Mathématiques — Première
Fonction exponentielle — Maths Première (chapitre 5)
La fonction exponentielle en Première spé maths : définition par f' = f et f(0) = 1, propriétés algébriques, nombre e, variations, dérivée de e^(at),…
Par ProfBot
La fonction exponentielle
Chapitre 5 — Analyse · Première, spécialité mathématiques
Existe-t-il une fonction qui soit égale à sa propre dérivée ? Autrement dit, une grandeur dont la vitesse de croissance est à chaque instant égale à sa valeur ? La question paraît étrange, mais elle décrit exactement une population qui se reproduit proportionnellement à son effectif, un capital dont les intérêts s'ajoutent en continu, ou un noyau radioactif qui se désintègre. La réponse est oui, et cette fonction est unique : c'est l'exponentielle.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Définition de la fonction exponentielle comme unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$ — l'existence et l'unicité étant admises ; notation $\exp(x)$ ; relations $\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)$ et $\exp(x)\exp(-x) = 1$ ; nombre $e$ et notation $e^x$ ; signe, variations et courbe ; lien avec les suites géométriques.
Aucune démonstration n'est exigible. En revanche, il faut savoir dériver $t \mapsto e^{at}$ et modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle.
1. Définition
Théorème et définition (admis). Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que
$f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1.$
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note $\exp$.
Ce que « unique » veut dire, et pourquoi c'est important. Les deux conditions ensemble ne laissent aucune liberté : dès qu'une fonction est sa propre dérivée et vaut $1$ en $0$, c'est l'exponentielle. C'est ce qui permet, dans un exercice, de conclure « donc $f = \exp$ » à partir de ces seules deux propriétés, sans aucun calcul supplémentaire.
La condition $f(0) = 1$ n'est pas décorative : la fonction nulle vérifie aussi $f' = f$, mais elle vaut $0$ en $0$. Sans cette seconde condition, il n'y aurait pas unicité.
2. Propriétés algébriques
Théorème (admis). Pour tous réels $x$ et $y$, et tout entier relatif $n$ :
$\exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y),$
$\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}, \qquad
\exp(x-y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)}, \qquad
\exp(nx) = \big(\exp(x)\big)^n.$
Conséquence immédiate. En prenant $y = -x$ dans la première relation : $\exp(x)\exp(-x) = \exp(0) = 1.$ Un produit valant $1$ ne peut avoir de facteur nul : la fonction exponentielle ne s'annule jamais.
La règle à retenir en une phrase. L'exponentielle transforme les sommes en produits. C'est exactement l'inverse du logarithme, que vous rencontrerez en terminale.
Le nombre $e$ et la notation puissance. On pose $e = \exp(1) \approx 2{,}718\,281\,8.$ La relation $\exp(nx) = \big(\exp(x)\big)^n$ donne alors $\exp(n) = e^n$ pour tout entier $n$ : l'exponentielle se comporte exactement comme une puissance de $e$. On étend cette écriture à tous les réels, et l'on note désormais $e^x \quad\text{à la place de}\quad \exp(x).$
Les propriétés ci-dessus prennent alors la forme familière des puissances : $e^{x+y} = e^x e^y, \qquad e^{-x} = \frac{1}{e^x}, \qquad e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}, \qquad \left(e^x\right)^n = e^{nx}.$
3. Étude de la fonction
Signe. Pour tout réel $x$, $e^x > 0$.
Justification. On sait déjà que $e^x \neq 0$. De plus $e^x = e^{x/2 + x/2} = \left(e^{x/2}\right)^2$ est un carré, donc positif. Étant non nul et positif, il est strictement positif. $\blacksquare$
Variations. La dérivée de $\exp$ est $\exp$ elle-même, qui est strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|
| $(e^x)' = e^x$ | $+$ | ||
| $e^x$ | $0$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
Valeurs remarquables. $e^0 = 1$, $e^1 = e \approx 2{,}718$, $e^{-1} = \dfrac1e \approx 0{,}368$.
La tangente en $0$ a pour pente $e^0 = 1$ et pour équation $y = x+1$. La courbe reste toujours au-dessus de cette tangente.
Conséquence utile — résoudre équations et inéquations. L'exponentielle étant strictement croissante : $e^a = e^b \iff a = b, \qquad e^a < e^b \iff a < b.$ On peut donc « enlever les exponentielles » de part et d'autre, en conservant le sens de l'inégalité.
4. Dériver $e^{u}$
Propriété. Pour tout réel $a$, la fonction $t \mapsto e^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$\left(e^{at}\right)' = a\,e^{at}.$
Plus généralement, si $u$ est dérivable, $\left(e^{u}\right)' = u'\,e^{u}$.
Le facteur $a$ est l'erreur numéro un du chapitre. La dérivée de $e^{3x}$ est $3e^{3x}$, pas $e^{3x}$. Celle de $e^{-2x}$ est $-2e^{-2x}$. Le signe compte autant que le coefficient : c'est lui qui distingue une croissance d'une décroissance.
5. Modéliser avec l'exponentielle
Croissance et décroissance. Pour $k > 0$ :
- $t \mapsto e^{kt}$ est croissante : croissance exponentielle (population, capital, épidémie à ses débuts) ;
- $t \mapsto e^{-kt}$ est décroissante vers $0$ : décroissance exponentielle (radioactivité, refroidissement, décharge d'un condensateur).
Le lien avec les suites géométriques. C'est le point que le programme demande explicitement de faire.
Une suite géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme $u_0$ s'écrit $u_n = u_0\,q^{\,n}$. Or il existe un réel $k$ tel que $q = e^{k}$ ; on a alors $u_n = u_0 \left(e^{k}\right)^n = u_0\,e^{kn}.$
Autrement dit : une suite géométrique est une exponentielle observée seulement aux instants entiers. L'évolution discrète (« +3 % chaque année ») et l'évolution continue (« croissance au taux $k$ ») sont deux visages du même phénomène.
Les points de la suite $q^n$ se posent exactement sur la courbe de $t \mapsto e^{kt}$, avec $q = e^k$.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Simplifier
Simplifier : a. $e^3 \times e^{-5}$ b. $\dfrac{e^{2x}}{e^{x}}$ c. $\left(e^{-x}\right)^3 \times e^{4x}$
Correction. a. $e^{3-5} = e^{-2}$. b. $e^{2x-x} = e^{x}$. c. $e^{-3x} \times e^{4x} = e^{x}$.
Exercice 2 — Équations et inéquations
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a. $e^{2x-1} = e^{x+3}$ b. $e^{x} < e^{3}$ c. $e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0$
Correction. a. L'exponentielle étant strictement croissante, donc injective : $2x - 1 = x + 3 \iff x = 4.$
b. Par stricte croissance, l'inégalité se transmet dans le même sens : $x < 3$, soit $S = \,]-\infty\,;3[$.
c. Posons $X = e^x$, avec $X > 0$. L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$, de discriminant $9-8 = 1$, donc $X = 1$ ou $X = 2$. Les deux sont strictement positifs, d'où $e^x = 1 \iff x = 0, \qquad e^x = 2 \iff x = \ln 2 \approx 0{,}693.$
(La notation $\ln$ sera définie en terminale ; en première, on donne la valeur approchée obtenue à la calculatrice.)
Exercice 3 — Dérivées
Dériver : a. $f(x) = e^{5x}$ b. $g(x) = 3e^{-2x} + x$ c. $h(x) = x\,e^{x}$ d. $k(x) = e^{x^2}$
Correction. a. $f'(x) = 5e^{5x}$. b. $g'(x) = 3 \times (-2)e^{-2x} + 1 = -6e^{-2x} + 1$. c. Produit : $h'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = (1+x)e^x$. d. Avec $u = x^2$ et $u' = 2x$ : $k'(x) = 2x\,e^{x^2}$.
Exercice 4 — Étude de fonction
Soit $f(x) = (x-1)e^{x}$ sur $\mathbb{R}$. Étudier ses variations.
Correction. Produit de $u = x-1$ et $v = e^x$, avec $u' = 1$ et $v' = e^x$ : $f'(x) = 1 \times e^x + (x-1)e^x = e^x\big(1 + x - 1\big) = x\,e^{x}.$
Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'$ est celui de $x$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$. Elle admet donc un minimum en $0$, valant $f(0) = (0-1)e^0 = -1.$
Vérification : $f(-1) = -2e^{-1} \approx -0{,}736$ et $f(1) = 0$, tous deux supérieurs à $-1$. ✓
Exercice 5 — Décroissance radioactive
La masse d'un échantillon radioactif, en grammes, est modélisée par $m(t) = 50\,e^{-0{,}04t}$, où $t$ est en années. a. Quelle est la masse initiale ? b. Quelle masse reste-t-il après 20 ans ? c. Vérifier que $m'(t) = -0{,}04\,m(t)$ et interpréter.
Correction. a. $m(0) = 50\,e^0 = 50$ g. b. $m(20) = 50\,e^{-0{,}8} \approx 50 \times 0{,}4493 \approx 22{,}47$ g — un peu moins de la moitié. c. $m'(t) = 50 \times (-0{,}04)\,e^{-0{,}04t} = -0{,}04 \times 50\,e^{-0{,}04t} = -0{,}04\,m(t)$.
Interprétation. La vitesse de désintégration est à chaque instant proportionnelle à la masse restante : plus il reste de matière, plus il s'en désintègre par unité de temps. C'est la signature de toute décroissance exponentielle.
Exercice 6 — Suite géométrique et exponentielle
Un capital de $1\,000$ € est placé à $4\,\%$ par an. a. Exprimer le capital $C_n$ après $n$ années. b. Écrire $C_n$ sous la forme $1000\,e^{kn}$ et donner $k$.
Correction. a. Le capital est multiplié chaque année par $1{,}04$ : c'est une suite géométrique, donc $C_n = 1000 \times 1{,}04^{\,n}.$
b. Il faut $e^{k} = 1{,}04$, c'est-à-dire $k = \ln(1{,}04) \approx 0{,}0392$. D'où $C_n = 1000\,e^{0{,}0392\,n}.$
Contrôle pour $n = 10$ : $1000 \times 1{,}04^{10} \approx 1480{,}24$ et $1000\,e^{0{,}392} \approx 1480{,}0$ — l'écart provient uniquement de l'arrondi sur $k$. ✓
Remarque. Le taux annuel est de $4\,\%$, mais le taux « continu » équivalent est $k \approx 3{,}92\,\%$ : légèrement plus petit, parce qu'une croissance continue compose ses intérêts en permanence.
À retenir
La définition $\exp \text{ est l'unique fonction dérivable telle que } \exp' = \exp \text{ et } \exp(0) = 1.$
Les propriétés algébriques — l'exponentielle change les sommes en produits : $e^{x+y} = e^x e^y, \qquad e^{-x} = \frac{1}{e^x}, \qquad e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}, \qquad \left(e^x\right)^n = e^{nx}.$
L'étude $e^x > 0 \text{ pour tout } x, \qquad e^x \text{ strictement croissante}, \qquad e^0 = 1, \qquad e \approx 2{,}718.$
La dérivée composée $\left(e^{at}\right)' = a\,e^{at}, \qquad \left(e^{u}\right)' = u'\,e^{u}.$ Ne jamais oublier le facteur $a$ (ou $u'$).
Le lien à faire. Suite géométrique $q^n$ et exponentielle $e^{kt}$ décrivent le même phénomène, l'une à temps discret, l'autre à temps continu, avec $q = e^k$.
Chapitre suivant : la trigonométrie, et le passage du cercle aux fonctions sinus et cosinus.
Le programme complet de première
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