Mathématiques — Première
Second degré — Maths Première (chapitre 2)
Équations et fonctions polynômes du second degré en Première spé maths : forme canonique, discriminant, racines, factorisation, signe du trinôme, somme et…
Par ProfBot
Équations et fonctions polynômes du second degré
Chapitre 2 — Algèbre · Première, spécialité mathématiques
Résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ est sans doute le savoir-faire le plus réutilisé de tout le lycée : il resurgit en géométrie, en probabilités, en physique, et dans presque tous les problèmes d'optimisation. Ce chapitre ne se contente pas de donner la formule du discriminant — il la démontre, ce qui explique du même coup pourquoi elle prend cette forme, et pourquoi il y a exactement trois cas possibles.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Fonction polynôme du second degré sous forme factorisée : racines, signe, somme et produit des racines ; forme canonique ; discriminant ; factorisation éventuelle ; résolution de l'équation du second degré ; signe.
Une démonstration est exigible : la résolution de l'équation du second degré.
1. Les trois formes d'un trinôme
Définition. Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0.$
La condition $a \neq 0$ est essentielle : sans elle, la fonction serait affine et tout le chapitre s'effondrerait.
Un même trinôme peut s'écrire de trois façons, et chacune répond à une question différente :
| Forme | Écriture | Ce qu'elle donne immédiatement |
|---|---|---|
| développée | $ax^2 + bx + c$ | l'ordonnée à l'origine $f(0) = c$ |
| canonique | $a(x-\alpha)^2 + \beta$ | le sommet $S(\alpha\,;\beta)$, les variations, l'extremum |
| factorisée | $a(x - x_1)(x - x_2)$ | les racines et le signe |
Choisir la bonne forme est l'essentiel du chapitre. Une question de signe ou de résolution appelle la forme factorisée ; une question de maximum, de minimum ou de sommet appelle la forme canonique. Chercher un extremum sur la forme développée, c'est se compliquer la vie inutilement.
2. Forme canonique
Propriété. Tout trinôme $f(x) = ax^2+bx+c$ s'écrit sous forme canonique $f(x) = a\left(x - \alpha\right)^2 + \beta, \qquad\text{avec}\qquad \alpha = -\frac{b}{2a} \quad\text{et}\quad \beta = f(\alpha).$
Justification (mise sous forme canonique). On met $a$ en facteur, puis on complète le carré : $ax^2+bx+c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c,$ en utilisant l'identité $x^2 + 2ku = (x+k)^2 - k^2$ avec $k = \dfrac{b}{2a}$. En développant : $f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}.$
Ce que la forme canonique donne d'un coup d'œil. La courbe de $f$ est une parabole :
- de sommet $S(\alpha\,;\beta)$ ;
- d'axe de symétrie la droite verticale d'équation $x = \alpha$ ;
- tournée vers le haut si $a > 0$ (le sommet est un minimum), vers le bas si $a < 0$ (le sommet est un maximum).
En effet, $(x-\alpha)^2 \geqslant 0$ toujours : si $a>0$, le terme $a(x-\alpha)^2$ est positif et $f(x) \geqslant \beta$, avec égalité seulement en $x = \alpha$.
3. La démonstration exigible : résoudre $ax^2+bx+c=0$
Définition. Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta = b^2 - 4ac.$
### Démonstration exigible
Théorème. Soit $ax^2+bx+c = 0$ avec $a \neq 0$, et $\Delta = b^2-4ac$.
- Si $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions distinctes :
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$
- Si $\Delta = 0$, elle a une solution double : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$, elle n'a aucune solution réelle.
Démonstration. Partons de la forme canonique établie au paragraphe 2 : $ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}.$
Comme $a \neq 0$, l'équation $f(x) = 0$ équivaut, après division par $a$, à $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}.$
Tout se joue maintenant sur le signe du membre de droite, car un carré ne peut jamais être négatif. Or $4a^2 > 0$ : ce signe est donc celui de $\Delta$.
Cas 1 : $\Delta < 0$. Le membre de droite est strictement négatif, le membre de gauche est un carré : l'égalité est impossible. Aucune solution réelle.
Cas 2 : $\Delta = 0$. L'équation devient $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$, soit $x + \dfrac{b}{2a} = 0$, d'où l'unique solution $x_0 = -\frac{b}{2a}.$
Cas 3 : $\Delta > 0$. Alors $\dfrac{\Delta}{4a^2} = \left(\dfrac{\sqrt\Delta}{2|a|}\right)^2$, et l'équation s'écrit $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}\right)^2 = 0.$ C'est une différence de deux carrés, qui se factorise en $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ : $\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}\right) = 0.$
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est, d'où deux solutions. Comme $|a| = \pm a$ selon le signe de $a$, les deux valeurs obtenues sont, dans un ordre ou dans l'autre, $\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad\text{et}\qquad \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}. \qquad \blacksquare$
Le discriminant se lit sur le dessin : c'est le nombre de points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
Factorisation. Lorsque $\Delta \geqslant 0$, le trinôme se factorise : $\Delta > 0 : \; f(x) = a(x-x_1)(x-x_2), \qquad\qquad \Delta = 0 : \; f(x) = a(x-x_0)^2.$ Lorsque $\Delta < 0$, le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.
4. Signe du trinôme
Théorème. Un trinôme est du signe de $a$, sauf entre les racines lorsqu'elles existent.
Justification. Si $\Delta > 0$, on écrit $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1 < x_2$. Le produit $(x-x_1)(x-x_2)$ est positif à l'extérieur de $[x_1\,;x_2]$ (les deux facteurs y sont de même signe) et négatif à l'intérieur (ils y sont de signes contraires). Le facteur $a$ fixe alors le signe final.
Si $\Delta < 0$, la forme canonique $f(x) = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$ montre que le crochet est strictement positif (somme d'un carré et d'un nombre positif) : $f$ garde le signe de $a$ partout.
Tableau de signes ($\Delta > 0$, $x_1 < x_2$).
| $x$ | $-\infty$ | $x_1$ | $x_2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | signe de $a$ | $0$ | signe de $-a$ | $0$ | signe de $a$ |
5. Somme et produit des racines
Propriété. Si le trinôme $ax^2+bx+c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement confondues), alors $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}.$
Justification. En développant la forme factorisée : $a(x-x_1)(x-x_2) = a\big(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2\big) = ax^2 - a(x_1+x_2)x + a\,x_1x_2.$ En identifiant avec $ax^2+bx+c$ : $-a(x_1+x_2) = b$ et $a\,x_1x_2 = c$, d'où le résultat. $\blacksquare$
L'usage malin. Ces relations permettent souvent de trouver les racines de tête, sans discriminant. Pour $x^2 - 7x + 12$ : on cherche deux nombres de somme $7$ et de produit $12$ — ce sont $3$ et $4$. Elles servent aussi de vérification systématique après un calcul de discriminant : si la somme des racines trouvées ne vaut pas $-\frac ba$, c'est qu'il y a une erreur.
6. Méthodes
Méthode 1 — Choisir sa stratégie de factorisation
Avant de dégainer le discriminant, quatre réflexes plus rapides :
- Racine évidente : $0$, $1$ ou $-1$ annulent-ils le trinôme ? Si $f(1) = 0$, alors $(x-1)$ est en facteur.
- Identité remarquable : reconnaît-on $A^2 \pm 2AB + B^2$ ou $A^2 - B^2$ ?
- Somme et produit : existe-t-il deux entiers simples de somme $-\frac ba$ et de produit $\frac ca$ ?
- Formules générales : calculer $\Delta$, puis $x_1$ et $x_2$. Cela marche toujours, mais c'est le plus long.
Méthode 2 — Résoudre une inéquation
On ne « fait pas passer de l'autre côté » comme dans le premier degré. La marche à suivre :
- tout ramener d'un côté, pour obtenir « trinôme gt; 0$ » (ou lt;$, $\geqslant$, $\leqslant$) ;
- calculer $\Delta$ et les racines ;
- dresser le tableau de signes ;
- lire l'ensemble solution.
Méthode 3 — Optimiser
Un problème de maximum ou de minimum se ramène presque toujours à un trinôme. On passe à la forme canonique : l'extremum est $\beta$, atteint en $\alpha = -\frac{b}{2a}$. Il reste à vérifier que $\alpha$ appartient bien à l'intervalle imposé par l'énoncé.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Résolutions
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a. $x^2 - 5x + 6 = 0$ b. $2x^2 + 4x + 2 = 0$ c. $x^2 + x + 1 = 0$
Correction. a. $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$, donc deux racines : $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3.$ Vérification par somme et produit : $2+3 = 5 = -\frac ba$ ✓ et $2 \times 3 = 6 = \frac ca$ ✓.
b. $\Delta = 16 - 4\times2\times2 = 0$, donc une racine double : $x_0 = -\dfrac{4}{4} = -1$. (On pouvait aller plus vite : $2x^2+4x+2 = 2(x^2+2x+1) = 2(x+1)^2$.)
c. $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ : aucune solution réelle.
Exercice 2 — Forme canonique et extremum
Soit $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$. Déterminer sa forme canonique, puis son extremum.
Correction. Ici $a = -2$, $b = 8$, donc $\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{-4} = 2, \qquad \beta = f(2) = -8 + 16 - 3 = 5.$ D'où la forme canonique $f(x) = -2(x-2)^2 + 5.$
Comme $a = -2 < 0$, la parabole est tournée vers le bas : $f$ admet un maximum égal à $5$, atteint en $x = 2$.
Vérification : en développant, $-2(x^2-4x+4)+5 = -2x^2+8x-8+5 = -2x^2+8x-3$ ✓.
Exercice 3 — Inéquation
Résoudre $x^2 - x - 6 \leqslant 0$.
Correction. $\Delta = 1 + 24 = 25 > 0$, donc $x_1 = \frac{1-5}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{1+5}{2} = 3.$ Comme $a = 1 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. L'inéquation « $\leqslant 0$ » est donc vérifiée entre les racines, bornes comprises : $S = [-2\,;3].$
Exercice 4 — Factoriser malin
Factoriser sans calculer de discriminant : a. $x^2 - 9$ b. $x^2 - 7x + 12$ c. $3x^2 - 3x$
Correction. a. Différence de deux carrés : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. b. Somme $7$, produit $12$ : les racines sont $3$ et $4$, donc $x^2-7x+12 = (x-3)(x-4)$. c. Facteur commun : $3x^2-3x = 3x(x-1)$, racines $0$ et $1$.
Exercice 5 — Problème d'optimisation
On dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur remplace un des quatre côtés). Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?
Correction. Notons $x$ la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur. Le grillage couvre ces deux côtés plus le côté parallèle au mur, donc ce dernier mesure $40 - 2x$. L'aire vaut $A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x, \qquad x \in \,]0\,;20[.$
C'est un trinôme avec $a = -2 < 0$ : il admet un maximum en $\alpha = -\frac{40}{2\times(-2)} = 10.$ Cette valeur appartient bien à $]0;20[$. L'aire maximale vaut $A(10) = 10 \times (40-20) = 10 \times 20 = 200 \text{ m}^2,$ pour un enclos de $10$ m sur $20$ m.
Contrôle de vraisemblance : avec $x = 9$, $A = 9 \times 22 = 198 < 200$ ; avec $x = 11$, $A = 11 \times 18 = 198 < 200$. Le maximum est bien en $10$. ✓
Exercice 6 — Trouver un trinôme
Déterminer les fonctions polynômes du second degré s'annulant en $-1$ et en $4$.
Correction. Une telle fonction admet $-1$ et $4$ pour racines, donc se factorise : $f(x) = a(x+1)(x-4), \qquad a \in \mathbb{R}^*.$ Il y en a une infinité — une pour chaque valeur de $a$ — et elles sont toutes proportionnelles entre elles. En développant : $f(x) = a(x^2 - 3x - 4)$.
Vérification : somme des racines $-1+4 = 3 = -\frac{-3a}{a}$ ✓, produit $-4 = \frac{-4a}{a}$ ✓.
À retenir
Le discriminant décide de tout $\Delta = b^2 - 4ac$
| $\Delta$ | Solutions | Factorisation | Parabole |
|---|---|---|---|
| gt; 0$ | $x_{1,2} = \dfrac{-b \mp \sqrt\Delta}{2a}$ | $a(x-x_1)(x-x_2)$ | coupe l'axe deux fois |
| $= 0$ | $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ | $a(x-x_0)^2$ | tangente à l'axe |
| lt; 0$ | aucune | impossible dans $\mathbb{R}$ | ne touche pas l'axe |
Forme canonique : $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ — c'est elle qui donne le sommet et l'extremum.
Signe : du signe de $a$, sauf entre les racines.
Somme et produit : $x_1+x_2 = -\dfrac ba$ et $x_1x_2 = \dfrac ca$ — pour deviner les racines, et surtout pour vérifier un calcul.
Chapitre suivant : la dérivation, qui donnera un outil général pour étudier les variations de n'importe quelle fonction — et pas seulement des paraboles.
Le programme complet de première
Algèbre
Analyse
Géométrie
Probabilités et statistiques
Parties transversales
← Chapitre 1 · Suites numériques et modèles discrets | Chapitre 3 · Dérivation →