Mathématiques — Première
Trigonométrie — Maths Première (chapitre 6)
Cercle trigonométrique, radian, enroulement de la droite, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables et angles associés en Première spé maths.…
Par ProfBot
Trigonométrie
Chapitre 6 — Analyse · Première, spécialité mathématiques
Au collège, cosinus et sinus étaient des rapports de longueurs dans un triangle rectangle — donc définis seulement pour des angles entre $0°$ et $90°$. Ce chapitre les libère de cette contrainte : en enroulant la droite des réels autour d'un cercle, on donne un sens à $\cos(x)$ et $\sin(x)$ pour n'importe quel réel $x$, positif ou négatif, aussi grand qu'on veut. C'est ce qui permettra de décrire tout ce qui est périodique — un son, une marée, un courant alternatif.
Au programme officiel (programme 2026, applicable à la rentrée 2026-2027). Cercle trigonométrique, longueur d'arc, radian ; enroulement de la droite sur le cercle, image d'un nombre réel ; cosinus et sinus d'un nombre réel, lien avec le triangle rectangle, valeurs remarquables.
Une démonstration est exigible : le calcul de $\cos\frac\pi4$, $\sin\frac\pi4$, $\cos\frac\pi3$ et $\sin\frac\pi3$.
1. Le radian
Définition. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, muni d'un sens de parcours : le sens direct (ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Définition. Le radian est l'unité d'angle telle que la mesure d'un angle au centre soit égale à la longueur de l'arc qu'il intercepte sur le cercle trigonométrique.
Comme le cercle entier a pour longueur $2\pi \times 1 = 2\pi$, un tour complet mesure $2\pi$ radians. D'où la conversion :
| degrés | $0$ | $30$ | $45$ | $60$ | $90$ | $180$ | $360$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| radians | $0$ | $\dfrac\pi6$ | $\dfrac\pi4$ | $\dfrac\pi3$ | $\dfrac\pi2$ | $\pi$ | $2\pi$ |
Conversion générale. La proportionnalité $\dfrac{\text{mesure en degrés}}{180} = \dfrac{\text{mesure en radians}}{\pi}$ donne tout le reste.
Pourquoi une unité aussi étrange ? Parce qu'elle est la seule pour laquelle une longueur d'arc se lit directement comme un angle — sur le cercle de rayon 1, l'arc et l'angle sont le même nombre. Cette coïncidence rendra les formules de dérivation de terminale ($\sin' = \cos$) valables sans facteur correctif. En degrés, elles seraient encombrées d'un $\frac{\pi}{180}$ partout.
2. Enroulement de la droite
Imaginons une droite graduée, tangente au cercle trigonométrique au point $I(1\,;0)$, et enroulons-la autour du cercle : la partie positive dans le sens direct, la partie négative dans l'autre.
Définition. Tout réel $x$ vient ainsi se poser en un point du cercle, appelé point image de $x$. Comme le tour complet mesure $2\pi$, les réels $x$ et $x + 2\pi$ ont le même point image.
Un point, une infinité de réels. Le point $I$ est l'image de $0$, mais aussi de $2\pi$, de $4\pi$, de $-2\pi$… Plus généralement, $x$ et $x + 2k\pi$ (avec $k$ entier) ont toujours la même image. C'est la source de la périodicité de toute la trigonométrie — et la raison pour laquelle une équation trigonométrique a en général une infinité de solutions.
3. Cosinus et sinus d'un réel
Définition. Soit $x$ un réel et $M$ son point image sur le cercle trigonométrique, dans le repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath)$. Alors, par définition : $M\big(\cos x\,;\,\sin x\big).$
Autrement dit, $\cos x$ est l'abscisse de $M$ et $\sin x$ son ordonnée.
Lien avec le triangle rectangle. Pour $x$ entre $0$ et $\dfrac\pi2$, le point $M$ est dans le premier quadrant. En projetant $M$ sur l'axe des abscisses, on forme un triangle rectangle d'hypoténuse $OM = 1$, dont les côtés valent $\cos x$ et $\sin x$. On retrouve exactement les définitions du collège : $\cos x = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \sin x = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}.$ La nouvelle définition prolonge l'ancienne, elle ne la contredit pas.
Propriétés immédiates. Pour tout réel $x$ : $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1, \qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1,$ $\cos^2 x + \sin^2 x = 1,$ $\cos(x + 2k\pi) = \cos x, \qquad \sin(x+2k\pi) = \sin x \quad (k \in \mathbb{Z}).$
Justification de la deuxième. Le point $M$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1, donc $OM = 1$, c'est-à-dire $OM^2 = 1$. Or $OM^2 = \cos^2 x + \sin^2 x$ d'après le théorème de Pythagore. $\blacksquare$
Notation. $\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$, et non $\cos(x^2)$. Cette convention, purement typographique, est une source d'erreurs constante.
4. Les valeurs remarquables — démonstration exigible
### Démonstration exigible
$\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2},
\qquad \cos\frac{\pi}{3} = \frac12, \qquad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}.$
Le cas $\dfrac\pi4$
Soit $M$ le point image de $\dfrac\pi4$. Cet angle vaut $45°$ : c'est la bissectrice du premier quadrant, donc $M$ est aussi loin de l'axe des abscisses que de celui des ordonnées : $\cos\frac\pi4 = \sin\frac\pi4.$
Notons $c$ cette valeur commune. La relation $\cos^2 + \sin^2 = 1$ donne $c^2 + c^2 = 1, \qquad\text{soit}\qquad 2c^2 = 1, \qquad\text{donc}\qquad c^2 = \frac12.$
Comme $M$ est dans le premier quadrant, $c > 0$, d'où $c = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}. \qquad \blacksquare$
(La dernière égalité s'obtient en multipliant numérateur et dénominateur par $\sqrt2$.)
Le cas $\dfrac\pi3$
Soit $M$ le point image de $\dfrac\pi3$, c'est-à-dire de $60°$, et $I(1\,;0)$. Le triangle $OIM$ vérifie :
- $OI = OM = 1$ (ce sont deux rayons), donc il est isocèle en $O$ ;
- l'angle au sommet $\widehat{IOM}$ vaut $60°$.
Un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $60°$ a ses deux angles à la base égaux à $\dfrac{180 - 60}{2} = 60°$ : il est équilatéral. Donc $IM = 1$ également.
L'abscisse de $M$ est celle du pied de la hauteur issue de $M$. Or dans un triangle équilatéral, cette hauteur coupe $[OI]$ en son milieu. Donc $\cos\frac\pi3 = \frac{OI}{2} = \frac12.$
Enfin, la relation fondamentale donne $\sin^2\frac\pi3 = 1 - \left(\frac12\right)^2 = \frac34,$ et comme $M$ est dans le premier quadrant, $\sin\frac\pi3 > 0$ : $\sin\frac\pi3 = \frac{\sqrt3}{2}. \qquad \blacksquare$
(Le cas $\dfrac\pi6$ s'en déduit par symétrie : $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\frac\pi6 = \frac12$.)
Le tableau à connaître par cœur.
| $x$ | $0$ | $\dfrac\pi6$ | $\dfrac\pi4$ | $\dfrac\pi3$ | $\dfrac\pi2$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ | $-1$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ | $0$ |
Un moyen de retenir sans confondre. Écrivez la ligne des sinus sous la forme
$\frac{\sqrt0}{2},\; \frac{\sqrt1}{2},\; \frac{\sqrt2}{2},\; \frac{\sqrt3}{2},\; \frac{\sqrt4}{2}$
pour $x = 0, \frac\pi6, \frac\pi4, \frac\pi3, \frac\pi2$. Les cosinus sont la même liste à l'envers. Le sinus croît de 0 à 1 quand l'angle croît de $0$ à $\frac\pi2$ ; le cosinus décroît de 1 à 0.
5. Angles associés
En lisant les symétries du cercle, on obtient les formules suivantes, valables pour tout réel $x$ :
| Angle | $\cos$ | $\sin$ | Symétrie |
|---|---|---|---|
| $-x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | axe des abscisses |
| $\pi - x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ | axe des ordonnées |
| $\pi + x$ | $-\cos x$ | $-\sin x$ | centre $O$ |
| $\dfrac\pi2 - x$ | $\sin x$ | $\cos x$ | première bissectrice |
Ne pas apprendre ce tableau par cœur : le relire sur le cercle. Chaque ligne est une symétrie, et une symétrie se voit. Pour $\pi - x$ par exemple : le point image est le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc son ordonnée (le sinus) ne change pas, tandis que son abscisse (le cosinus) change de signe. Un dessin de dix secondes remplace une mémorisation fragile.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Conversions
Convertir en radians : $30°$, $135°$, $210°$. Convertir en degrés : $\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{5\pi}{4}$.
Correction. On utilise $\dfrac{d}{180} = \dfrac{r}{\pi}$, soit $r = \dfrac{d\pi}{180}$. $30° = \frac{30\pi}{180} = \frac\pi6, \qquad 135° = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}, \qquad 210° = \frac{210\pi}{180} = \frac{7\pi}{6}.$ Inversement, $d = \dfrac{180 r}{\pi}$ : $\frac{2\pi}{3} = \frac{180 \times 2}{3} = 120°, \qquad \frac{5\pi}{4} = \frac{180 \times 5}{4} = 225°.$
Exercice 2 — Placer un point
Placer sur le cercle trigonométrique les points images de $\dfrac{5\pi}{4}$, $-\dfrac\pi3$ et $\dfrac{9\pi}{4}$.
Correction.
- $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac\pi4$ : troisième quadrant, sur la bissectrice.
- $-\dfrac\pi3$ : quatrième quadrant, symétrique de $\dfrac\pi3$ par rapport à l'axe des abscisses.
- $\dfrac{9\pi}{4} = 2\pi + \dfrac\pi4$ : même point que $\dfrac\pi4$, après un tour complet supplémentaire.
Exercice 3 — Valeurs et angles associés
Calculer sans calculatrice : a. $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ b. $\sin\left(-\dfrac\pi4\right)$ c. $\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$
Correction. a. $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac\pi3$, donc $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac\pi3 = -\dfrac12$. b. $\sin(-x) = -\sin x$, donc $\sin\left(-\dfrac\pi4\right) = -\dfrac{\sqrt2}{2}$. c. $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac\pi6$, donc $\cos\dfrac{7\pi}{6} = -\cos\dfrac\pi6 = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.
Exercice 4 — Utiliser la relation fondamentale
On sait que $\cos x = \dfrac35$ et que $x \in \left]0\,;\dfrac\pi2\right[$. Calculer $\sin x$.
Correction. La relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ donne $\sin^2 x = 1 - \left(\frac35\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$ Donc $\sin x = \pm\dfrac45$. Comme $x$ appartient au premier quadrant, son sinus est positif : $\sin x = \frac45.$
C'est l'étape que l'on oublie : la relation fondamentale donne le carré, donc deux valeurs opposées. C'est le quadrant qui tranche entre les deux.
Exercice 5 — Simplifier
Simplifier $A = \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x) + \sin\left(\dfrac\pi2 - x\right)$.
Correction. D'après le tableau des angles associés : $\cos(\pi - x) = -\cos x, \qquad \cos(\pi + x) = -\cos x, \qquad \sin\left(\frac\pi2 - x\right) = \cos x.$ D'où $A = -\cos x - \cos x + \cos x = -\cos x.$
Exercice 6 — Un même point, plusieurs réels
Déterminer tous les réels $x$ de l'intervalle $[-2\pi\,;2\pi]$ ayant le même point image que $\dfrac\pi3$.
Correction. Les réels de même image que $\dfrac\pi3$ sont ceux de la forme $\dfrac\pi3 + 2k\pi$, avec $k$ entier. Cherchons ceux qui tombent dans $[-2\pi\,;2\pi]$ :
- $k = 0$ : $\dfrac\pi3$ ✓
- $k = 1$ : $\dfrac\pi3 + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3} \approx 7{,}33 > 2\pi \approx 6{,}28$ ✗
- $k = -1$ : $\dfrac\pi3 - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3} \approx -5{,}24$ ✓
Les solutions sont donc $\dfrac\pi3$ et $-\dfrac{5\pi}{3}$.
À retenir
Le radian : sur le cercle de rayon 1, l'angle est la longueur de l'arc. Un tour $= 2\pi$. $\frac{\text{degrés}}{180} = \frac{\text{radians}}{\pi}$
Cosinus et sinus sont les coordonnées du point image : $M(\cos x\,;\,\sin x), \qquad \cos^2 x + \sin^2 x = 1, \qquad -1 \leqslant \cos x, \sin x \leqslant 1.$
Les valeurs remarquables — la ligne des sinus est $\dfrac{\sqrt0}{2}, \dfrac{\sqrt1}{2}, \dfrac{\sqrt2}{2}, \dfrac{\sqrt3}{2}, \dfrac{\sqrt4}{2}$, et celle des cosinus la même à l'envers.
Les deux démonstrations à savoir refaire
- $\frac\pi4$ : le point est sur la bissectrice, donc $\cos = \sin$, et $2c^2 = 1$.
- $\frac\pi3$ : le triangle $OIM$ est équilatéral, donc l'abscisse vaut la moitié du rayon.
Le réflexe : devant un angle associé, ne pas réciter — dessiner le cercle et lire la symétrie.
Chapitre suivant : le calcul vectoriel et le produit scalaire, qui feront entrer les angles dans la géométrie du plan.
Le programme complet de première
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