Mathématiques — Première
Suites numériques et modèles discrets — Maths Première (chapitre 1)
Suites arithmétiques et géométriques en Première spécialité maths : modes de génération, terme général, sommes 1+2+…+n et 1+q+…+q^n, sens de variation,…
Par ProfBot
Suites numériques et modèles discrets
Chapitre 1 — Algèbre · Première, spécialité mathématiques
Un capital placé à 3 % l'an, une population de bactéries qui double toutes les heures, le nombre de carreaux d'une mosaïque qui s'agrandit : dans chacun de ces cas, une grandeur évolue par étapes, et non de façon continue. C'est exactement ce que décrit une suite numérique. Ce chapitre en construit les deux modèles fondamentaux — l'un pour ce qui augmente d'une quantité fixe, l'autre pour ce qui augmente d'un pourcentage fixe — et montre que ces deux modèles ne se comportent pas du tout de la même façon sur la durée.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Exemples de modes de génération d'une suite : formule explicite, relation de récurrence, algorithme, motifs géométriques ; notations $u(n)$, $u_n$ ; suites arithmétiques et géométriques : définition, terme général, lien avec les évolutions successives, calcul de $1+2+\cdots+n$ et de $1+q+\cdots+q^n$ ; sens de variation ; introduction intuitive de la notion de limite.
Trois démonstrations sont exigibles, toutes rédigées ci-dessous : le calcul du terme général d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique, le calcul de $1+2+\cdots+n$, et celui de $1+q+\cdots+q^n$.
1. Qu'est-ce qu'une suite ?
Définition. Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou sur une partie de $\mathbb{N}$) et à valeurs réelles. L'image de l'entier $n$ se note $u_n$ plutôt que $u(n)$, et la suite elle-même se note $(u_n)$.
Le nombre $u_n$ s'appelle le terme de rang $n$.
Ne pas confondre $u_n$ et $(u_n)$. $u_n$ est un nombre : le terme de rang $n$. $(u_n)$ avec les parenthèses désigne la suite entière, c'est-à-dire la liste infinie de tous ses termes. Écrire « la suite $u_n$ est croissante » est un abus fréquent ; la formulation correcte est « la suite $(u_n)$ est croissante ».
Les quatre modes de génération
1. Par une formule explicite : $u_n$ s'exprime directement en fonction de $n$. $u_n = 3n + 2 \quad\Longrightarrow\quad u_0 = 2,\; u_1 = 5,\; u_{100} = 302.$ On peut calculer n'importe quel terme directement, sans connaître les précédents.
2. Par une relation de récurrence : on donne le premier terme et le moyen de passer d'un terme au suivant. $\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = u_n + 3 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad u_1 = 5,\; u_2 = 8,\; u_3 = 11, \dots$ Pour obtenir $u_{100}$, il faut calculer tous les termes précédents — d'où l'intérêt de trouver ensuite une formule explicite.
3. Par un algorithme. Le programme suivant renvoie le terme de rang $n$ de la suite ci-dessus :
def u(n):
terme = 2 # u_0
for _ in range(n): # on applique n fois la relation de récurrence
terme = terme + 3
return terme
4. Par un motif géométrique ou combinatoire. Par exemple, le nombre d'allumettes nécessaires pour construire une file de $n$ carrés accolés : $u_1 = 4$, puis chaque carré supplémentaire coûte 3 allumettes, d'où $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_n = 3n + 1$.
2. Suites arithmétiques
Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$ : $u_{n+1} = u_n + r.$
On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.
### Démonstration exigible — terme général
Propriété. Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$, alors pour tout $n$ :
$u_n = u_0 + n\,r.$
Plus généralement, pour tous entiers $n$ et $p$ : $u_n = u_p + (n-p)\,r$.
Démonstration. Écrivons les $n$ égalités successives données par la définition : $u_1 = u_0 + r, \quad u_2 = u_1 + r, \quad \dots, \quad u_n = u_{n-1} + r.$
En les additionnant membre à membre : $u_1 + u_2 + \cdots + u_n = (u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}) + \underbrace{r + r + \cdots + r}_{n \text{ fois}}.$
Les termes $u_1, \dots, u_{n-1}$ figurent dans les deux membres et se simplifient. Il reste $u_n = u_0 + n\,r. \qquad \blacksquare$
(Autrement dit : pour aller du rang $0$ au rang $n$, on franchit $n$ marches de hauteur $r$.)
Lien avec les fonctions affines. Le terme général $u_n = u_0 + rn$ est de la forme $an + b$ : les points $(n\,;u_n)$ sont alignés. Une suite arithmétique est la version « à temps discret » d'une fonction affine.
Reconnaître une suite arithmétique. Il faut montrer que la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante — c'est-à-dire indépendante de $n$. Vérifier sur deux ou trois termes ne suffit pas : il faut le calcul général.
3. Suites géométriques
Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$ : $u_{n+1} = q \times u_n.$
On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.
### Démonstration exigible — terme général
Propriété. Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors pour tout $n$ :
$u_n = u_0 \times q^{\,n}.$
Démonstration. Écrivons les $n$ égalités successives : $u_1 = q\,u_0, \quad u_2 = q\,u_1, \quad \dots, \quad u_n = q\,u_{n-1}.$
Supposons d'abord tous les termes non nuls et multiplions ces égalités membre à membre : $u_1 \times u_2 \times \cdots \times u_n = q^{\,n} \times \big(u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}\big).$
Les facteurs $u_1, \dots, u_{n-1}$ apparaissent des deux côtés et se simplifient, d'où $u_n = u_0\,q^{\,n}$.
(Si $u_0 = 0$, tous les termes sont nuls et la formule reste vraie ; si $q = 0$, tous les termes à partir du rang 1 sont nuls, et la formule vaut encore pour $n \geqslant 1$.) $\blacksquare$
Les points d'une suite arithmétique sont alignés ; ceux d'une suite géométrique de raison $q > 1$ s'écartent de plus en plus.
Lien avec les pourcentages. Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$. Une évolution à taux constant est donc modélisée par une suite géométrique :
| Évolution | Coefficient multiplicateur | Raison $q$ |
|---|---|---|
| $+5\,\%$ par an | $1{,}05$ | $q = 1{,}05$ |
| $-20\,\%$ par an | $0{,}80$ | $q = 0{,}80$ |
| doublement | $2$ | $q = 2$ |
Le piège du taux global. Deux hausses successives de $10\,\%$ ne font pas $+20\,\%$ mais $\times 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21\,\%$. Et une hausse de $20\,\%$ suivie d'une baisse de $20\,\%$ ne ramène pas au point de départ : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une perte de 4 %. Les taux ne s'additionnent pas, les coefficients se multiplient.
4. Les deux sommes exigibles
4.1 Somme des premiers entiers
### Démonstration exigible
Propriété. Pour tout entier $n \geqslant 1$ :
$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$
Démonstration. Notons $S = 1 + 2 + \cdots + n$. Écrivons cette somme deux fois, la seconde à l'envers, et additionnons colonne par colonne :
$\begin{array}{ccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+& \cdots + n \\ S &=& n &+& (n-1) &+& \cdots + 1 \\ \hline 2S &=& (n+1) &+& (n+1) &+& \cdots + (n+1) \end{array}$
Chaque colonne vaut $n+1$ — le premier terme de l'une compensant exactement le dernier terme de l'autre — et il y a $n$ colonnes. Donc $2S = n(n+1), \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad S = \frac{n(n+1)}{2}. \qquad \blacksquare$
La même idée en image : deux copies de la somme, l'une retournée, remplissent exactement un rectangle de $n$ colonnes et $n+1$ rangées.
Conséquence — somme des termes d'une suite arithmétique. Le même raisonnement donne, pour une suite arithmétique : $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2} = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}.$
4.2 Somme des puissances de $q$
### Démonstration exigible
Propriété. Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier $n$ :
$1 + q + q^2 + \cdots + q^{\,n} = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.$
Démonstration. Notons $S = 1 + q + q^2 + \cdots + q^{\,n}$. Multiplions cette égalité par $q$ : $qS = q + q^2 + \cdots + q^{\,n} + q^{\,n+1}.$
Les deux sommes ont presque tous leurs termes en commun : $q, q^2, \dots, q^n$ figurent dans les deux. En soustrayant, tout se télescope sauf les deux extrémités : $S - qS = 1 - q^{\,n+1}.$
Donc $S(1 - q) = 1 - q^{\,n+1}$, et comme $q \neq 1$ on peut diviser par $1-q$ : $S = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}. \qquad \blacksquare$
Le cas $q = 1$ est exclu, et pour une bonne raison : la division par $1-q$ serait impossible. Il se traite directement, puisque tous les termes valent alors $1$ :
$1 + 1 + \cdots + 1 = n+1.$
Conséquence — somme des termes d'une suite géométrique. Pour $q \neq 1$ : $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q} = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - q^{\,\text{nombre de termes}}}{1 - q}.$
5. Sens de variation
Définitions. La suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n$ ; décroissante si $u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n$ ; monotone si elle est l'une ou l'autre.
Méthode 1 — le signe de la différence. On calcule $u_{n+1} - u_n$ et on étudie son signe. C'est la méthode universelle : elle fonctionne toujours.
Méthode 2 — le quotient, réservée aux suites à termes strictement positifs. On compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ : si le quotient est $\geqslant 1$, la suite croît ; s'il est $\leqslant 1$, elle décroît.
La condition de positivité n'est pas décorative. Avec $u_n = -2^n$, le quotient vaut $2 > 1$, et pourtant la suite $-1, -2, -4, -8, \dots$ est décroissante. Multiplier une inégalité par un nombre négatif en renverse le sens : c'est exactement ce qui se produit ici.
Cas particuliers à connaître.
- Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. (Immédiat, puisque $u_{n+1} - u_n = r$.)
- Suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0 > 0$ : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$. Si $q < 0$, les termes alternent de signe et la suite n'est pas monotone.
6. Une première idée de limite
Sans définition formelle — elle viendra en terminale —, on observe le comportement des termes quand $n$ devient grand.
- $u_n = \dfrac1n$ : les termes se rapprochent de $0$ autant qu'on veut. On dit que la suite tend vers 0.
- $u_n = n^2$ : les termes dépassent n'importe quel seuil. La suite tend vers $+\infty$.
- $u_n = (-1)^n$ : les termes valent alternativement $1$ et $-1$, sans jamais se stabiliser. La suite n'a pas de limite.
Pour une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme positif, on retiendra :
| $q$ | comportement de $q^n$ |
|---|---|
| $q > 1$ | tend vers $+\infty$ |
| $q = 1$ | constante, égale à 1 |
| $0 < q < 1$ | tend vers $0$ |
| $q < 0$ | alterne, pas de limite |
Une croissance en pourcentage part plus lentement, puis dépasse irrémédiablement une croissance linéaire — ici à partir de la 19ᵉ année. C'est le fait le plus important du chapitre.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Reconnaître une suite
Pour chacune, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, en le justifiant. a. $u_n = 5n - 3$ b. $v_n = 4 \times 2^n$ c. $w_n = n^2$
Correction. a. $u_{n+1} - u_n = \big(5(n+1) - 3\big) - (5n - 3) = 5$. La différence est constante : arithmétique, de raison $5$ et de premier terme $u_0 = -3$. b. $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{4 \times 2^{n+1}}{4 \times 2^n} = 2$. Le quotient est constant : géométrique, de raison $2$ et de premier terme $v_0 = 4$. c. $w_{n+1} - w_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n+1$, qui dépend de $n$ : pas arithmétique. Et $\dfrac{w_1}{w_0}$ n'existe pas ($w_0 = 0$), tandis que $\dfrac{w_2}{w_1} = 4$ et $\dfrac{w_3}{w_2} = \tfrac94$ diffèrent : pas géométrique non plus. Ni l'une ni l'autre.
Exercice 2 — Terme général et somme
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = -2$. a. Exprimer $u_n$. b. Calculer $u_{20}$. c. Calculer $u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$.
Correction. a. $u_n = 7 - 2n$. b. $u_{20} = 7 - 40 = -33$. c. Il y a $21$ termes (de $u_0$ à $u_{20}$), donc $S = 21 \times \frac{u_0 + u_{20}}{2} = 21 \times \frac{7 + (-33)}{2} = 21 \times (-13) = -273.$
Exercice 3 — Suite géométrique et capital
On place $2\,000$ € sur un compte rémunéré à $3\,\%$ par an. On note $C_n$ le capital au bout de $n$ années. a. Justifier que $(C_n)$ est géométrique et donner $C_n$. b. Calculer le capital au bout de 10 ans. c. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il $3\,000$ € ?
Correction. a. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ : $C_{n+1} = 1{,}03\,C_n$. La suite est géométrique de raison $1{,}03$ et de premier terme $C_0 = 2000$, donc $C_n = 2000 \times 1{,}03^{\,n}.$
b. $C_{10} = 2000 \times 1{,}03^{10} \approx 2687{,}83$ €.
c. On cherche le plus petit $n$ tel que $2000 \times 1{,}03^n > 3000$, c'est-à-dire $1{,}03^n > 1{,}5$. En calculant de proche en proche : $1{,}03^{13} \approx 1{,}4685 \quad(\text{soit } 2937{,}07\text{ €}), \qquad 1{,}03^{14} \approx 1{,}5126 \quad(\text{soit } 3025{,}18\text{ €}).$ Le capital dépasse $3\,000$ € au bout de 14 ans.
Exercice 4 — Les deux sommes
Calculer : a. $1 + 2 + \cdots + 100$ b. $1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{10}$
Correction. a. $\dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$. b. C'est la somme des puissances de $q = 3$ jusqu'à l'exposant $10$, soit $11$ termes : $\frac{1 - 3^{11}}{1 - 3} = \frac{1 - 177\,147}{-2} = \frac{-177\,146}{-2} = 88\,573.$
Exercice 5 — Sens de variation
Étudier le sens de variation de la suite définie par $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ pour $n \geqslant 0$.
Correction. Calculons la différence : $u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$
Pour $n \geqslant 0$, le dénominateur est strictement positif, donc $u_{n+1} - u_n > 0$ : la suite est strictement croissante.
Remarque. Tous les termes sont pourtant inférieurs à $1$, puisque $\dfrac{n}{n+1} < 1$. La suite croît en se rapprochant de $1$ sans jamais l'atteindre — une première rencontre avec la notion de limite.
Exercice 6 — Modélisation par un motif
On construit une file de carrés avec des allumettes : 1 carré demande 4 allumettes, 2 carrés accolés en demandent 7, 3 en demandent 10. a. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. b. En déduire $u_n$. c. Combien d'allumettes pour 50 carrés ?
Correction. a. Chaque nouveau carré ajoute 3 allumettes (un carré complet en coûterait 4, mais un côté est déjà en place). Donc $u_{n+1} = u_n + 3$, avec $u_1 = 4$. b. La suite est arithmétique de raison $3$. En partant du rang 1 : $u_n = u_1 + (n-1) \times 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1.$ c. $u_{50} = 3 \times 50 + 1 = 151$ allumettes.
Vérification : $u_1 = 4$ ✓, $u_2 = 7$ ✓, $u_3 = 10$ ✓.
À retenir
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| Relation | $u_{n+1} = u_n + r$ | $u_{n+1} = q\,u_n$ |
| Terme général | $u_n = u_0 + nr$ | $u_n = u_0 \, q^{\,n}$ |
| Reconnaître | $u_{n+1} - u_n$ constante | $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ constante |
| Modélise | évolution à accroissement constant | évolution à taux constant |
| Somme | $(\text{nb termes}) \times \dfrac{\text{1}^{\text{er}} + \text{dernier}}{2}$ | $u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}$ |
Les deux sommes à savoir démontrer $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \qquad\qquad 1 + q + \cdots + q^{\,n} = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1-q} \;\;(q \neq 1)$
Les trois réflexes
- Variation : étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ — le quotient n'est valable que si tous les termes sont strictement positifs.
- Pourcentages : les taux ne s'additionnent pas, les coefficients multiplicateurs se multiplient.
- Sur la durée, une croissance en pourcentage finit toujours par dépasser une croissance à accroissement constant.
Chapitre suivant : le second degré, avec la résolution complète de l'équation $ax^2+bx+c=0$.
Le programme complet de première
Algèbre
Analyse
Géométrie
Probabilités et statistiques
Parties transversales
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