Mathématiques — Première
Variations et courbes représentatives — Maths Première (chapitre 4)
Étudier les variations d'une fonction avec sa dérivée en Première spé maths : signe de f', extremums, optimisation, parité, position relative de deux…
Par ProfBot
Variations et courbes représentatives des fonctions
Chapitre 4 — Analyse · Première, spécialité mathématiques
Le chapitre précédent a construit la dérivée ; celui-ci s'en sert. Un seul théorème gouverne tout : le signe de $f'$ donne les variations de $f$. À partir de là, on sait dresser un tableau de variations, trouver un maximum, comparer deux courbes ou démontrer une inégalité — sans jamais tracer un seul point à la main.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Représentation algébrique et graphique de fonctions paires et impaires, traduction géométrique ; lien entre le sens de variation d'une fonction dérivable et le signe de sa dérivée, caractérisation des fonctions constantes ; nombre dérivé en un extremum, tangente à la courbe.
Aucune démonstration n'est exigible dans ce chapitre : ce sont les capacités qui comptent — étudier des variations, déterminer des extremums, résoudre un problème d'optimisation, établir une inégalité, comparer deux courbes.
1. Le théorème central
Théorème (admis). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $f'(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
La lecture se fait de bas en haut : là où $f'$ est au-dessus de l'axe, $f$ monte ; là où elle est en dessous, $f$ descend.
« Sur un intervalle » n'est pas une formule creuse. La fonction inverse a pour dérivée $-\frac{1}{x^2} < 0$ partout où elle est définie, et pourtant elle **n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : on a $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$, donc la fonction « remonte » entre ces deux valeurs. Elle est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$**, séparément. Il faut donc toujours conclure intervalle par intervalle, et ne jamais réunir par un « et » ce qui vaut sur deux intervalles disjoints.
Tableau de variations. C'est la synthèse attendue de toute étude. Il comporte trois lignes : les valeurs de $x$, le signe de $f'(x)$, et les variations de $f$ (flèches, avec les valeurs aux bornes et aux extremums).
2. Extremums
Définition. La fonction $f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe un intervalle ouvert autour de $a$ sur lequel $f(x) \leqslant f(a)$. Définition symétrique pour un minimum local.
Théorème. Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en un point $a$ de $I$, alors
$f'(a) = 0.$
Géométriquement : la tangente est horizontale en un extremum.
La réciproque est fausse, et c'est le piège classique. Pour $f(x) = x^3$, on a $f'(0) = 0$, mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : il n'y a aucun extremum en $0$, seulement une tangente horizontale que la courbe traverse. Pour conclure à un extremum, il faut que $f'$ change de signe.
Extremums sur un intervalle fermé. Sur $[a\,;b]$, un extremum peut aussi être atteint aux bornes, sans que la dérivée s'y annule. Il faut donc toujours comparer les valeurs aux points où $f'$ s'annule et les valeurs $f(a)$ et $f(b)$.
3. Parité
Définitions. Soit $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à 0 (si $x \in D$ alors $-x \in D$).
- $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D$ ;
- $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D$.
Traduction géométrique. La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; celle d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
L'intérêt pratique. Il suffit d'étudier la fonction sur la moitié de son domaine, puis de compléter par symétrie. C'est un gain de temps considérable dans une étude complète.
La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires. « Ni l'une ni l'autre » est une réponse parfaitement valable — et c'est même le cas le plus fréquent. Il suffit d'un contre-exemple pour le montrer : pour $f(x) = x^2 + x$, on a $f(1) = 2$ et $f(-1) = 0$, donc $f(-1) \neq f(1)$ et $f(-1) \neq -f(1)$.
4. Position relative de deux courbes
Méthode. Pour comparer $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - g(x)$ :
- $d(x) > 0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ ;
- $d(x) < 0$ : $\mathcal{C}_f$ est en dessous ;
- $d(x) = 0$ : les courbes se coupent.
Démontrer une inégalité. C'est le même geste : pour établir $f(x) \geqslant g(x)$ sur un intervalle, on étudie les variations de $d = f - g$ et on montre que son minimum est positif.
5. Méthodes
Méthode 1 — Étude complète d'une fonction
- Domaine de définition.
- Dérivée $f'(x)$, sous forme factorisée si possible — c'est indispensable pour en lire le signe.
- Signe de $f'$ (tableau de signes).
- Tableau de variations, avec les valeurs aux bornes et aux extremums.
- Éventuellement : parité, tangentes remarquables, tracé.
L'étape qui fait échouer. Une dérivée laissée sous forme développée est presque toujours inexploitable. Prendre le temps de la factoriser — mise en facteur, discriminant, identité remarquable — est la vraie difficulté de l'exercice, pas le calcul de la dérivée lui-même.
Méthode 2 — Résoudre un problème d'optimisation
- Choisir une variable et préciser l'intervalle où elle varie (souvent le point le plus délicat).
- Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de cette variable.
- Dériver, étudier le signe, dresser le tableau.
- Conclure — et vérifier que la solution appartient à l'intervalle.
Méthode 3 — Le second degré revisité
Pour $f(x) = ax^2+bx+c$, on a $f'(x) = 2ax + b$, qui s'annule en $x = -\dfrac{b}{2a}$ — c'est-à-dire exactement l'abscisse $\alpha$ du sommet trouvée au chapitre 2. La dérivation redémontre le résultat du second degré, et en donne la raison : le sommet est le point où la tangente devient horizontale.
- Si $a > 0$ : $f'$ est négative puis positive, donc $f$ décroît puis croît — minimum en $\alpha$.
- Si $a < 0$ : $f$ croît puis décroît — maximum en $\alpha$.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Étude de variations
Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ sur $\mathbb{R}$.
Correction. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1),$ la factorisation venant du discriminant $\Delta = 4 + 12 = 16$, de racines $\dfrac{2 \pm 4}{2}$, soit $3$ et $-1$.
Le coefficient de $x^2$ étant positif, $f'$ est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | $\nearrow$ | $7$ | $\searrow$ | $-25$ | $\nearrow$ |
avec $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 2 = 7$ (maximum local) et $f(3) = 27 - 27 - 27 + 2 = -25$ (minimum local).
Exercice 2 — Optimisation
On découpe quatre carrés de côté $x$ aux coins d'une feuille carrée de $20$ cm de côté, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. Quelle valeur de $x$ donne le volume maximal ?
Correction. Après découpe, la base est un carré de côté $20 - 2x$ et la hauteur vaut $x$, avec $x \in \,]0\,;10[$. Le volume est $V(x) = x(20-2x)^2.$
Dérivons. En posant $u = x$ et $v = (20-2x)^2$, on a $u' = 1$ et $v' = 2 \times (-2)(20-2x) = -4(20-2x)$, d'où $V'(x) = (20-2x)^2 - 4x(20-2x) = (20-2x)\big[(20-2x) - 4x\big] = (20-2x)(20 - 6x).$
Sur $]0;10[$, le facteur $20-2x$ est strictement positif. Le signe de $V'$ est donc celui de $20-6x$ : positif pour $x < \dfrac{10}{3}$, négatif au-delà.
Le volume est donc maximal pour $x = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \text{ cm}, \qquad V\!\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{10}{3}\left(20 - \frac{20}{3}\right)^2 = \frac{10}{3} \times \left(\frac{40}{3}\right)^2 = \frac{16\,000}{27} \approx 592{,}6 \text{ cm}^3.$
Contrôle : avec $x = 3$, $V = 3 \times 14^2 = 588$ ; avec $x = 3{,}5$, $V = 3{,}5 \times 13^2 = 591{,}5$. Les deux sont bien inférieurs à $592{,}6$. ✓
Exercice 3 — Parité
Étudier la parité de : a. $f(x) = x^4 - 3x^2$ b. $g(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ c. $h(x) = x^2 + x$
Correction. Les trois fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$, ensemble symétrique.
a. $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2 = f(x)$ : paire. b. $g(-x) = \dfrac{-x}{(-x)^2+1} = \dfrac{-x}{x^2+1} = -g(x)$ : impaire. c. $h(1) = 2$ et $h(-1) = 0$. Comme $0 \neq 2$ et $0 \neq -2$, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Exercice 4 — Position relative
Étudier la position relative des courbes de $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 2$.
Correction. Posons $d(x) = f(x) - g(x) = x^2 - x - 2$. Son discriminant vaut $\Delta = 1 + 8 = 9$, d'où les racines $x_1 = \frac{1-3}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{1+3}{2} = 2.$
Le coefficient dominant étant positif, $d$ est positive à l'extérieur de $[-1;2]$ et négative à l'intérieur. Donc :
- sur $]-\infty;-1[$ et $]2;+\infty[$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ ;
- sur $]-1;2[$ : $\mathcal{C}_f$ est en dessous ;
- les courbes se coupent aux points d'abscisses $-1$ et $2$, soit $(-1\,;1)$ et $(2\,;4)$.
Exercice 5 — Une inégalité par les variations
Démontrer que pour tout $x \geqslant 0$ : $x^3 + 1 \geqslant 3x - 1$.
Correction. Posons $d(x) = x^3 + 1 - (3x-1) = x^3 - 3x + 2$ sur $[0\,;+\infty[$. Alors $d'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1).$
Sur $[0;+\infty[$, le facteur $x+1$ est positif, donc le signe de $d'$ est celui de $x-1$ : $d$ décroît sur $[0\,;1]$ puis croît sur $[1\,;+\infty[$. Elle admet donc un minimum en $1$, valant $d(1) = 1 - 3 + 2 = 0.$
Ainsi $d(x) \geqslant 0$ pour tout $x \geqslant 0$, c'est-à-dire $x^3+1 \geqslant 3x-1$, avec égalité seulement en $x = 1$. $\blacksquare$
Exercice 6 — Tangente horizontale sans extremum
Soit $f(x) = x^3 + 2$. Montrer que $f'(0) = 0$ mais que $f$ n'admet pas d'extremum en $0$.
Correction. $f'(x) = 3x^2$, donc $f'(0) = 0$ : la tangente en $0$ est bien horizontale (c'est la droite $y = 2$).
Mais $f'(x) = 3x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$, et ne s'annule qu'en $0$ : la dérivée ne change pas de signe. La fonction est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et il n'y a aucun extremum en $0$.
Contrôle numérique : $f(-0{,}1) = 1{,}999$ et $f(0{,}1) = 2{,}001$ : la fonction passe bien de part et d'autre de $f(0) = 2$, ce qui exclut tout extremum. ✓
À retenir
Le théorème central $f' > 0 \text{ sur } I \;\Longrightarrow\; f \text{ croissante sur } I, \qquad f' < 0 \;\Longrightarrow\; f \text{ décroissante}, \qquad f' = 0 \;\Longrightarrow\; f \text{ constante.}$ Toujours conclure intervalle par intervalle — la fonction inverse le rappelle.
Extremum $\Rightarrow$ $f'(a) = 0$. Mais la réciproque est fausse : il faut que $f'$ change de signe ($x^3$ en $0$).
Parité
| Condition | Symétrie de la courbe | |
|---|---|---|
| paire | $f(-x) = f(x)$ | par rapport à l'axe des ordonnées |
| impaire | $f(-x) = -f(x)$ | par rapport à l'origine |
Position relative et inégalités : dans les deux cas, on étudie le signe de la différence $f - g$.
Le geste décisif de tout exercice : factoriser $f'$. Une dérivée développée ne se lit pas.
Chapitre suivant : la fonction exponentielle, la seule fonction qui est sa propre dérivée.
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