2 = sum(p * x**2 for x, p in zip(valeurs, probas))
V = E2 - E**2 # formule de König-Huygens
return E, V, V**0.5
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Loi, espérance, variance
On lance un dé équilibré à six faces. Soit $X$ le résultat obtenu. Déterminer la loi de $X$, puis $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
Correction. Chaque face a la probabilité $\tfrac16$ :
| $x_i$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $\tfrac16$ | $\tfrac16$ | $\tfrac16$ | $\tfrac16$ | $\tfrac16$ | $\tfrac16$ |
La somme vaut $6 \times \tfrac16 = 1$ ✓.
$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5.$
$E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}.$
Par König-Huygens : $V(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac72\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}917,$ et $\sigma(X) = \sqrt{35/12} \approx 1{,}708$.
Exercice 2 — Un jeu de loterie
Un billet coûte $2$ €. Il rapporte $50$ € avec la probabilité $0{,}01$, $5$ € avec la probabilité $0{,}10$, et rien sinon. Soit $X$ le gain algébrique du joueur. a. Déterminer la loi de $X$. b. Le jeu est-il équitable ?
Correction. a. Il faut retrancher les $2$ € de mise dans chaque cas :
| $x_i$ | $-2$ | $3$ | $48$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0{,}89$ | $0{,}10$ | $0{,}01$ |
(La probabilité de ne rien gagner est $1 - 0{,}01 - 0{,}10 = 0{,}89$, et la somme vaut bien 1.)
b. $E(X) = -2 \times 0{,}89 + 3 \times 0{,}10 + 48 \times 0{,}01 = -1{,}78 + 0{,}30 + 0{,}48 = -1{,}00.$
L'espérance vaut $-1$ € : le jeu n'est pas équitable, il est défavorable au joueur. Sur un grand nombre de billets, on perd en moyenne $1$ € par billet — soit la moitié de la mise.
Exercice 3 — Deux lancers
On lance deux fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de « pile ». Déterminer la loi de $X$ et son espérance.
Correction. Les quatre issues PP, PF, FP, FF sont équiprobables, de probabilité $\tfrac14$ chacune. Deux d'entre elles donnent exactement un pile :
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\tfrac14$ | $\tfrac12$ | $\tfrac14$ |
$E(X) = 0 \times \tfrac14 + 1\times\tfrac12 + 2\times\tfrac14 = 1.$
Ce qui est rassurant : sur deux lancers d'une pièce équilibrée, on attend en moyenne un pile.
Exercice 4 — Linéarité
Soit $X$ de loi connue, avec $E(X) = 4$ et $V(X) = 9$. On pose $Y = 3X - 5$. Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.
Correction. $E(Y) = 3E(X) - 5 = 12 - 5 = 7.$ $V(Y) = 3^2 V(X) = 9 \times 9 = 81.$ $\sigma(Y) = \sqrt{81} = 9 = |3| \times \sigma(X) = 3 \times 3 \;✓$
Exercice 5 — Fixer une mise équitable
Un jeu consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. Le joueur gagne $20$ € s'il tire un as, $5$ € s'il tire une figure (valet, dame ou roi), et rien sinon. Quelle mise $m$ rendrait le jeu équitable ?
Correction. Un jeu de 32 cartes contient $4$ as et $12$ figures ($3$ figures $\times$ $4$ couleurs). Donc $P(\text{as}) = \frac{4}{32} = \frac18, \qquad P(\text{figure}) = \frac{12}{32} = \frac38, \qquad P(\text{rien}) = \frac{16}{32} = \frac12.$
Le gain brut moyen vaut $20 \times \frac18 + 5 \times \frac38 + 0 \times \frac12 = 2{,}5 + 1{,}875 = 4{,}375 \text{ €}.$
Le gain algébrique est $X = \text{gain brut} - m$, donc par linéarité $E(X) = 4{,}375 - m$. Le jeu est équitable si $E(X) = 0$, c'est-à-dire $m = 4{,}375 \text{ €}.$
Contrôle : avec cette mise, $E(X) = \tfrac18(20-m) + \tfrac38(5-m) + \tfrac12(-m) = 4{,}375 - m = 0$ ✓.
Exercice 6 — Comparer deux placements
Deux placements de $1\,000$ € sur un an :
- A : rapporte $100$ € avec la probabilité $0{,}5$, ou $0$ € avec la probabilité $0{,}5$ ;
- B : rapporte $600$ € avec la probabilité $0{,}1$, ou perd $10$ € avec la probabilité $0{,}9$.
Comparer espérances et écarts types.
Correction. Placement A. $E(A) = 100 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}5 = 50$ €. $E(A^2) = 100^2 \times 0{,}5 = 5000, \qquad V(A) = 5000 - 50^2 = 2500, \qquad \sigma(A) = 50 \text{ €}.$
Placement B. $E(B) = 600\times0{,}1 + (-10)\times0{,}9 = 60 - 9 = 51$ €. $E(B^2) = 600^2\times0{,}1 + 100\times0{,}9 = 36\,000 + 90 = 36\,090,$ $V(B) = 36\,090 - 51^2 = 36\,090 - 2601 = 33\,489, \qquad \sigma(B) = \sqrt{33\,489} \approx 183 \text{ €}.$
Conclusion. Les deux placements rapportent en moyenne à peu près la même chose ($50$ € contre $51$ €), mais l'écart type de B est presque quatre fois plus grand. B est bien plus risqué pour un gain moyen quasi identique : à espérance égale, on préfère la variance la plus faible.
À retenir
Une variable aléatoire est une FONCTION de l'univers vers $\mathbb{R}$. Sa loi est le tableau des valeurs et de leurs probabilités — dont la somme vaut 1.
Espérance — la moyenne pondérée, le point d'équilibre : $E(X) = \sum_i p_i x_i, \qquad E(aX+b) = a\,E(X) + b.$
Variance et écart type — la dispersion : $V(X) = \sum_i p_i (x_i - E(X))^2 = \underbrace{E(X^2) - \big(E(X)\big)^2}_{\text{König-Huygens}}, \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$ $V(aX+b) = a^2 V(X), \qquad \sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X).$
Jeu équitable : $E(X) = 0$, le gain étant algébrique — mise déduite.
Les trois réflexes de contrôle
- la somme des probabilités vaut $1$ ;
- une variance est positive ;
- l'espérance tombe entre la plus petite et la plus grande des valeurs.
Chapitre suivant : les listes en Python et la simulation, pour voir de ses yeux la moyenne d'un échantillon se rapprocher de l'espérance.
Le programme complet de première
Algèbre
Analyse
Géométrie
Probabilités et statistiques
Parties transversales
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