Mathématiques — Première
Calcul vectoriel et produit scalaire — Maths Première (chapitre 7)
Produit scalaire dans le plan en Première spé maths : projection orthogonale, formule avec le cosinus, expression en base orthonormée, formule d'Al-Kashi,…
Par ProfBot
Calcul vectoriel et produit scalaire
Chapitre 7 — Géométrie · Première, spécialité mathématiques
Les vecteurs de seconde savaient tout dire des directions — parallélisme, alignement, translations — mais rien des angles ni des longueurs. Le produit scalaire comble ce manque : une opération qui prend deux vecteurs et rend un nombre, dans lequel se lisent à la fois la géométrie des angles et celle des distances. Avec lui, prouver une orthogonalité devient un calcul, et le théorème de Pythagore n'est plus qu'un cas particulier.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus, caractérisation de l'orthogonalité ; bilinéarité, symétrie ; en base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d'orthogonalité ; développement de $\|\vec u \pm \vec v\|^2$ ; formule d'Al-Kashi ; transformation de $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$.
Deux démonstrations sont exigibles : la formule d'Al-Kashi, et l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$.
1. Définitions du produit scalaire
Il y a plusieurs façons de définir le produit scalaire ; elles donnent toutes le même nombre, et l'on choisit à chaque exercice celle qui demande le moins de calculs.
Définition (avec le cosinus). Pour deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ formant un angle $\theta$ : $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos\theta.$ Si l'un des deux vecteurs est nul, on pose $\vec u \cdot \vec v = 0$.
Définition équivalente (par la projection). Posons $\vec u = \overrightarrow{OA}$ et $\vec v = \overrightarrow{OB}$, et soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. Alors $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH},$ produit de mesures algébriques : le résultat est positif si $H$ est du même côté que $A$, négatif sinon.
Le signe se lit sur le cosinus. Angle aigu : produit scalaire positif. Angle droit : nul. Angle obtus : négatif. Cette lecture qualitative permet souvent de vérifier un résultat en un coup d'œil : un produit scalaire négatif entre deux vecteurs qui « pointent dans la même direction » signale une erreur de signe.
Définition (en base orthonormée). Si $\vec u\,(x\,;y)$ et $\vec v\,(x'\,;y')$ dans une base orthonormée : $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'.$
C'est de loin la formule la plus commode dès qu'un repère est donné.
« Orthonormée » n'est pas facultatif. L'expression $xx' + yy'$ suppose que les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1. Dans un repère quelconque, elle est fausse.
Carré scalaire et norme. $\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2, \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}.$
2. Propriétés
Symétrie et bilinéarité. Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ et tout réel $k$ : $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u\cdot\vec v + \vec u\cdot\vec w, \qquad (k\vec u)\cdot\vec v = k\,(\vec u\cdot\vec v).$
Le critère d'orthogonalité — c'est l'usage numéro un du produit scalaire : $\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0.$
Les identités de développement, qui se déduisent de la bilinéarité exactement comme les identités remarquables : $\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2,$ $\|\vec u - \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 - 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2.$
En isolant le produit scalaire, on obtient une troisième expression, utile quand on ne connaît que des longueurs : $\vec u\cdot\vec v = \frac12\left(\|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 - \|\vec u - \vec v\|^2\right).$
Le produit scalaire n'est pas un produit de nombres. Trois différences à connaître :
- $\vec u\cdot\vec v = 0$ n'entraîne pas $\vec u = \vec 0$ ou $\vec v = \vec 0$ : deux vecteurs non nuls perpendiculaires suffisent ;
- $\vec u\cdot\vec v = \vec u\cdot\vec w$ n'entraîne pas $\vec v = \vec w$ ;
- l'écriture $\vec u \cdot \vec v \cdot \vec w$ n'a aucun sens : $\vec u\cdot\vec v$ est un nombre, qu'on ne peut pas « multiplier scalairement » par un vecteur.
3. La formule d'Al-Kashi
### Démonstration exigible
Théorème. Dans un triangle $ABC$, en notant $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$ :
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat{A}.$
Démonstration. Exprimons $\overrightarrow{BC}$ à l'aide des deux autres côtés, par la relation de Chasles : $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}.$
Prenons le carré scalaire des deux membres, en développant comme au paragraphe 2 : $a^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2.$
Or $\|\overrightarrow{AC}\| = b$, $\|\overrightarrow{AB}\| = c$, et l'angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est précisément l'angle $\widehat{A}$ du triangle. Donc $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} = bc\,\cos\widehat A.$
En reportant : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A. \qquad \blacksquare$
Al-Kashi contient Pythagore. Si $\widehat A = 90°$, alors $\cos\widehat A = 0$ et la formule se réduit à $a^2 = b^2 + c^2$. Le théorème de Pythagore n'est donc que le cas particulier rectangle d'une formule valable dans tout triangle — et le terme $-2bc\cos\widehat A$ mesure exactement « de combien » le triangle s'écarte du cas rectangle.
4. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$
### Démonstration exigible
Théorème. Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $I$ le milieu de $[AB]$. L'ensemble des points $M$ du plan vérifiant
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$
est le cercle de diamètre $[AB]$.
Démonstration. Introduisons le milieu $I$ et décomposons les deux vecteurs par la relation de Chasles : $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}, \qquad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}.$
Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, on a $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$. Le produit scalaire devient donc $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}\right).$
C'est une différence de deux carrés — l'identité $(\vec p + \vec q)\cdot(\vec p - \vec q) = \|\vec p\|^2 - \|\vec q\|^2$, qui se vérifie en développant par bilinéarité : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2 - IA^2.$
Par conséquent, $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0 \iff MI^2 = IA^2 \iff MI = IA = \frac{AB}{2},$ les distances étant positives.
Cette dernière condition signifie exactement que $M$ est à distance $\dfrac{AB}{2}$ du point $I$ : l'ensemble cherché est le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$. $\blacksquare$
On vient de redémontrer un résultat du collège : « tout triangle inscrit dans un cercle et ayant pour côté un diamètre est rectangle ». Ce qui était admis en quatrième devient ici une conséquence de deux lignes de calcul vectoriel.
La transformation générale. Le calcul ci-dessus vaut sans supposer le produit nul : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}.$ Elle sert à reconnaître un cercle dans des énoncés du type « déterminer l'ensemble des $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = k$ ».
5. Méthodes
Méthode 1 — Choisir sa formule
| Ce que l'énoncé donne | Formule à utiliser | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| des coordonnées | $xx' + yy'$ | ||||||
| des longueurs et un angle | $\ | \vec u\ | \ | \vec v\ | \cos\theta$ | ||
| uniquement des longueurs | $\frac12\big(\ | \vec u\ | ^2 + \ | \vec v\ | ^2 - \ | \vec u - \vec v\ | ^2\big)$ |
| une configuration avec un angle droit | la projection orthogonale |
Méthode 2 — Calculer un angle
$\cos\theta = \frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|},$ puis la touche $\arccos$ de la calculatrice. Le résultat est toujours entre $0$ et $180°$.
Méthode 3 — Démontrer une orthogonalité
Calculer le produit scalaire et montrer qu'il est nul. C'est presque toujours plus rapide qu'un raisonnement sur les angles — et c'est valable même quand les droites ne se coupent pas dans la figure.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Trois façons de calculer
Soit $ABC$ un triangle avec $AB = 4$, $AC = 3$ et $\widehat A = 60°$. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, puis $BC$.
Correction. Par la formule avec le cosinus : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4 \times 3 \times \cos 60° = 12 \times \frac12 = 6.$
Pour $BC$, appliquons Al-Kashi avec $b = AC = 3$, $c = AB = 4$ : $BC^2 = 3^2 + 4^2 - 2\times3\times4\times\cos60° = 9 + 16 - 24 \times \tfrac12 = 25 - 12 = 13,$ donc $BC = \sqrt{13} \approx 3{,}606$.
Contrôle : si l'angle était droit, on aurait $BC = 5$ ; il est plus aigu, donc $BC$ doit être plus petit — c'est bien le cas. ✓
Exercice 2 — En coordonnées
Dans un repère orthonormé, $\vec u\,(3\,;-2)$ et $\vec v\,(4\,;6)$. a. Calculer $\vec u\cdot\vec v$. b. Que peut-on en conclure ? c. Calculer $\|\vec u\|$.
Correction. a. $\vec u\cdot\vec v = 3\times4 + (-2)\times6 = 12 - 12 = 0$. b. Le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux. c. $\|\vec u\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}606$.
Exercice 3 — Calcul d'angle
Dans un repère orthonormé, $A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$ et $C(2\,;5)$. Calculer une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$.
Correction. $\overrightarrow{AB}\,(3\,;1)$ et $\overrightarrow{AC}\,(1\,;3)$. Alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3\times1 + 1\times3 = 6,$ $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}, \qquad \|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}.$ D'où $\cos\widehat{BAC} = \frac{6}{\sqrt{10}\times\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = 0{,}6,$ et $\widehat{BAC} = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°$.
Exercice 4 — Al-Kashi en situation
Deux routes partent d'un même village en formant un angle de $110°$. Un cycliste parcourt $12$ km sur la première, un autre $9$ km sur la seconde. Quelle distance les sépare ?
Correction. Al-Kashi avec $b = 12$, $c = 9$ et $\widehat A = 110°$ : $a^2 = 144 + 81 - 2\times12\times9\times\cos110° = 225 - 216 \times \cos110° \approx 225 + 73{,}88 = 298{,}88,$ en utilisant $\cos110° \approx -0{,}342$. Donc $a \approx \sqrt{298{,}88} \approx 17{,}29$ km.
Noter que $\cos110° < 0$ : le terme $-2bc\cos\widehat A$ devient positif et allonge la distance. C'est cohérent — un angle obtus écarte davantage les deux cyclistes que l'angle droit, pour lequel on aurait trouvé $15$ km.
Exercice 5 — Ensemble de points
Soient $A(-2\,;0)$ et $B(4\,;0)$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$, puis vérifier que le point $P(1\,;3)$ lui appartient.
Correction. D'après le théorème, c'est le cercle de diamètre $[AB]$, de centre le milieu $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ : $I\left(\frac{-2+4}{2}\,;0\right) = I(1\,;0), \qquad AB = 6, \qquad R = 3.$
Vérifions pour $P(1\,;3)$ : $IP = \sqrt{(1-1)^2 + 3^2} = 3 = R$, donc $P$ est bien sur le cercle.
Contrôle direct : $\overrightarrow{PA}\,(-3\,;-3)$ et $\overrightarrow{PB}\,(3\,;-3)$, d'où $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} = -9 + 9 = 0 \;✓$
Exercice 6 — Avec des longueurs seulement
Soient $\vec u$ et $\vec v$ tels que $\|\vec u\| = 5$, $\|\vec v\| = 3$ et $\|\vec u - \vec v\| = 4$. Calculer $\vec u\cdot\vec v$, puis l'angle entre les deux vecteurs.
Correction. Par la formule de polarisation : $\vec u\cdot\vec v = \frac12\left(25 + 9 - 16\right) = \frac{18}{2} = 9.$ Puis $\cos\theta = \frac{9}{5\times3} = \frac{9}{15} = 0{,}6, \qquad \theta = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°.$
Remarque : on retrouve le même angle qu'à l'exercice 3 — c'est le célèbre triangle $3$-$4$-$5$ vu sous un autre angle, si l'on peut dire.
À retenir
Les quatre expressions du produit scalaire $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta = xx' + yy' = \overline{OA}\times\overline{OH} = \tfrac12\big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\big)$
Le critère qui sert partout : $\vec u \perp \vec v \iff \vec u\cdot\vec v = 0$.
Les deux démonstrations à savoir refaire
- Al-Kashi : partir de $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ et prendre le carré scalaire.
- Cercle de diamètre : introduire le milieu $I$, utiliser $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$, reconnaître $MI^2 - IA^2$.
Le réflexe de vérification : le signe du produit scalaire doit correspondre à l'angle — positif si aigu, nul si droit, négatif si obtus.
Chapitre suivant : la géométrie repérée, qui traduira droites et cercles en équations.
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